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勾股定理在生活中的应用
河南 刘振超
一、计算图形的周长和面积
例1 图1为一个广告牌支架的示意图，其中AB=13 m，AD=12 m，BD=5 m，AC=15 m，求图中△ABC的周长和面积．

图1
分析：先根据直角三角形的判定得到AD⊥BC，再利用勾股定理得出DC的长，进而得出答案．
解：在△ABD中，AB=13 m，AD=12 m，BD=5 m，AB2=AD2+BD2，所以AD⊥BC．
在Rt△ADC中，AD=12 m，AC=15 m，AD2+DC2=AC2，所以122+DC2=152，解得DC=9 m．所以BC=14 m，所以△ABC的周长=14+13+15=42（m），△ABC的面积=×14×12=84（m2）．
点评：图形中看似有直角，但条件中没有给出，仍不能直接用．由线段的长得到直角或垂直关系，常用直角三角形的判定．
二、计算噪音影响的时间
例2 如图2，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，在点A处有一栋居民楼，AO=320 m，如果火车行驶时，周围200 m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时．
（1）居民楼是否会受到噪音的影响？请说明理由．
（2）如果火车行驶的速度为72 km/h，居民楼受噪音影响的时间为多少秒？

图2
分析：（1）如图3，作AC⊥ON于点C，看点A到直线MN的距离是否小于等于200 m，若是则受影响，否则不受；（2）如图3，设在点C之前和之后各有一点到点A的距离是200 m，则得到等腰△ABD，根据等腰三角形的性质和勾股定理计算BD的长，最后利用时间=路程÷速度求得受到影响的时间．
解：（1）如图3，过点A作AC⊥ON于点C，因为∠QON=30°，OA=320 m，所以AC= 160 m，因为160＜200，所以居民楼会受到噪音的影响．
（2）如图3，设点B，D到点A的距离都是200 m，即火车从到B点直到驶离D点，对居民楼都会产生噪音影响．因为AB=200 m，AC=160 m，由勾股定理，得BC=120 m．
因为AB=AD，AC⊥MN，所以BD=2BC=240 m．
因为72 km/h=20 m/s，所以影响时间应是240÷20=12（秒）．

图3
点评：勾股定理是直角三角形的三边关系，所以只有直角三角形才能使用勾股定理，本题通过作垂线段构造了直角三角形，从而为勾股定理的使用创造了条件．
三、计算最短距离
例3 如图4所示，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80 cm，高AB=60 cm，水深为AE=40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60 cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵，求小虫爬行的最短距离．（鱼缸厚度忽略不计）

图4
分析：如图5所示，作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC于点Q，小虫沿着A→Q→G的路线爬行时路程最短，然后利用勾股定理求解．
解：如图5所示，作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC与点Q，小虫沿着A→Q→G的路线爬行时路程最短．则A′B=AB=60 cm，BE=60-40=20 cm，所以A′E=80 cm．
在Rt△A′EG中，A′E=80 cm，EG=60 cm，所以A′G2= A′E2+EG2=802+602=10 000，
所以A′G=100 cm，所以AQ+QG=A′Q+QG=A′G=100 cm．
所以最短路线长为100 cm．

图5
点评：本题将最短路径问题与勾股定理结合在一起，本题最短路径问题是指求直线同旁两点（图中点A，G）到直线（图中BC）上一点的距离和最小，此类问题需用轴对称解决．