一道定积分数学竞赛题的解法研究_徐伟孺.pdf

120 第 25 卷第 1 期遵义师范学院学报2023 年 2 月近些年，许多数学工作者对全国大学生数学竞赛、丘成桐大学生数学竞赛试题进行了认真研究，并将解题方法进行了拓展，对所用到的数学理论进行了很好的总结1-3。本文也将对大学生数学竞赛的一道试题的解法进行研究。2013 年第五届全国大学生数学竞赛初赛(非数学类)试题的第二题如下：计算定积分.该定积分的积分区间是一个对称区间，被积函数形如的形式，其中0 且 1。如果被积函数是 xf(sin x)的形式，很明显是高等数学或数学分析教材中的一个例题4,5。参考答案使用定积分的积分区间可加性性质，将积分区间分为两个积分区间-，0 和 ，0 来计算，然后使用换元法得出了一个函数 arctan e-x+arctan ex。该函数其实是一个常数函数且常数值为，使用拉格朗日中值定理就可以很容易得证。为了给出该种类型题目更为一般的解法，并将这种类型题目的解法进行推广和延伸，本文给出了两个结果，并由此设计了两个新的题目，给出了简洁的解答过程。1 定积分的几个性质首先介绍将要使用的如下性质：性质 15已知函数 f(x)在闭区间 0，1 上连续，则(1)；(2).性质 24已知函数 f(x)为实数域上以 l 为周期的连续函数，则对任何实数，恒有在计算该定积分之前，首先要对被积函数里面的反正切函数进行处理。注意到如下的恒等式(1)具体的参考解答过程可以通过关注“大学生数学竞赛网”微信公众号获取。收稿日期：2020-09-15基金项目：四川省自然科学基金项目（2022NSFSC1815）作者简介：徐伟孺，男,湖北安陆人，四川师范大学数学科学学院讲师，博士，硕士生导师，主要从事优化方面研究。一道定积分数学竞赛题的解法研究徐伟孺（四川师范大学 数学科学学院，四川 成都 610066）摘要：第五届全国大学生数学竞赛初赛(非数学类)试题中有一道关于求定积分的计算题，基于定积分的性质，并使用一个反正切函数的恒等式，将该题进行推广和延伸，并归纳了两个结论，给出了所构造新题的简洁解法。关键词：定积分；反正切函数；换元法；拉格朗日中值定理中图分类号：O172.1文献标识码：A文章编号：1009-3583（2023）-0120-02Study on the Solution of a Mathematical Contest Problemof Definite IntegralXU Wei-ru(School of Mathematical Sciences,Sichuan Normal University,Chengdu 610066,China)There is a calculation question about the definite integral in the preliminary(non mathematical)test of the Fifth National Col-lege Students Mathematical Contest.Based on the nature of the definite integral,and using an identity of arctangent function,this ques-tion is generalized and extended,and two conclusions are summarized,giving a simple solution to the new problem.definite integral;arc-tangent function;substitution method;Lagrange mean value theorem第 25 卷第 1 期2023 年 2 月遵义师范学院学报Journal of Zunyi Normal UniversityVol.25,No.1Feb.2023 121 2 主要结论命题 1 设函数 f(x)、g(x)分别为-1，1 和-，上连续的奇函数，则，其中0 且 1。证：由公式(1)可知：.又.故有由性质 1 可知故原命题得证。下面使用命题 1 可以很方便地求解定积分 的值，如下：.值得注意的是当被积函数 f(sin x)里面的三角函数是奇函数时，命题 1 才适用。若 f(sin x)为偶函数，则定积分的值很难求解。命题 2 设函数 f(x)为-1，1 上连续的偶函数，g(x)为-，上连续的奇函数，则，其中0 且 1。证：由条件可知 f(sin（-x）)=f(-sin x)=f(sin x)，故有从而原命题得证。3 新题的构造根据所得的两个命题，本文设计了两个新的题目以加深理解。主要通过观察被积函数在对称区间内的奇偶性，就可以有针对性地使用命题 1 和 2 的结论来求解，从而能降低解题的难度和提高解题的效率，达到“化繁为简”和“事半功倍”的效果。例 1 计算定积分.解：由命题 1 可得例 2 计算定积分.解：该定积分的被积函数是以 2 为周期的连续函数，故由性质 2 可知.上式定积分中的被积函数满足命题 2 的条件，故4 结论本文从一道定积分数学竞赛题的解法研究出发，引出了两个关键结论，并设计新的题目说明所延伸的结论能够很简洁地解决一类被积函数具有xf(sin x)arctang(x)和 f(sin x)arctang(x)两种类型的定积分。所得结论也能够给数学竞赛试题和考研数学试题出题者进行借鉴。在平时的教学过程中，要通过多角度的引导拓宽学生视野，注重对学生创新能力和独立研究能力的培养。参考文献：1郑华盛,袁达明.一道全国大学生数学竞赛题的引申与推广J.大学数学，2021,37(6):91-95.2丁恒飞.一道数学竞赛题的其他解法与推广J.大学数学，2020，36(2):91-94.3唐烁，蒋哲远 一道全国大学生数学竞赛题的推广J 大学数学，2019，35(4):54-574华东师范大学数学系 数学分析(上册)（第 5 版）M 北京：高等教育出版社，2019.5谢寿才，唐孝，李林珂，等.高等数学(上册)M.北京：科学出版社，2017.（责任编辑：罗东升）徐伟孺一道定积分数学竞赛题的解法研究