有关中值定理的证明题.doc

中值定理证明题集锦
1、已知函数具有二阶导数，且，，试证：在区间内至少存在一点，使得
证：由 ，可得，由连续性得，由此又得，由及题设条件知在上满足罗尔中值定理条件，因此至少存在一点 ，使得，又因为， 并由题设条件知在上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知，在区间内至少存在一点，使得
2、设在上连续，在内可导，且，证明：存在一点，使得
证：分析：要证结论即为：
令，则在上连续，在内可导，且，因此在上满足罗尔中值定理的条件，故存在一点，使得，即
注1：此题可改为：
设在上连续，在内可导，且，证明：存在一点，使得

分析：要证结论等价于（给两端同乘以），而即为
故令，则在上满足罗尔中值定理的条件，由此可证结论.
注2：此题与下面例题情况亦类似：
设在上连续，在内可导，且，，有，证：，，使得成立.
分析：要证结论可变形为，它等价于(给两端同乘以)，而即为，用罗尔中值定理.
以上三题是同类型题.
3、已知函数在上连续，在内可导，且，，证明：
（1）存在一点，使
（2）存在一点，使
（3）存在一点，使
证：（1）分析：要证结论即为：
令，则只需证明在内有零点即可。
显然 在上连续，且，，
因此 在上满足零点定理的条件，由零点定理知，存在，使，即
（2）又因为，由(1)知，因此 在上满足罗尔中值定理条件，故存在一点，使，即，即
（3）分析：结论即就是或，，即.
故令，则由题设条件知，在上连续，在内可导，且，,则在上满足罗尔中值定理条件，命题得证.
4、设在上可导，且，试证：至少存在一点，使得
证：分析：要证结论即为： ,也就是，因此只需对函数和在区间上应用柯西中值定理即可.
5、设、在上连续，在内可导，，且，证明：至少存在一点，使得
证：分析：要证结论即为： ,等价于，即就是，因此只需验证函数在区间上应用罗尔中值定理即可.
6、设在上可导，且，试证：至少存在一点，使得
证：分析：要证结论即为： ,因此只需对函数和在区间上应用柯西中值定理即可.
此题亦可改为：
设在上连续，内可导，若，试证：至少存在一点，使得
7、设在上连续，在内可导，且，试证：
（1），使得；
（2），使得
证:（1）令，利用罗尔中值定理即证结论.
（2）分析：，因此令，利用罗尔中值定理即证结论.
8、设在上连续，在内可导，且，试证：，使得
证：分析：要证结论即为，即就是.
令，令，则和在上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知：
，使得，即就是
，使得，即就是
因此，有，即就是
9、设、在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，，，试证：，使得
证：分析：要证结论即为.
令，
（1）若、在内的同一点处取得相同的最大值，不妨设都在c点处取得最大值，则，则分别在、上满足罗尔中值定理条件，故，使得，
由题设又知，在上满足洛尔定理条件，故存在，使得，即就是
（2）若、在内的不同的点处取得相同的最大值，不妨设在p点处、在q点处取得最大值，且，则，，由零点定理知，，使得，由此得
，后面证明与（1）相同.
10、设在上连续，在内可导，且，若极限存在，试证：（1）存在一点，使得；
（2）在内存在异于的点，使得；
证：（1）令，，则、在上满足柯西中值定理条件，故存在一点，使得成立，即就是成立，即就是成立.
（2）由（1）知，，因此要证，即要证，即要证，由已知 可得，，从而得，因此要证，即要证，显然只需验证在上满足拉格朗日中值定理条件即可。