振动力学课件.pdf

振动力学振动力学振动力学振动力学2006年5月4日中国力学学会学术大会20052教学内容教学内容教学内容教学内容教学内容教学内容 绪绪绪绪论论论论 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 多自由度系统的振动多自由度系统的振动多自由度系统的振动多自由度系统的振动 振动问题的近似解法振动问题的近似解法振动问题的近似解法振动问题的近似解法 连续体系统的振动连续体系统的振动连续体系统的振动连续体系统的振动2006年5月4日中国力学学会学术大会20053 绪论绪论绪论绪论 基本概念与学习目的基本概念与学习目的基本概念与学习目的基本概念与学习目的 振动问题的提法振动问题的提法振动问题的提法振动问题的提法 力学模型力学模型力学模型力学模型 振动及系统分类振动及系统分类振动及系统分类振动及系统分类绪论绪论2006年5月4日中国力学学会学术大会20054从广义上讲，如果表征一种运动的物理量作时而增大时而减小的反复变化，就可以称这种运动为从广义上讲，如果表征一种运动的物理量作时而增大时而减小的反复变化，就可以称这种运动为振动振动 基本概念与学习目的基本概念与学习目的振动是自然界最普遍的现象之一振动是自然界最普遍的现象之一定义定义（1）心脏的搏动、耳膜和声带的振动，（）心脏的搏动、耳膜和声带的振动，（2）桥梁和建筑物在风和地震作用下的振动，（）桥梁和建筑物在风和地震作用下的振动，（3）飞机和轮船航行中的振动，（）飞机和轮船航行中的振动，（4）机床和刀具在加工时的振动各种物理现象，诸如声、光、热等都包含振动如果变化的物理量是一些机械量或力学量，例如物体的位移、速度，加速度、应力及应变等等，这种振动便称为）机床和刀具在加工时的振动各种物理现象，诸如声、光、热等都包含振动如果变化的物理量是一些机械量或力学量，例如物体的位移、速度，加速度、应力及应变等等，这种振动便称为机械振动机械振动绪论绪论2006年5月4日中国力学学会学术大会20055各个不同领域中的现象虽然各具特色，但往往有着相似的数学力学描述。正是在这个共性基础上，有可能建立某种统一的理论来处理各种振动问题各个不同领域中的现象虽然各具特色，但往往有着相似的数学力学描述。正是在这个共性基础上，有可能建立某种统一的理论来处理各种振动问题振动力学振动力学借助数学、物理、实验和计算技术，探讨各种振动现象，阐明振动的基本规律，以便克服振动的消极因素，利用其积极因素，位合理解决各种振动问题提供理论依据借助数学、物理、实验和计算技术，探讨各种振动现象，阐明振动的基本规律，以便克服振动的消极因素，利用其积极因素，位合理解决各种振动问题提供理论依据绪论绪论为2006年5月4日中国力学学会学术大会20056 学习目的学习目的它常常是造成机械和结构破坏和失效的直接原因它常常是造成机械和结构破坏和失效的直接原因1940年美国的年美国的Tacoma Narrows吊桥吊桥例如：例如：许多情况下，振动是有害的许多情况下，振动是有害的1972年日本海南电厂的一台年日本海南电厂的一台66万千瓦的气轮发电机组万千瓦的气轮发电机组美国第一颗人造卫星美国第一颗人造卫星“探险者探险者I号号”，“国际通讯卫星国际通讯卫星V号号”振动会影响精密仪器的功能，降低加工精度，加剧构件疲劳和磨损振动会影响精密仪器的功能，降低加工精度，加剧构件疲劳和磨损桥梁因振动而倒塌，飞机机翼的颤振、机轮的抖振而造成事故桥梁因振动而倒塌，飞机机翼的颤振、机轮的抖振而造成事故强烈的振动噪声而形成严重公害强烈的振动噪声而形成严重公害绪论绪论2006年5月4日中国力学学会学术大会20057学习振动力学的目的之一：学习振动力学的目的之一：掌握振动的基本理论和分析方法，用以确定和限制振动对工程结构和机械产品的性能、寿命和安全的有害影响掌握振动的基本理论和分析方法，用以确定和限制振动对工程结构和机械产品的性能、寿命和安全的有害影响绪论绪论2006年5月4日中国力学学会学术大会20058例如：振动是通信、广播、电视、雷达等工作的基础例如：振动是通信、广播、电视、雷达等工作的基础振动也有它积极的一方面，是可以利用的振动也有它积极的一方面，是可以利用的 学习目的学习目的工业用的振动筛、振动沉桩、振动输送以及地震仪等工业用的振动筛、振动沉桩、振动输送以及地震仪等学习振动力学的目的之二：学习振动力学的目的之二：运用振动理论去创造和设计新型的振动设备、仪器及自动化装置运用振动理论去创造和设计新型的振动设备、仪器及自动化装置绪论绪论2006年5月4日中国力学学会学术大会20059 绪论绪论绪论绪论 基本概念与学习目的基本概念与学习目的基本概念与学习目的基本概念与学习目的 振动问题的提法振动问题的提法振动问题的提法振动问题的提法 力学模型力学模型力学模型力学模型 振动及系统分类振动及系统分类振动及系统分类振动及系统分类绪论绪论2006年5月4日中国力学学会学术大会200510 振动问题的提法振动问题的提法通常的研究对象被称作通常的研究对象被称作系统系统系统系统（输入）（输入）激励激励（输出）（输出）响应响应它可以是一个零部件、一台机器或者一个完整的工程结构等它可以是一个零部件、一台机器或者一个完整的工程结构等外部激振力等因素称为外部激振力等因素称为激励（输入）激励（输入）系统发生的振动称为系统发生的振动称为响应（输出）响应（输出）绪论绪论2006年5月4日中国力学学会学术大会200511第一类：已知激励和系统，求响应第一类：已知激励和系统，求响应第二类：已知激励和响应，求系统第二类：已知激励和响应，求系统第三类：已知系统和响应，求激励第三类：已知系统和响应，求激励系统系统（输入）（输入）激励激励（输出）（输出）响应响应振动问题按这三个环节可分为三类问题振动问题按这三个环节可分为三类问题绪论绪论2006年5月4日中国力学学会学术大会200512第一类：已知激励和系统，求响应第一类：已知激励和系统，求响应动力响应分析动力响应分析主要任务主要任务在于验算结构、产品等在工作时的动力响应（如变形、位移、应力等）是否满足预定的安全要求和其它要求在于验算结构、产品等在工作时的动力响应（如变形、位移、应力等）是否满足预定的安全要求和其它要求在产品设计阶段，对具体设计方案进行动力响应验算，若不符合要求再作修改，直到达到要求而最终确定设计方案，这一过程就是所谓的在产品设计阶段，对具体设计方案进行动力响应验算，若不符合要求再作修改，直到达到要求而最终确定设计方案，这一过程就是所谓的振动设计振动设计正问题正问题系统系统（输入）（输入）激励激励（输出）（输出）响应响应?绪论绪论2006年5月4日中国力学学会学术大会200513第二类：已知激励和响应，求系统第二类：已知激励和响应，求系统系统识别，系统辨识系统识别，系统辨识求系统求系统，主要是指获得对于系统的物理参数（如质量、刚度和阻尼系数等）和系统关于振动的构有特性（如固有频率、主振型等）的认识，主要是指获得对于系统的物理参数（如质量、刚度和阻尼系数等）和系统关于振动的构有特性（如固有频率、主振型等）的认识以估计物理参数为任务的叫做以估计物理参数为任务的叫做物理参数辨识物理参数辨识，以估计系统振动固有特性为任务的叫做，以估计系统振动固有特性为任务的叫做模态参数辨识模态参数辨识或或试验模态分析试验模态分析第一个逆问题第一个逆问题系统系统（输入）（输入）激励激励（输出）（输出）响应响应?绪论绪论2006年5月4日中国力学学会学术大会200514第三类：已知系统和响应，求激励第三类：已知系统和响应，求激励环境预测环境预测例如：为了避免产品在公路运输中的损坏，需要通过实地行车记录汽车振动和产品振动，以估计运输过程中是怎样的一种振动环境，运输过程对于产品是怎样的一种激励，这样才能有根据地为产品设计可靠的减震包装例如：为了避免产品在公路运输中的损坏，需要通过实地行车记录汽车振动和产品振动，以估计运输过程中是怎样的一种振动环境，运输过程对于产品是怎样的一种激励，这样才能有根据地为产品设计可靠的减震包装第二个逆问题第二个逆问题系统系统（输入）（输入）激励激励（输出）（输出）响应响应?绪论绪论2006年5月4日中国力学学会学术大会200515 绪论绪论绪论绪论 基本概念与学习目的基本概念与学习目的基本概念与学习目的基本概念与学习目的 振动问题的提法振动问题的提法振动问题的提法振动问题的提法 力学模型力学模型力学模型力学模型 振动及系统分类振动及系统分类振动及系统分类振动及系统分类绪论绪论2006年5月4日中国力学学会学术大会200516 力学模型力学模型（1）连续系统模型连续系统模型（无限多自由度系统，分布参数系统）（无限多自由度系统，分布参数系统）（多自由度系统，单自由度系统）（多自由度系统，单自由度系统）数学工具：数学工具：偏微分方程偏微分方程振动系统三要素：质量，刚度，阻尼振动系统三要素：质量，刚度，阻尼质量是感受惯性（包括转动惯量）的元件，刚度是感受弹性的元件，阻尼是耗能元件质量是感受惯性（包括转动惯量）的元件，刚度是感受弹性的元件，阻尼是耗能元件描述振动系统的两类力学模型：描述振动系统的两类力学模型：（2）离散系统模型离散系统模型结构参数（质量，刚度，阻尼等）在空间上连续分布结构参数（质量，刚度，阻尼等）在空间上连续分布数学工具：数学工具：常微分方程常微分方程结构参数为集中参量结构参数为集中参量绪论绪论2006年5月4日中国力学学会学术大会200517 绪论绪论绪论绪论 基本概念与学习目的基本概念与学习目的基本概念与学习目的基本概念与学习目的 振动问题的提法振动问题的提法振动问题的提法振动问题的提法 力学模型力学模型力学模型力学模型 振动及系统分类振动及系统分类振动及系统分类振动及系统分类绪论绪论2006年5月4日中国力学学会学术大会200518 振动及系统分类振动及系统分类按运动微分方程的形式可分为：按运动微分方程的形式可分为：描述其运动的方程为描述其运动的方程为线性微分方程线性微分方程，相应的系统称为线性系统。线性系统的一个重要特性是，相应的系统称为线性系统。线性系统的一个重要特性是线性叠加原理成立线性叠加原理成立描述其运动的方程为描述其运动的方程为非线性微分方程非线性微分方程，相应的需要称为非线性系统。对于非线性振动，相应的需要称为非线性系统。对于非线性振动，线性叠加原理不成立线性叠加原理不成立线性振动非线性振动线性振动非线性振动绪论绪论2006年5月4日中国力学学会学术大会200519 振动及系统分类振动及系统分类按激励的有无和性质，振动可以分为：按激励的有无和性质，振动可以分为：固有振动自由振动强迫振动随机振动自激振动参数振动固有振动自由振动强迫振动随机振动自激振动参数振动无激励时系统所有可能的运动集合（不是现实的振动，仅反映系统关于振动的固有属性）激励消失后系统所作的振动（现实的振动）系统在外部激励作用下所做的振动系统在非确定性的随机激励下所作的振动。例如行驶在公路上的汽车的振动系统受其自身运动诱发出来的激励作用而产生和维持的振动。例如提琴发出的乐声，切削加工的高频振动，机翼的颤振等激励以系统本身的参数随时间变化的形式出现的振动。例如秋千被越荡越高。秋千受到的激励以摆长随时间变化的形式出现，而摆长的变化由人体的下蹲及站立造成无激励时系统所有可能的运动集合（不是现实的振动，仅反映系统关于振动的固有属性）激励消失后系统所作的振动（现实的振动）系统在外部激励作用下所做的振动系统在非确定性的随机激励下所作的振动。例如行驶在公路上的汽车的振动系统受其自身运动诱发出来的激励作用而产生和维持的振动。例如提琴发出的乐声，切削加工的高频振动，机翼的颤振等激励以系统本身的参数随时间变化的形式出现的振动。例如秋千被越荡越高。秋千受到的激励以摆长随时间变化的形式出现，而摆长的变化由人体的下蹲及站立造成绪论绪论2006年5月4日中国力学学会学术大会200520主要参考文献主要参考文献Thomson,W.T.,Theory of Vibration with Applications,Prentice-Hall,1972Merovitch,L.,Elements of Vibration Analysis,Mc Graw-Hill,1975Timoshenko,S.,Vibration Problems in Engineering,4ed,John Wiley&Sons,1974Tse,Francis S.,Mechanical Vibration Theory and Applications,1978倪振华，振动力学，西安交通大学出版社，倪振华，振动力学，西安交通大学出版社，1994方同，薛璞，振动理论及应用，西北工业大学出版社，方同，薛璞，振动理论及应用，西北工业大学出版社，1998季文美，机械振动学，科学出版社，季文美，机械振动学，科学出版社，1985主要参考文献主要参考文献2006年5月4日中国力学学会学术大会200521要求要求:预习：每次上课前进行预习预习：每次上课前进行预习作业：认真和独立完成作业作业：认真和独立完成作业实验：认真完成实验报告实验：认真完成实验报告要求要求单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2006年5月4日振动力学2教学内容教学内容教学内容教学内容单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动 能量法能量法能量法能量法 瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法 等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度 阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动 等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼2006年5月4日振动力学3 无阻尼自由振动无阻尼自由振动令令 x 为位移，以质量块的静平衡位置为坐标原点，为静变形。为位移，以质量块的静平衡位置为坐标原点，为静变形。当系统受到初始扰动时，由牛顿第二定律，得：当系统受到初始扰动时，由牛顿第二定律，得：)(xkmgxm+=&kmg=在静平衡位置：在静平衡位置：固有振动或自由振动微分方程：固有振动或自由振动微分方程：0=+kxxm&单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动0mx静平衡位置弹簧原长位置静平衡位置弹簧原长位置k0 x静平衡位置弹簧原长位置静平衡位置弹簧原长位置mk2006年5月4日振动力学4固有振动或自由振动微分方程：固有振动或自由振动微分方程：0=+kxxm&令：令：mk=0单位：弧度单位：弧度/秒（秒（rad/s）020=+=+xx&则有：则有：通解：通解：)sin()cos()(0201tctctx+=)sin(0：21,cc任意常数，由初始条件决定任意常数，由初始条件决定+=tA2221ccA+=211cctg=振幅：振幅：初相位：初相位：固有频率固有频率单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2006年5月4日振动力学50=+kxxm&mk=0020=+=+xx&2221ccA+=211cctg=)sin()cos()(0201tctctx+=)sin(0+=tA单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动xt0A00/2=T2006年5月4日振动力学60=+kxxm&mk=0020=+=+xx&2221ccA+=211cctg=系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系：0不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关：,A)sin()cos()(0201tctctx+=)sin(0+=tA单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2006年5月4日振动力学7考虑系统在初始扰动下的自由振动考虑系统在初始扰动下的自由振动)sin()cos()(0201tctctx+=)sin(0+=tA设的初始位移和初始速度为：设的初始位移和初始速度为：=txx=)(xx&=)()sin()cos(02011bbc=)cos()sin(02012bbc+=令：令：)(sin)(cos)(0201+=tbtbtxxb有：有：=102xb&=单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2006年5月4日振动力学8时刻以后的自由振动解为：时刻以后的自由振动解为：()()()()()()+=+=txtxtx000sincos&零时刻的初始条件：零时刻的初始条件：0)0(xx=0)0(xx=&20020+=+=xxA&0001xxtg&=)sin()cos()(00000txtxtx&+=+=零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动：)sin(0+=tA单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2006年5月4日振动力学9)sin()cos()(00000txtxtx&+=+=零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动：)sin(0+=tA无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以为振动频率的简谐振动，并且永无休止无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以为振动频率的简谐振动，并且永无休止0初始条件的说明：初始条件的说明：初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即转入了弹性势能，有初始速度即转入了动能初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即转入了弹性势能，有初始速度即转入了动能单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动xt0A00/2=T0 x2006年5月4日振动力学10)sin()cos()(00000txtxtx&+=+=零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动：)sin(0+=tA无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以为振动频率的简谐振动，并且永无休止无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以为振动频率的简谐振动，并且永无休止0单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动初始条件：初始条件：0,200=xx&固有频率从左到右：固有频率从左到右：0003,2,时间时间位置位置2006年5月4日振动力学11固有频率计算的另一种方式：固有频率计算的另一种方式：0=+kxxm&mk=0kmg=在静平衡位置：在静平衡位置：gmk=0则有：则有：对于不易得到对于不易得到 m 和和 k 的系统，若能测出静变形，则用该式计算是较为方便的的系统，若能测出静变形，则用该式计算是较为方便的单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动0mx静平衡位置弹簧原长位置静平衡位置弹簧原长位置k2006年5月4日振动力学12例：提升机系统例：提升机系统重物重 量重物重 量NW51047.1=钢丝绳的弹簧刚度钢丝绳的弹簧刚度cmNk/1078.54=重物以的速度均匀下降重物以的速度均匀下降min/15mv=求：求：绳的上端突然被卡住时，（绳的上端突然被卡住时，（1）重物的振动频率，（）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力。）钢丝绳中的最大张力。单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动Wv2006年5月4日振动力学13解：解：sradgk/6.190=则则 t=0 时，有：时，有：00振动频率振动频率重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置=xvx=0&)()6.19sin(28.1)sin()(00cmttvtx=)sin()cos()(00000txtxtx&+=+=振动解：振动解：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动W静平衡位置静平衡位置kxWv2006年5月4日振动力学14)()6.19sin(28.1)sin()(00cmttvtx=振动解：振动解：)(1021.2 1074.01047.1 555maxNkAWkATTs=+=+=绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和：绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和：+=+=动张力几乎是静张力的一半动张力几乎是静张力的一半由于由于kmvvkkA=0为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动Wv2006年5月4日振动力学15例：重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞例：重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞梁长梁长 L，抗弯刚度，抗弯刚度 EJ求：求：梁的自由振动频率和最大挠度梁的自由振动频率和最大挠度单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动mh0l/2l/22006年5月4日振动力学16解：解：由材料力学：由材料力学：自由振动频率为：自由振动频率为：EJmgl483=g=0单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动取平衡位置取平衡位置以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立坐标系以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立坐标系静变形静变形348mlEJ=mh0l/2l/2x静平衡位置静平衡位置2006年5月4日振动力学17撞击时刻为零时刻，则撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：时，有：=0 x则自由振动振幅为：则自由振动振幅为：20020+=xxA&梁的最大扰度：梁的最大扰度：+=Amax)sin()cos()(00000txtxtx&+=+=单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动h22+=ghx20=&mh0l/2l/2x静平衡位置静平衡位置2006年5月4日振动力学18例：圆盘转动例：圆盘转动圆盘转动惯量圆盘转动惯量 I在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置0=+kI&Ik/0=扭振固有频率扭振固有频率020=+&单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩)/(radmN kkI由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：2006年5月4日振动力学19由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动角振动与与直线振动直线振动的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的0=+kxxm&mk/0=单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动0=+kI&Ik/0=kI0mx静平衡位置弹簧原长位置静平衡位置弹簧原长位置k2006年5月4日振动力学20从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件惯性元件和和弹性元件弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动0=+kxxm&mk/0=0=+kI&Ik/0=kI0mx静平衡位置弹簧原长位置静平衡位置弹簧原长位置k2006年5月4日振动力学21例：复摆例：复摆刚体质量刚体质量 m对悬点的转动惯量对悬点的转动惯量0I重心重心 C求：求：复摆在平衡位置附近作微振动时的微分方程和固有频率复摆在平衡位置附近作微振动时的微分方程和固有频率单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动mg0Ia0C2006年5月4日振动力学22解：解：由牛顿定律：由牛顿定律：0sin0=+mgaI&因为微振动：因为微振动：sin00=+mgaI&则有：则有：00/Imga=固有频率：固有频率：实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法若已测出物体的固有频率，则可求出，再由移轴定理，可得物质绕质心的转动惯量：若已测出物体的固有频率，则可求出，再由移轴定理，可得物质绕质心的转动惯量：00I20maIIc=单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动mg0Ia0C2006年5月4日振动力学23单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动例：弹簧质量系统沿光滑斜面做自由振动例：弹簧质量系统沿光滑斜面做自由振动斜面倾角斜面倾角 300质量质量 m=1kg弹簧刚度弹簧刚度 k=49N/cm开始时弹簧无伸长，且速度为零开始时弹簧无伸长，且速度为零求：系统的运动方程求：系统的运动方程m300k重力角速度取重力角速度取 9.82006年5月4日振动力学24单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动解：解：x0以静平衡位置为坐标原点建立坐标系以静平衡位置为坐标原点建立坐标系振动固有频率：振动固有频率：)/(70 1/1049 /20sradmk=振动初始条件：振动初始条件：0030sin=mgkx)(1.00cmx=考虑方向考虑方向)sin()cos()(00000txtxtx&+=+=00=x&)()70cos(1.0)(cmttx初始速度：初始速度：运动方程：运动方程：=m300k2006年5月4日振动力学25教学内容教学内容教学内容教学内容 无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动 能量法能量法能量法能量法 瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法 等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度 阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动 等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2006年5月4日振动力学26 能量法能量法对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用能量守恒原理能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频率。建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频率。无阻尼系统为无阻尼系统为保守系统保守系统，其，其机械能守恒机械能守恒，即动能，即动能 T 和势能和势能V 之和保持不变，即：之和保持不变，即：constVT=+()0=+VTdtd或：或：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2006年5月4日振动力学27弹簧质量系统弹簧质量系统动能：动能：221xmT&=势能：势能：mgx（重力势能）（重力势能）（弹性势能）（弹性势能）dxxkx+0)()0=+VTdtd0)(=+xkxxm&()dxxkmgxVx+=0不可能恒为不可能恒为 0 x&0=+kxxm&单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动kmg=221kxxkmgx+=221kx=0mx静平衡位置弹簧原长位置静平衡位置弹簧原长位置k2006年5月4日振动力学28如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位置，而是取在弹簧为自由长时的位置动能：如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位置，而是取在弹簧为自由长时的位置动能：221xmT&=势能：势能：+=xkxdxmgxV00=+xkxxmgxxm&()0=+VTdtdmgkxxm=+&设新坐标设新坐标kmgxy=0=+kyym&单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动221 kxmgx+=x0mx静平衡位置静平衡位置k2006年5月4日振动力学29如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置，那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中置，那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中置，那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中置，那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中就不会出现重力项就不会出现重力项就不会出现重力项就不会出现重力项单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2006年5月4日振动力学30考虑两个特殊位置上系统的能量考虑两个特殊位置上系统的能量静平衡位置上，系统势能为零，动能达到最大静平衡位置上，系统势能为零，动能达到最大021max2maxmax=VxmT&最大位移位置，系统动能为零，势能达到最大最大位移位置，系统动能为零，势能达到最大2maxmaxmax210kxVT=constVT=+)sin()(0+=tAtxmk/0=max0maxxx=&单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动maxmaxVT=max0max=&对于转动：对于转动：x是广义的是广义的0mx静平衡位置静平衡位置k静平衡位置最大位移位置静平衡位置最大位移位置xmax0mxk2006年5月4日振动力学31例：如图所示是一个倒置的摆例：如图所示是一个倒置的摆摆球质量摆球质量m刚杆质量忽略刚杆质量忽略每个弹簧的刚度每个弹簧的刚度2k求求:(1)倒摆作微幅振动时的固有频率倒摆作微幅振动时的固有频率(2)摆球时，测得频率为，时，测得频率为，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？摆球时，测得频率为，时，测得频率为，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？kgm9.0=fHZ5.1kgm8.1=HZ75.0单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动lmak/2k/22006年5月4日振动力学32解法解法1：广义坐标广义坐标动能动能2222121&mlIT=势能势能maxmaxUT=max0max=&220mlmglka=平衡位置平衡位置1()()cos1212122=mglakV零平衡位置零平衡位置1单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动)(21 222mglka=22222sin2112121 =mglka22)(21 mglka=lmak/2k/22006年5月4日振动力学33解法解法2：平衡位置平衡位置2动能动能2222121&mlIT=势能势能()cos212122mglakV+=0)(2222=+&mglkaml()()0=+=+UTdtd0)(2222=+mglkaml&220mlmglka=零平衡位置零平衡位置2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动+=2sin2121 222mglka2222121 mglmglka+=mglmglka+=22)(21 lmak/2k/22006年5月4日振动力学34教学内容教学内容教学内容教学内容 无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动 能量法能量法能量法能量法 瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法 等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度 阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动 等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2006年5月4日振动力学35 瑞利法瑞利法利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限。这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高。利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限。这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高。单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动mkx02006年5月4日振动力学36例如：弹簧质量系统例如：弹簧质量系统设弹簧的动能设弹簧的动能:221xmTtt&=系统最大动能：系统最大动能：2max2maxmax2121xmxmTt&+=系统最大势能：系统最大势能：2maxmax21kxV=max0maxxx=&tmmk+=+=0若忽略，则增大若忽略，则增大tm0单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2max)(21xmmt&+=tm弹簧等效质量弹簧等效质量mtmkx02006年5月4日振动力学37教学内容教学内容教学内容教学内容 无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动 能量法能量法能量法能量法 瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法 等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度 阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动 等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2006年5月4日振动力学38 等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度方法方法1：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：221xMTe&=221xKVe=当、分别取最大值时：当、分别取最大值时：x&x则可得出：则可得出：maxTT maxVVeeMK/0=Ke：简化系统的等效刚度：简化系统的等效刚度Me：简化系统的等效质量：简化系统的等效质量这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2006年5月4日振动力学39动能动能2222121&mlIT=势能势能220mlmglka=22)(21mglkaV=2mlMe=零平衡位置零平衡位置1mglkaKe=2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动lmak/2k/22006年5月4日振动力学40方法方法2：定义法：定义法等效刚度：等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度等效质量：等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2006年5月4日振动力学41例：串联系统例：串联系统11kP=22kP=总变形：总变形：Pkk)11(2121+=+=2121kkkkPKe+=+=21111kkKe+=+=弹簧弹簧1变形：弹簧变形：弹簧2变形：变形：在质量块上施加力在质量块上施加力P根据定义：根据定义：或或Pmk1k2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度2006年5月4日振动力学42例：并联系统例：并联系统两弹簧变形量相等：两弹簧变形量相等：受力不等：受力不等：11kP=22kP=在质量块上施加力在质量块上施加力P由力平衡：由力平衡：)(2121kkPPP+=+=根据定义：根据定义：21kkPKe+=+=并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和Pmk1k2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动mk1k2使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度2006年5月4日振动力学43例：杠杆系统例：杠杆系统杠杆是不计质量的刚体杠杆是不计质量的刚体求：求：系统对于坐标系统对于坐标x的等效质量和等效刚度的等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动k1k2m1m2l1l2l3x2006年5月4日振动力学44解法解法1：能量法：能量法动能：动能：21222