两角和与差的正弦、余弦和正切公式--知识点与题型归纳.doc

●高考明方向
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2.能利用两角差的余弦公式
推导出两角差的正弦、正切公式．
3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、
正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，
了解它们的内在联系.

★备考知考情
1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
进行化简、求值是高考考查的热点．
2.常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合
命题．
3.题型以选择题、填空题为主，属中低档题.

一、知识梳理《名师一号》P52
知识点
1、（补充）两角差的余弦公式的推导
利用向量的数量积推导----必修4 课本P125

2、（补充）公式之间的关系及导出过程

3、和、差、倍角公式《名师一号》P52

注意：
《名师一号》P53 问题探究 问题1
两角和与差的正切公式对任意角α，β都成立吗？
其适用条件是什么？
在公式T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tanα，tanβ，tan(α＋β)都有意义；
若α，β中有一角是kπ＋(k∈Z)，可利用诱导公式化简．

小结：
一、公式的逆用与变形运用
《名师一号》P53知识点二2
(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；
(2)cos2α＝，sin2α＝；
(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2；
(4)sinα±cosα＝sin.

二、三角恒等变换须关注以下三方面
《名师一号》P53 问题探究 问题2
(补充)
1、角：
角的变换：注意拆角、拼角技巧
如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，(α＋β)＋(α－β)＝2α，
β＝－，＝－，75°＝45°＋30°等
注意倍角的相对性：
如α是的二倍角等； 3α是的二倍角等；
2、函数名：
异名化同名---正余互化，切化弦，弦化切
正余互化（利用诱导公式、平方关系）
切化弦，弦化切（利用、
）等；
3、式子结构：
（1）的变换
（注意，）、
（2）幂的变换
（升幂角减半；
降幂角加倍）、
（3）合一变换（）
-----《名师一号》P53 知识点三

要时时关注角的范围的讨论！

二、例题分析：
（一）公式的直接应用
例1．（1）《名师一号》P53 对点自测1、2、3、4
cos33°cos87°＋sin33°cos177°的值为(　　)
A. B．－ C. D．－

解析　cos33°cos87°＋sin33°cos177°
＝cos33°sin3°－sin33°cos3°＝sin(3°－33°)
＝－sin30°＝－.
2．若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin
＝(　　)
A．－ B. C．－ D.

解析　由于α是第三象限角且cosα＝－，
∴sinα＝－.
∴sin＝sinαcos＋cosαsin
＝＝－.

3.若sin＝，则cosα＝(　　)
A．－　　　B．－　　　C.　　　D.

解析　因为sin＝，
所以cosα＝1－2sin2＝1－2×2＝.

4．化简：－＝________.

解析　原式＝
＝－＝－tan2α.

例1．（2）(补充)
计算

答案:

例2．《名师一号》P53 高频考点 例1（2）
（2）(2014·新课标全国卷Ⅰ)设α∈，
β∈，且tanα＝，则(　　)
A．3α－β＝ B．3α＋β＝
C．2α－β＝ D．2α＋β＝

解析：(2)由已知，得＝，
∴sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，
∴sinαcosβ－cosαsinβ＝cosα.
∴sin(α－β)＝cosα.
∴sin(α－β)＝sin.
∵α∈，β∈.
∴－<α－β<，0<－α<.
∴α－β＝－α，∴2α－β＝.故选C.

练习1：＝(　　)
A.　　　B. C．2 D.

分析：观察角可以发现70°与20°互余，20°是10°的二倍，故可用诱导公式和倍角公式(或降幂)化简
解析：原式＝＝＝2.
练习2：已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，
则tanα＝________.

分析：
用诱导公式可将条件化为tan2α的函数值，
用二倍角公式解方程可求得tanα.
解析：由tan(π＋2α)＝－得tan2α＝－，由tan2α＝＝－，解得tanα＝－或tanα＝2，又α是第二象限的角，所以tanα＝－.

练习3：设5π<θ<6π，cos＝a，则sin等于(　　)
A.　　　　　　B.
C．－ D．－

解析：∵5π<θ<6π，∴<<，∴sin<0，
∵a＝cos＝1－2sin2，∴sin＝－.

点评：不要求记忆半角公式，只要熟记二倍角公式，熟练进行角的范围与三角函数值符号的讨论，求半角的三角函数值时，可利用倍角公式通过开方求解．

（二）公式的变形应用
例1．（1） (补充)计算:tan20°+tan40°＋tan20°tan40°=

答案:
例1．(2) (补充)化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)
＋[tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]＝________.

答案: 1
解析：∵tan[(18°－x)＋(12°＋x)]
＝＝tan30°＝
∴tan(18°－x)＋tan(12°＋x)
＝[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]
于是原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)
＋·[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]＝1.

变式:
计算(1+tan1°) (1+tan2°) (1+tan3°) …(1+tan44°) (1+tan45°)

答案:
注意:公式的逆用与变形运用

练习：计算

答案:4

例2．（1）《名师一号》P54 高频考点 例2
(2)的值为(　　)
A．－ B. C. D．－

＝
＝＝＝.

例2．（2）(补充)
化简:

温故知新P50 知识(5)

答案:

注意:公式的逆用与变形运用

例3．《名师一号》P53 对点自测5、6
5.如果α∈，且sinα＝，那么
sin＋cos＝(　　)
A. B．－ C. D．－

解析　因为sinα＝，<α<π，所以cosα＝－.
而sin＋cos
＝sin＝cosα＝－.

6．已知函数f(x)＝sinx－cosx，x∈R，若f(x)≥1，则x的取值范围为(　　)
A．{x|kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z}
B．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z}
C．{x|kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z}
D．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}

解析　根据题意，得f(x)＝2sin，f(x)≥1，
所以2sin≥1，即sin≥.
由图象可知满足＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，
解得＋2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)．

注意:公式的逆用与变形运用
合一变换
asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，
其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝.
φ的终边所在象限由a，b的符号来确定．

拓展：温故P59第7题

（三）角的代换
例1．（1）(补充)若sin(－α)＝，
则cos(＋2α)的值为(　　)
A. B．－ C. D．－

[答案]　D
[解析]　cos(＋2α)＝2cos2(＋α)－1
＝2cos2[－(－α)]－1
＝2sin2(－α)－1＝2×()2－1＝－.

变式:
已知 。

练习:
函数
的值域是

答案: ;值域是

角的变换---用已知角和特殊角拆、拼

例1．(2) 《名师一号》P54 高频考点 例3（1）
已知,
且,求的值.

(1)∵0<β<<α<π，
∴－<－β<，<α－<π.
∴cos＝ ＝，
sin＝ ＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sin·sin
＝×＋×＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1
＝2×－1＝－.

注意：《名师一号》P54 高频考点 例3 规律方法
(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．
角的变换：注意拆角、拼角技巧
如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，(α＋β)＋(α－β)＝2α，
β＝－，＝－，75°＝45°＋30°等
(补充)注意倍角的相对性：如3α是的倍角等；
角的变换---关注“待求角”与“已知角”和“特殊角”的内在联系
本例是用已知角拆、拼的类型

例1．(3) 《名师一号》P54 高频考点 例3（2）
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，求2α－β的值．

解析：
(2) ∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝>0，∴0<α<.
又∵tan2α＝＝＝>0，
∴0<2α<.
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tanβ＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0.
∴2α－β＝－.

注意：《名师一号》P54 高频考点 例3 规律方法
(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
(补充)
知三角函数值求角的方法
----先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数
要注意选择，其标准有二：
一是此三角函数在角的范围内具有单调性；
二是根据条件易求出此三角函数值

例2．(1) (补充)
的值为(　　)
A．2＋　 B. C．2－ D.

解析：sin7°＝sin(15°－8°)＝sin15°cos8°－cos15°sin8°，
cos7°＝cos(15°－8°)＝cos15°cos8°＋sin15°sin8°，
∴原式＝tan15°＝tan(45°－30°)＝＝2－，
故选C.

例2．(2) (补充)
－2sin70°的值等于(　　)
A．1 B．－1
C. D．－

解析：－2sin70°＝－2cos20°
＝＝
＝
＝＝
＝＝1.故选A.

角的变换---用特殊角拆、拼
计时双基练P245 基础4

练习1：《名师一号》P54 高频考点 例1（1）
(1)4cos50°－tan40°＝(　　)
A. B. C. D．2－1

解析：
(1)4cos50°－tan40°＝
＝＝
＝

练习2：求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．

解析：因为40°＝30°＋10°，于是
原式＝sin210°＋cos2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin210°＋2＋sin10°
·＝(sin210°＋cos210°)＝.
思考:
(1)求sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)的值
(2)若x＋y＝2kπ＋(k∈Z)，则sin2x＋sin2y＋sinxsiny
为定值；

（四）函数与方程的思想
例1．(补充)
已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ的值
为________．

分析：由Cα±β展开式可知，条件式展开后是关于cosαcosβ与sinαsinβ的方程组，可通过解二元一次方程组求得sinαsinβ和cosαcosβ的值相除即得．
解析：由cos(α＋β)＝展开可得cosαcosβ－sinαsinβ＝①
由cos(α－β)＝展开得cosαcosβ＋sinαsinβ＝②
由①②相加得cosαcosβ＝，
∴sinαsinβ＝，∴tanαtanβ＝.

例2．(补充)
已知sinx＋siny＝，求sinx－cos2y的最大、最小值．

分析：消去sinx得u＝－siny－cos2y可转化为二次函数最值，关键是消元后sinx的范围同时要转化为siny的取值范围．
解析：由sinx＝－siny及－1≤sinx≤1
得－≤siny≤1.
而sinx－cos2y＝sin2y－siny－
＝(siny－)2－
所以当siny＝时，最小值为－，
当siny＝－时，最大值为.
点评：求二元函数最大值时，一般需将函数转化为一元函数，故首先要消去一个字母，而sinx＝－siny能提供两种功能，其一是消元，其二是要从此消元式中解出siny的范围，即二次函数的“定义域”，这是本题的难点及易错点，切不可盲目认定－1≤siny≤1.

（五）公式的综合应用
例1．《名师一号》P54 特色专题 典例
大题巧突破系列之(二)
利用三角恒等变换研究三角函数的性质

【典例】　(2014·福建卷)已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－.
(1)若0<α<，且sinα＝，求f(α)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．

【规范解答】　(1)∵0<α<，sinα＝，∴cosα＝.
∴f(α)＝×－＝.
(2)∵f(x)＝sinxcosx＋cos2x－
＝sin2x＋－
＝sin2x＋cos2x＝sin.
∴T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z得
kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为
k∈Z.
【名师点评】　本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和与差的三角函数公式及三角函数的图象及性质．熟记三角函数的图象及性质是解决此类题的关键，同时应注意在求单调区间时结果要写成区间的形式．

练习：
设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，sin2x＋m)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间．
(2)当x∈时，－4<f(x)<4恒成立，求实数m的取值范围．

[解析]　(1)f(x)＝2cos2x＋sin2x＋m
＝2sin＋m＋1.
∴函数f(x)最小正周期T＝π，
在[0，π]上的单调递增区间为、.
(2)当x∈时，∵f(x)递增，
∴当x＝时，f(x)取最大值m＋3.
当x＝0时，f(x)取最小值m＋2.
由题设知解之得，－6<m<1.

课后作业
计时双基练P245 基础1-11、培优1-4
课本P53变式思考1、2、3； 对应训练1、2
期末复习

（补充）两角差的余弦公式的推导
利用向量的数量积推导必修4 课本P125

证明两角和的余弦公式
由三角函数定义得：

由得
由两点间距离公式可证得

练习：
已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α、β∈，
则β＝________.

解析：∵α、β∈，∴α＋β∈(0，π)，
∴sinα＝，sin(α＋β)＝，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝，
∵0<β<，∴β＝.

练习1:
练习:
已知，求函数的值域。
（1）求的值　　　
（2）求使成立的的范围

练习1: 已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，＝，则＝________
答案:

练习2:已知
．[]（Ⅰ）求的值；　（Ⅱ）求的值．
已知是锐角,,则 ;

练习1:
已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．
(1)若a∥b，求tanθ的值；
(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．

[解析]　(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，
于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，
所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.
从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，
即sin2θ＋cos2θ＝－1，
于是sin＝－.
又由0<θ<π知，<2θ＋<，
所以2θ＋＝，或2θ＋＝.
因此θ＝或θ＝.

练习2:
已知A、B均为钝角且sinA＝，sinB＝，
求A＋B的值．

[解析]　∵A、B均为钝角且sinA＝，sinB＝，
∴cosA＝－＝－＝－，
cosB＝－＝－＝－，
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB
＝－×(－)－×＝，
又∵<A<π，<B<π，
∴π<A＋B<2π，∴A＋B＝.
若，且是方程
的两根，则的值是

【答案】

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