全同粒子体系习题解.doc

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第六章 全同粒子体系习题解
1．求在自旋态中，和的不确定关系：
解：在表象中、、的矩阵表示分别为

∴ 在态中

讨论：由、的对易关系
[，]
要求 ①
在态中，
∴
可见①式符合上式的要求。
2．求的本征值和所属的本征函数。
解：的久期方程为

∴ 的本征值为。
设对应于本征值的本征函数为
由本征方程 ，得

由归一化条件 ，得
即 ∴
对应于本征值的本征函数为
设对应于本征值的本征函数为
由本征方程
由归一化条件，得
即 ∴
对应于本征值的本征函数为
同理可求得的本征值为。其相应的本征函数分别为

3．求自旋角动量方向的投影

本征值和所属的本征函数。
在这些本征态中，测量有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？的平均值是多少？

解：在 表象，的矩阵元为

其相应的久期方程为

即

所以的本征值为。
设对应于的本征函数的矩阵表示为，则

由归一化条件，得

可见， 的可能值为
相应的几率为

同理可求得 对应于的本征函数为

在此态中，的可能值为
相应的几率为

讨论：算符的本征值为，而z方向为空间的任意方向。现在把z方向特别选为沿方向（这相当于作一个坐标旋转），则的本征值也应为。另外我们知道，本征值和表象的先取无关。这样选择并不影响结果的普遍性。
同理的本征值也都是。
我们也可以在为对角矩阵的表象中（表象）求本征矢。显然这时的知阵为

所以本征矢为
注意到本征矢是随着表象选取的不同而改变的。现在是在表象，而上面算出的表象，算出的结果应用所不同，这是合理的。

4．在表象中，求的本征态，是方向的单位矢。
（解） 方法类似前题，设算符的本征矢是：
(1)
它的本征值是。又将题给的算符展开：
(2)
写出本征方程式：
(3)
根据问题（6）的结论，,对的共同本征矢，，运算法则是
， ， ，
， ， （4）
将这些代入（3），集项后，对此两边，的系数：
（5）
或 （6）
（6）具有非平凡解（平凡解 ，）条件是久期方程式为零，即
它的解 （7）
时，代入（6）得：
（8）
（1） 的归一化条件是：

将（8）代入（9），得：

归一化本征函数是：
（10）
时，的关系是：

归一化本征函数是：

（11）
是任意的相位因子。
本题用矩阵方程式求解：运用矩阵算符：
， ， （12）
(13)
本征方程式是：
(14)
的本征矢是：
, (15)
补白：本征矢包含一个不定的 相位因式，由于可以取任意值，因此的形式是多式多样的，但（15）这种表示法是有普遍意义的。

5.若为泡利矩阵，证明：，并求：
（1）在表象中的归一化本征函数；
（2）在表象中的归一化本征函数；
证：由对易关系 及
反对易关系 ， 得
上式两边乘，得 ∵ ∴
（1）在表象中，的矩阵是
因此的本征值是±1，而本征矢为都已归一化。
在表象中；设其本征值为l，本征矢为
容易求得相应的归一化本征函数为

同理，在表象中，，设其本征值为，本征矢为，则

可求得：相应归一化本征函数为

（2）求在表象中。算符，的矩阵形式：
在表象中，算符，的矩阵形式为

对坐标轴作一旋转，把原来的z轴换成x轴，x轴换成y轴，y轴换成z轴。根据轮换关系，容易得出在表象中，算符，的矩阵形式为：

在表象中的本征值和本征矢：设本征值是，则

就有
具有非零解的条件是

当 时：
归一化后得：

进行归一化得

在的本征值和本征矢：设的本征值为，则

具有非零解的条件是

当 时，，归一化后得
当 时，，归一化后得
讨论：①大家知道，在表象中，和的本征值都是±1，现在又证明了，在表象中，算符，和的本征值仍然是±1，这个结果充分说明了算符的本征值不随表象变换而改变的规律。
②在求表象中，，的矩阵表示时，我们是利用x，y，z方向本来是任意选择的，可以经过轮换而得出。除此以外，还可以利用第四章第5题的方法，通过表象变换的方法来求出和在表象中的矩阵表示，结果是完全一致的。
③由于泡利矩阵，，的本征值是±1，而，因此容易推得，自旋算符和的本征值是，它们也不随表象变换和改变。
6．设矩阵满足，
(1) 求证
(2) 在表象中，求出，得矩阵（设无简并）。
【解】将式左乘，利用，得

同式右乘，利用，得

相加得，同样，将左乘、右乘前述一式，可得

在用表象时，的本征矢是基矢，它满足本征方程式：
(1)
但是本征值，从复用运算于（1）得：

但，所以 ；假定没有简并态，仅有两个本征值，在自身表象中，其矩阵是对角的，矩阵元是本征值1和-1
（2）
设的矩阵 ，将它代入等式

简化为，得
因此是反对角矩阵：
（3）
代入条件，有：

得 即
得到含有一个待定常数的矩阵

关于另一矩阵也有类似的计算，由于满足和，因此的矩阵（含有一个未定常数的）写作：
（5）
待定常数和之间尚需满足题给的约束条件，将它列成矩阵：

即,或
解出用的项表示：

或
7．满足下列条件的维矩阵,称为矩阵

试求的一般表示式。
【解】设:
则
代入题给的第一个条件

化成等效的条件
同理，代入第二个条件

前列出的八个方程式并非完全独立。
容易看出（2）与(3)是复共轭，（6）（7）也是复共轭式，；因此只有六个不相关方程式，因

等，又（1）（5）相减，（1）（8）相减，得两个关系式：
(9)
(10)
根据（1）：，因此在不失普遍性的情况下，可以设定以下形式：
（11）
(12)
式中必是实数，而，任意实数得相因子，根据（9）和（10），同样可设：
（13）
（14）
这四个元素满足（1）（4）（5）（8）和（9）（10），但对于（2）或（3），对于（6）或（7）这两个条件的满足，给初相位，，，一些限制，将,,,的表达式代入(2)得：
（15）
如果使用（3）、(6)、(7)诸式，实际上得不到新的关系，又将（15）遍乘得：
(16)
其次我们使用题给得第三个独立条件，有
（17）
将（16）的关系代入（17）得：

即
因而有
又从（16）得 ，
（19）
由此看来，，，只有两个独立，我们若选用和表示各元素，有

8．
9．设氢的状态是
①求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值；
②求总磁矩 的 z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。

解：ψ可改写成

从ψ的表达式中可看出的可能值为 0
相应的几率为
的可能值为 相应的几率为

10．时氢原子处于态

忽略自旋——轨道相互作用，（1）求能量，轨道角动量，即自旋角动量的可能取值，相应几率及平均值；（2）写出时刻波函数。
解：容易验证，波函数是归一化的

（1）能量的可能取值
11．证明和组成的正交归一系。
解：

=0

同理可证其它的正交归一关系。

15．一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态和，相应的能量为和。写出体系所有可能的波函数和能量
解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为，，则体系可能的状态为
能量
能量
能量
能量

附：（20分）已知氢原子在时处于状态

其中，为该氢原子的第个能量本征态。求能量及自旋分量的取值概率与平均值，写出时的波函数。
解 已知氢原子的本征值为
， （1）
将时的波函数写成矩阵形式
（2）
利用归一化条件
（3）
于是，归一化后的波函数为
（4）
能量的可能取值为，相应的取值几率为
（5）
能量平均值为
（6）
自旋分量的可能取值为，相应的取值几率为
（7）
自旋分量的平均值为
（8）
时的波函数
（9）

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