有关中值定理的证明题.doc

中值定理证明题集锦1、已知函数具有二阶导数，且，试证：在区间内至少存在一点，使得证：由 ，可得，由连续性得，由此又得，由及题设条件知在上满足罗尔中值定理条件，因此至少存在一点 ，使得，又因为， 并由题设条件知在上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知，在区间内至少存在一点，使得2、设在上连续，在内可导，且，证明：存在一点，使得证：分析：要证结论即为：令，则在上连续，在内可导，且，因此在上满足罗尔中值定理的条件，故存在一点，使得，即注1：此题可改为：设在上连续，在内可导，且，证明：存在一点，使得分析：要证结论等价于（给两端同乘以），而即为故令，则在上满足罗尔中值定理的条件，由此可证结论.注2：此题与下面例题情况亦类似：设在上连续，在内可导，且，有，证：，使得成立.分析：要证结论可变形为，它等价于(给两端同乘以)，而即为，用罗尔中值定理.以上三题是同类型题.3、已知函数在上连续，在内可导，且，证明：（1）存在一点，使（2）存在一点，使（3）存在一点，使证：（1）分析：要证结论即为：令，则只需证明在内有零点即可。显然 在上连续，且，因此 在上满足零点定理的条件，由零点定理知，存在，使，即（2）又因为，由(1)知，因此 在上满足罗尔中值定理条件，故存在一点，使，即，即（3）分析：结论即就是或，即.故令，则由题设条件知，在上连续，在内可导，且，,则在上满足罗尔中值定理条件，命题得证.4、设在上可导，且，试证：至少存在一点，使得证：分析：要证结论即为： ,也就是，因此只需对函数和在区间上应用柯西中值定理即可.5、设、在上连续，在内可导，且，证明：至少存在一点，使得证：分析：要证结论即为： ,等价于，即就是，因此只需验证函数在区间上应用罗尔中值定理即可.6、设在上可导，且，试证：至少存在一点，使得证：分析：要证结论即为： ,因此只需对函数和在区间上应用柯西中值定理即可.此题亦可改为：设在上连续，内可导，若，试证：至少存在一点，使得7、设在上连续，在内可导，且，试证：（1），使得；（2），使得证:（1）令，利用罗尔中值定理即证结论.（2）分析：，因此令，利用罗尔中值定理即证结论.8、设在上连续，在内可导，且，试证：，使得证：分析：要证结论即为，即就是.令，令，则和在上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知：，使得，即就是，使得，即就是因此，有，即就是9、设、在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，试证：，使得证：分析：要证结论即为.令，（1）若、在内的同一点处取得相同的最大值，不妨设都在c点处取得最大值，则，则分别在、上满足罗尔中值定理条件，故，使得，由题设又知，在上满足洛尔定理条件，故存在，使得，即就是（2）若、在内的不同的点处取得相同的最大值，不妨设在p点处、在q点处取得最大值，且，则，由零点定理知，使得，由此得，后面证明与（1）相同.10、设在上连续，在内可导，且，若极限存在，试证：（1）存在一点，使得；（2）在内存在异于的点，使得；证：（1）令，则、在上满足柯西中值定理条件，故存在一点，使得成立，即就是成立，即就是成立.（2）由（1）知，因此要证，即要证，即要证，由已知 可得，从而得，因此要证，即要证，显然只需验证在上满足拉格朗日中值定理条件即可。