勾股定理在生活中的应用.docx

此文件下载后可以自行修改编辑删除勾股定理在生活中的应用河南 刘振超一、计算图形的周长和面积例1 图1为一个广告牌支架的示意图，其中AB=13 m，AD=12 m，BD=5 m，AC=15 m，求图中ABC的周长和面积图1分析：先根据直角三角形的判定得到ADBC，再利用勾股定理得出DC的长，进而得出答案解：在ABD中，AB=13 m，AD=12 m，BD=5 m，AB2=AD2+BD2，所以ADBC在RtADC中，AD=12 m，AC=15 m，AD2+DC2=AC2，所以122+DC2=152，解得DC=9 m所以BC=14 m，所以ABC的周长=14+13+15=42（m），ABC的面积=1412=84（m2）点评：图形中看似有直角，但条件中没有给出，仍不能直接用由线段的长得到直角或垂直关系，常用直角三角形的判定二、计算噪音影响的时间例2 如图2，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，QON=30，在点A处有一栋居民楼，AO=320 m，如果火车行驶时，周围200 m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时（1）居民楼是否会受到噪音的影响？请说明理由（2）如果火车行驶的速度为72 km/h，居民楼受噪音影响的时间为多少秒？图2分析：（1）如图3，作ACON于点C，看点A到直线MN的距离是否小于等于200 m，若是则受影响，否则不受；（2）如图3，设在点C之前和之后各有一点到点A的距离是200 m，则得到等腰ABD，根据等腰三角形的性质和勾股定理计算BD的长，最后利用时间=路程速度求得受到影响的时间解：（1）如图3，过点A作ACON于点C，因为QON=30，OA=320 m，所以AC= 160 m，因为160200，所以居民楼会受到噪音的影响（2）如图3，设点B，D到点A的距离都是200 m，即火车从到B点直到驶离D点，对居民楼都会产生噪音影响因为AB=200 m，AC=160 m，由勾股定理，得BC=120 m因为AB=AD，ACMN，所以BD=2BC=240 m因为72 km/h=20 m/s，所以影响时间应是24020=12（秒） 图3点评：勾股定理是直角三角形的三边关系，所以只有直角三角形才能使用勾股定理，本题通过作垂线段构造了直角三角形，从而为勾股定理的使用创造了条件三、计算最短距离例3 如图4所示，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80 cm，高AB=60 cm，水深为AE=40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60 cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵，求小虫爬行的最短距离（鱼缸厚度忽略不计）图4分析：如图5所示，作点A关于BC的对称点A，连接AG交BC于点Q，小虫沿着AQG的路线爬行时路程最短，然后利用勾股定理求解解：如图5所示，作点A关于BC的对称点A，连接AG交BC与点Q，小虫沿着AQG的路线爬行时路程最短则AB=AB=60 cm，BE=60-40=20 cm，所以AE=80 cm在RtAEG中，AE=80 cm，EG=60 cm，所以AG2= AE2+EG2=802+602=10 000，所以AG=100 cm，所以AQ+QG=AQ+QG=AG=100 cm所以最短路线长为100 cm 图5点评：本题将最短路径问题与勾股定理结合在一起，本题最短路径问题是指求直线同旁两点（图中点A，G）到直线（图中BC）上一点的距离和最小，此类问题需用轴对称解决