两角和与差的正弦、余弦和正切公式--知识点与题型归纳.doc

高考明方向1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2.能利用两角差的余弦公式 推导出两角差的正弦、正切公式3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、 正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式， 了解它们的内在联系.备考知考情1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 进行化简、求值是高考考查的热点2.常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合 命题3.题型以选择题、填空题为主，属中低档题.一、知识梳理名师一号P52知识点 1、（补充）两角差的余弦公式的推导利用向量的数量积推导-必修4 课本P1252、（补充）公式之间的关系及导出过程3、和、差、倍角公式名师一号P52注意：名师一号P53 问题探究 问题1两角和与差的正切公式对任意角，都成立吗？其适用条件是什么？在公式T()与T()中，都不等于k(kZ)，即保证tan，tan，tan()都有意义；若，中有一角是k(kZ)，可利用诱导公式化简小结：一、公式的逆用与变形运用 名师一号P53知识点二2(1)tantantan()(1tantan)；(2)cos2，sin2；(3)1sin2(sincos)2,1sin2(sincos)2；(4)sincossin.二、三角恒等变换须关注以下三方面 名师一号P53 问题探究 问题2 (补充)1、角： 角的变换：注意拆角、拼角技巧 如()()，()()2，754530等 注意倍角的相对性： 如是的二倍角等； 3是的二倍角等；2、函数名：异名化同名-正余互化，切化弦，弦化切正余互化（利用诱导公式、平方关系）切化弦，弦化切（利用、 ）等；3、式子结构：（1）的变换 （注意，）、（2）幂的变换 （升幂角减半； 降幂角加倍）、（3）合一变换（） -名师一号P53 知识点三 要时时关注角的范围的讨论！ 二、例题分析：（一）公式的直接应用例1（1）名师一号P53 对点自测1、2、3、4cos33cos87sin33cos177的值为()A. B C. D解析cos33cos87sin33cos177cos33sin3sin33cos3sin(333)sin30.2若cos，是第三象限的角，则sin ()A B. C D.解析由于是第三象限角且cos，sin.sinsincoscossin.3.若sin，则cos()ABC.D.解析因为sin，所以cos12sin2122.4化简：_.解析原式 tan2.例1（2）(补充)计算答案: 例2名师一号P53 高频考点 例1（2）（2）(2014新课标全国卷)设，且tan，则()A3 B3C2 D2解析：(2)由已知，得，sincoscoscossin，sincoscossincos.sin()cos.sin()sin.，.，0.，2.故选C.练习1：()A.B. C2 D.分析：观察角可以发现70与20互余，20是10的二倍，故可用诱导公式和倍角公式(或降幂)化简解析：原式2.练习2：已知是第二象限的角，tan(2)，则tan_.分析：用诱导公式可将条件化为tan2的函数值，用二倍角公式解方程可求得tan.解析：由tan(2)得tan2，由tan2，解得tan或tan2，又是第二象限的角，所以tan.练习3：设56，cosa，则sin等于()A.B.C D解析：56，sin0，acos12sin2，sin.点评：不要求记忆半角公式，只要熟记二倍角公式，熟练进行角的范围与三角函数值符号的讨论，求半角的三角函数值时，可利用倍角公式通过开方求解（二）公式的变形应用例1（1） (补充)计算:tan20+tan40tan20tan40= 答案: 例1(2) (补充)化简：tan(18x)tan(12x) tan(18x)tan(12x)_.答案: 1解析：tan(18x)(12x)tan30tan(18x)tan(12x)1tan(18x)tan(12x)于是原式tan(18x)tan(12x) 1tan(18x)tan(12x)1.变式: 计算(1+tan1) (1+tan2) (1+tan3) (1+tan44) (1+tan45)答案: 注意:公式的逆用与变形运用 练习：计算 答案:4例2（1）名师一号P54 高频考点 例2(2)的值为()A B. C. D.例2（2）(补充)化简: 温故知新P50 知识(5)答案: 注意:公式的逆用与变形运用 例3名师一号P53 对点自测5、65.如果，且sin，那么sincos()A. B C. D解析因为sin，所以cos.而sincossincos.6已知函数f(x)sinxcosx，xR，若f(x)1，则x的取值范围为()Ax|kxk，kZBx|2kx2k，kZCx|kxk，kZDx|2kx2k，kZ解析根据题意，得f(x)2sin，f(x)1，所以2sin1，即sin.由图象可知满足2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)注意:公式的逆用与变形运用合一变换asinbcossin()，其中cos，sin，tan.的终边所在象限由a，b的符号来确定拓展：温故P59第7题（三）角的代换例1（1）(补充)若sin()，则cos(2)的值为()A. B C. D答案D解析cos(2)2cos2()12cos2()12sin2()12()21.变式:已知 。练习: 函数的值域是 答案: ;值域是角的变换-用已知角和特殊角拆、拼例1(2) 名师一号P54 高频考点 例3（1）已知,且,求的值.(1)0，0，00，02.tan(2)1.tan0，20.2.注意：名师一号P54 高频考点 例3 规律方法 (2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好 (补充)知三角函数值求角的方法-先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值例2(1) (补充)的值为()A2 B. C2 D.解析：sin7sin(158)sin15cos8cos15sin8，cos7cos(158)cos15cos8sin15sin8，原式tan15tan(4530)2，故选C.例2(2) (补充)2sin70的值等于()A1 B1C. D解析：2sin702cos201.故选A.角的变换-用特殊角拆、拼计时双基练P245 基础4练习1：名师一号P54 高频考点 例1（1）(1)4cos50tan40()A. B. C. D21解析：(1)4cos50tan40练习2：求sin210cos240sin10cos40的值解析：因为403010，于是原式sin210cos2(3010)sin10cos(3010)sin2102sin10(sin210cos210).思考: (1)求sin2cos2(30)sincos(30)的值(2)若xy2k(kZ)，则sin2xsin2ysinxsiny 为定值；（四）函数与方程的思想例1(补充)已知cos()，cos()，则tantan的值为_分析：由C展开式可知，条件式展开后是关于coscos与sinsin的方程组，可通过解二元一次方程组求得sinsin和coscos的值相除即得解析：由cos()展开可得coscossinsin由cos()展开得coscossinsin由相加得coscos，sinsin，tantan.例2(补充)已知sinxsiny，求sinxcos2y的最大、最小值分析：消去sinx得usinycos2y可转化为二次函数最值，关键是消元后sinx的范围同时要转化为siny的取值范围解析：由sinxsiny及1sinx1得siny1.而sinxcos2ysin2ysiny(siny)2所以当siny时，最小值为，当siny时，最大值为.点评：求二元函数最大值时，一般需将函数转化为一元函数，故首先要消去一个字母，而sinxsiny能提供两种功能，其一是消元，其二是要从此消元式中解出siny的范围，即二次函数的“定义域”，这是本题的难点及易错点，切不可盲目认定1siny1.（五）公式的综合应用例1名师一号P54 特色专题 典例大题巧突破系列之(二)利用三角恒等变换研究三角函数的性质【典例】(2014福建卷)已知函数f(x)cosx(sinxcosx).(1)若0，且sin，求f()的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间【规范解答】(1)0，sin，cos.f().(2)f(x)sinxcosxcos2xsin2xsin2xcos2xsin.T.由2k2x2k，kZ得kxk，kZ.f(x)的单调递增区间为kZ.【名师点评】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和与差的三角函数公式及三角函数的图象及性质熟记三角函数的图象及性质是解决此类题的关键，同时应注意在求单调区间时结果要写成区间的形式练习：设函数f(x)ab，其中向量a(2cosx,1)，b(cosx，sin2xm)(1)求函数f(x)的最小正周期和在0，上的单调递增区间(2)当x时，4f(x)4恒成立，求实数m的取值范围解析(1)f(x)2cos2xsin2xm2sinm1.函数f(x)最小正周期T，在0，上的单调递增区间为、.(2)当x时，f(x)递增，当x时，f(x)取最大值m3.当x0时，f(x)取最小值m2.由题设知解之得，6m1.课后作业计时双基练P245 基础1-11、培优1-4课本P53变式思考1、2、3； 对应训练1、2期末复习（补充）两角差的余弦公式的推导利用向量的数量积推导必修4 课本P125证明两角和的余弦公式由三角函数定义得：由得由两点间距离公式可证得练习：已知cos，cos()，、，则_.解析：、，(0，)，sin，sin()，coscos()cos()cossin()sin，0，.练习1:练习: 已知，求函数的值域。（1）求的值（2）求使成立的的范围练习1: 已知，sin()，则_答案: 练习2:已知（）求的值；（）求的值已知是锐角,则 ;练习1:已知向量a(sin，cos2sin)，b(1,2)(1)若ab，求tan的值；(2)若|a|b|,0，求的值解析(1)因为ab，所以2sincos2sin，于是4sincos，故tan.(2)由|a|b|知，sin2(cos2sin)25， 所以12sin24sin25.从而2sin22(1cos2)4，即sin2cos21，于是sin.又由0知，2，所以2，或2.因此或.练习2:已知A、B均为钝角且sinA，sinB，求AB的值解析A、B均为钝角且sinA，sinB，cosA，cosB，cos(AB)cosAcosBsinAsinB()，又A，B，AB2，AB.若，且是方程的两根，则的值是 【答案】44