向量三点共线定理与延伸应用归纳.doc

向量三点共线定理及其扩展应用详解
一、平面向量中三点共线定理的扩展及其应用
一、问题的提出及证明。
1、向量三点共线定理：在平面中A、B、C三点共线的充要条件是：
（O为平面内任意一点），其中。
那么、时分别有什么结证？并给予证明。
结论扩展如下：1、如果O为平面内直线BC外任意一点，则
当时 A与O点在直线BC同侧，时，
A与O点在直线BC的异侧，证明如下：
设
且 A与B、C不共线，延长OA与直线BC交于A1点
设 （≠0、≠1）A1与B、C共线
则 存在两个不全为零的实数m、n
且
则

、

C
A11

（1） 则 则
A
B

A与O点在直线BC的同侧（如图[1]）
图[1]
O

（2）,则，此时与反向
A11
C
B
A与O在直线BC的同侧（如图[2]）
A
O
图[2]
A11
C
B
A

（3），则
此时
A与O在直线BC的异侧（如图[3]）
O

图[3]
B

A

Ⅱ

Ⅰ
Ⅲ

Ⅳ

2、如图[4]过O作直线平行AB，
Ⅵ

延长BO、AO、将AB的O侧区
Ⅴ

O
图[4]
域划分为6个部分，并设,
则点P落在各区域时，、满足的条件是：
（Ⅰ）区： （Ⅱ）区： （Ⅲ）区：
（Ⅳ）区： （Ⅴ）区： （Ⅵ）区：
（证明略）
二、用扩展定理解高考题。
（1）[2006年湖南（文）10] 如图[5] ，点P在由射线,线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对（、）可以是……（ ）
A.（，） B.（，） C.（，） D.（，）
解：根据向量加法的平等四边形法则及扩展定理，则
，且，则选C
（2）[2006年湖南（理）15] 如图[5]，点P在由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是 。当时，的取值范围是 。
解：根据向量加法的平行四边形法则及扩展定理，则有：

M
B
A
O
P
，且当，有：，即
图[5]
答案为：，（，）

二、向量共线定理的几个推论及其应用
人教版《数学》（必修）第一册（下）P115面介绍了一个定理：向量与非零向量共线有且仅有一个实数，使=。谓之“向量共线定理”。以它为基础，可以衍生出一系列的推论，而这些推论在解决一些几何问题（诸如“三点共线”“三线共点”等）时有着广泛的应用。以下通过例题来加以说明。
一、定理的推论
推论一：向量与向量共线存在不全为0的实数，使，这实质是定理的另外一种表述形式。
推论二：三个不同点A、B、C共线存在一组全不为0的实数，使。
注意推论（二）与推论（一）的区别：推论（二）中均不为零向量，而推论（一）中，向量可能含。
推论三: 设O、A、B三点不共线，且，（x，y∈R），则P、A、B三点共线x+y=1。
这实质是直线方程的向量形式。
推论四: 设O为平面内任意一点，则三个不同点A、B、C共线存在一组全不为0的实数使且=0
证：① 当O点与A、B、C三点中任一点重合，则推论（四）即为推论（二）；
② 当O点与A、B、C三点均不重合，则三点A、B、C共线存在s，t∈R，且s·t≠0，使得，此时，s≠-t，否则，从而B点与C点重合，这与已知条件矛盾，故有：，即：。显然s+t+[-(s+t)]=0
令,故得证。
推论五： 设O为平面内任意一点，则三个不同点A、B、C不共线若存在实数，使且则=0。
推论五实质是推论四的逆否命题。
推论六：点P在ΔABO的内部（不含边界）存在正实数，使得，
B
N1
N
P1
A
M1
M
O
P
且。
证：：如图，必要性：若点P在ΔABO的内部（不含边界），则
，延长OP交AB于P1，过P作OA、OB的平行线，分别交
OA，OB于M，N点，过P1作OA，OB的平行线，分别交OA，OB于M1，N1点，显然
，，。其中显然。由于
.而充分性由上述各步的可逆性易知。
事实上，我们可以将推论三与推论六整合在一起，导出推论七：
推论七：
已知平面内不共线向量，且。分别记过点A且与BC平行的直线为，直线BC，AB，AC分别为.则：
P点在直线上；P点在直线不含A点一侧；
P点在直线与之间；
P点在直线上；P点在直线不含直线一侧；
P点在直线不含C点一例；P点在直线含C点一侧；
P点在直线不含B点一侧，P点在直线含B点一侧。
l3
l4
l2

l1
P3
④
⑤
③
②
⑥
A
P1
⑧

①

⑦
⑨
B
C
P2
证：设直线AP与直线BC相交于点，则设，则
故P若在直线BC上，则,又∵共线，
则,故：,则
,∵AB、AC不共线，则.
∴
（1）若P在①区域内，则0<k<1，即0<，且均为正实数，即;
（2）若P在②区域内，则0<k<1，t>1，则，，且;
（3）若P在③区域内，则k<0，，且;
（4）若P在④区域内，则k<0，，且;
（5）若P在⑤区域内，则k<0，，且;
（6）若P在⑥区域内，则0<k<1，则;
（7）若P在⑦区域内，则k>1，则，;
（8）若P在⑧区域内，则k>1，则，;
（9）若P在⑨区域内，则k>1，则，.
综上：当P点位于上方，;当P点位于下方上方，;当P点位于下方;当P点位于左边，，右边，;当P点位于左边，，右边从而得证。
注：推论（七）的相关结论还可以分得更细，它对解决“区域”问题很有重要的作用。

二、应用举例
A
M
B
C
N
D
例1 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上。BN=，求证：M、N、C三点共线。
证：设，，（与不共线），则.
∵N为BD的三等分点，∴,而,
∴,∵，且m+n=1，且B、M、C三点不共线，则点M、N、C三点共线。
B
C
D
E
F
A
P
M
N
例2 设M，N分别是正六边形ABCDEF的对角线AC、CE的内分点，且，若B、M、N三点共线，求的值。
分析：要求的值，只需建立f()=0即可，而f()=0就隐含在直线方程的向量形式中。
解：延长EA，CB交于点P，设正六边形的边长为1,易知ΔECP为RtΔ，AE=AP=AC=，PB=2,A是EP之中点，,
∴,
又∵，∴；
∴；∵B、M、N三点共线.由推论（三）知，即为所求
例3 （06年江西高考题）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线，（设直线不过点O），则S200=
A．100 B．101 C．200 D．201
解：易知a1+a200=1,∴,故选A。
例4 （06年湖南高考题）如图OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对（x，y）可能的取值是
A． B． C． D．
A
O
M
P
Q
B
解：由P点所处的区域，利用推论（七）的结论
我们不难判定中的线性组合系数对（x，y）应满足0<x+y<1，且x<0，y>0。从而应选C。

A
Q
P
C
B
L
R
例5 （梅涅劳斯定理）若直线l不经过ΔABC的顶点，并且与ΔABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分别交于P、Q、R，则=1
证：如图，设P、Q、R三点分有向线段BC、CA、AB，
所成的比分别为，则，
又P、Q、R三个分点中有一个或三个外分点，所以，因而只需证明。
任取一点O，则由定比分点的向量公式得：,,
∵P、Q、R三点共线,∴由推论4知存在全不为0的实数k1，k2，k3使

即,
且,而A、B、C三点不共线，由推论5得
,∴，原命题得证。
例6 （塞瓦定理）若P、Q、R分别是ΔABC的BC、CA、AB边上的点，则，AP、BQ、CR三线共点的充要条件是。
B
R
A
M
Q
C
P
证：必要性：如图，设P、Q、R分有向线段BC、CA、AB所成的比分别为，
则.
在平面ABC内任取一点O，令AP、BQ、CR三线交点为M，则A、M、P
三点共线，由推论4知，存在实数k1使
①
同理存在实数k2，k3使, ②
, ③
①-②得:；
①-③得:.
又∵A、B、C三点不共线，且,
及,∴由推论5得

∴,∴，即.
充分性：设AP与BQ交于点M，且直线CM交AB于R′，R′分有向线段AB所成比为，则由必要性和，又,∴，∴,∴R与R′重合，故AP、BQ与CR三线交于一点M。
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