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专题训练(一)-平行四边形的证明思路

专题训练(一)　平行四边形的证明思路
班别 姓名
【题型1】　若已知条件出现在四边形的边上，则应考虑：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

1．如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD.
求证：四边形BECD是平行四边形．

2．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BE＝DF.求证：四边形AECF是平行四边形．

3．如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．

4．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE，连接BF.
(1)求证：BF＝DC；
(2)求证：四边形ABFD是平行四边形．

【题型2】　若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD是平行四边形．

【题型3】　若已知条件出现在对角线上，则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明
6．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F.求证：四边形ABFC为平行四边形．

7．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．

8．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点．求证：四边形AECF是平行四边形．

专题训练(四)　平行四边形的证明思路
类型1　若已知条件出现在四边形的边上，则应考虑：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1．如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD.求证：四边形BECD是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，即BE∥CD.
又∵EC∥BD，
∴四边形BECD是平行四边形．

2．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BE＝DF.求证：四边形AECF是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵BE＝DF，
∴AB－BE＝CD－DF，即AE＝CF.
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．

3．如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD.
又∵△ADE和△BCF都是等边三角形，
∴DE＝AD＝AE，CF＝BF＝BC，∠DAE＝∠BCF＝60°.
∴BF＝DE，CF＝AE，∠DCF＝∠BCD－∠BCF，∠BAE＝∠DAB－∠DAE，即∠DCF＝∠BAE.
在△DCF和△BAE中，

∴△DCF≌△BAE(SAS)．
∴DF＝BE.
∴四边形BEDF是平行四边形．

4．(钦州中考)如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE，连接BF.
(1)求证：BF＝DC；
(2)求证：四边形ABFD是平行四边形．

证明：(1)∵DE是△ABC的中位线，
∴CE＝BE.
在△DEC和△FEB中，

∴△DEC≌△FEB.
∴BF＝DC.(SAS)
(2)∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，且DE＝AB.
又∵EF＝DE，
∴DE＝DF.
∴DF＝AB.
∴四边形ABFD是平行四边形．

类型2　若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
∠C＋∠D＝180°.
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D.
∴四边形ABCD是平行四边形．

类型3　若已知条件出现在对角线上，则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明
6．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F.求证：四边形ABFC为平行四边形．

证明：∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE.
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE.
在△ABE和△FCE中，

∴△ABE≌△FCE(AAS)．
∴AE＝EF.
又∵BE＝CE，
∴四边形ABFC是平行四边形．

7．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD.
∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO.
∴△FDO≌△EBO.(AAS)
∴OF＝OE.
∴四边形AECF是平行四边形．

8．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点．求证：四边形AECF是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵点E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE＝OB，OF＝OD.
∴OE＝OF.
∴四边形AECF是平行四边形．

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