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专题5-传送带模型的结论总结

关于传送带传送物体的结论总结
1. 基本道具：传送带（分水平和倾斜两种情形）、物件（分有无初速度两种情形）
2. 问题基本特点：判断能否送达、离开速度大小、历时、留下痕迹长度等等。
3. 基本思路：分析各阶段物体的受力情况，并确定物件的运动性质（由合外力和初速度共同决定，即动力学观点）
4. 典型事例：
一、 水平传送带
例1：如图所示，设两半径均为R的皮带轮轴心间距离为L,物块与传送带间的动摩擦因素为μ.物块（可视为质点）质量为m，从水平以初速度v0滑上传送带左端。试讨论物体在传送带上留下的痕迹（假设物块为深色，传送带为浅色）
（一） 若传送带静止不动，则可能出现：
1、v0=,恰好到达右端，vt=0，历时t=，
留下痕迹△S=L
2、v0﹥，从右端滑离，vt=,历时t=，留下痕迹
△S=L
3、v0＜，只能滑至离左端S=处停下，vt=0，历时t=，留下痕迹△S=S=
（二） 若传送带逆时针以速度匀速运动，可能出现：
1、v0=恰好能（或恰好不能）到达右端，vt=0，历时t=，留下痕迹长△S有两种情形：（1）当v＜时，△S=vt+L=+L;(2)当v≥时，
△S=2（L+πR_）{注意：痕迹长至多等于周长，不能重复计算}。
2、v0﹥，从右端滑出，vt=，历时t=，留下的痕迹长△S也有两种情形：（1）当v＜时，△S=vt+L；（2）当 v≥时，△S=2（L+πR）
3、v0＜，物块先向右匀减速至离左端S=处，速度减为零，历时t1=，之后，
（1）如果v0≤v，物块将一直向左匀加速运动，最终从左端滑落，vt=v0，又历时t2=t1，留下的痕迹长△S=2vt1（但至多不超过2L+2πR）。
（2）如果v0＞v,物块将先向左匀加速运动一段时间t2=，再随传送带一起向左匀速运动一段时间t3=，最终从左端滑落；vt=v，留下的痕迹长△S=v（t1+t2）+（t1-t2）（但最多不超过2L+2πR）.
(三)若传送带顺时针以速度v匀速运动，可能出现
1.0≤v0≤，物块一直做匀加速运动，从右端滑出，vt=，历时t=，留下的痕迹长△S=（vt－L）(但最多不超过2L+2πR)
2. ＜v0＜v,物块先向右做匀加速，历时t1=，后随传送带一块以速度v匀速运动，历时t2=，vt=v，留下的痕迹长△S=（但此时必有△S＜L）
3．v0=v，物块始终随传送带一块向右匀速运动，历时t=，vt=v，△S=0
二、倾斜传送带:
例2：如图所示。传送带倾角为θ,两轮半径均为R,轴心间距离为L。物块的质量为m（可视为质点）。与传送带间的动摩擦因数为μ,试讨论物体在传送带上留下的痕迹（假设物块为深色，传送带为浅色）：
(一)传送带顺时针以速度v匀速运动，而物块轻放于最低端，可能出现：
1. μ≤tanθ,即mgsinθ≥mgcosθ ,无论V多大物块无法被传递到顶端;
2. μ＞tanθ,即mgsinθ<μmgcosθ，说明物块放上后将向上匀加速运动（受力如图），加速度a=g(μcosθ－sinθ)
(1) 如果v≥ ，则物块一直向上做匀加速运动，至顶端vt=,历时 t==,
留下的痕迹长△S= v t－L (但至多不超过2πR+2L)。
(2) 如果v＜，则物块先向上匀加速运动至离底端S1=，历时t1=;之后，∵mgsinθ<μmgcosθ，滑动摩擦力突变为静摩擦力，大小f’=mgsinθ，物块随传送带一起以速度v向上匀速运动，直至从顶端滑离；v t= v，又历时t2=－;
留下的痕迹长△S== S1＜L。
（二）传送带顺时针以速度v匀速运动，而物块轻放于最顶端，可能出现：
1．μ≥tanθ,即mgsinθ≤μmgcosθ，无论v多大，物块无法被传递到底端；
2．μ＜tanθ,即mgsinθ＞μmgcosθ，物体将匀加速下滑，加速度a=g(sinθ－μcosθ),
从底端滑离；v t=，历时t=,
留下的痕迹长△S= vt+L （但至多不超过2πR+2L）。
(三) 传送带逆时针以速度v匀速运动，而物块轻放于最顶端，可能出现：
1. v≥，物块一直向下匀加速运动，a=g(sinθ+μcosθ),从底端滑离；v t=，留下痕迹长△S=vt－L(但至多不超过2πR+2L)。
2. v＜，物块先向下以加速度a1=g(sinθ+μcosθ)做匀加速运动，至距顶端S1=处，速度达到v，历时t1=,此后，
（1）如果μ＜tanθ，则继续以a1=g(sinθ－μcosθ)向下做加速运动，从底端滑离时vt=,又历时t2=，整个过程中留下痕迹长为△S，①当v t≤3 v时，
△S== S1；②当v t＞3 v时，△S=
(2) 如果μ≥tanθ，则物块将随传送带以速度v一起向下匀速运动(这期间滑动摩擦力变为沿斜面向上的静摩擦力)，直至从底端滑离；v t= v ，又历时t2=,整个过程中，留下的痕迹长△S== S1。
（四）设传送带足够长，且μ≥tanθ，开始时，传送带静止，物块轻放于最顶端。现让传送带以恒定的加速度a0逆时针开始运动，当其速度达到v0后，便以此速度做匀速运动。经过一段时间，物块在传送带上面留下了一段痕迹，物块相对于传送带不再滑动。求此痕迹的长度△S。
【分析】依题意可知，物块能在传送带上留下一段痕迹，现设传送带匀加速运动时的加速度a0＞g(sinθ+μcosθ).如果a0≤g(sinθ+μcosθ)，则物块将随着传送带一起运动，并始终保持相对静止，不会留下一段痕迹，这与题设条件不符。
设传送带匀加速运动时间t1,自开始至物块速度也达v0共历时t，则
v0= a0t1=at ①
物块速度达到v0之前，受力如图甲，加速度a= g(sinθ+μcosθ). ②
物块在传送带上留下的痕迹长△S= a0t12+ v0（t－t1）－at2 ③
物块速度达到v0时，∵mgsinθ≤μmgcosθ ,滑动摩擦力（沿斜面向下）突变为静摩擦力
F静= mgsinθ（方向沿斜面向上），之后，相对传送带静止随传送带一起以v0向下匀速运动。受力如图乙所示。联立① ② ③可得; △S=

巩固练习
v2
v1
1．如图所示,一水平方向足够长的传送带以恒定的速度v1沿顺时针方向运动，传送带右端有一与传送带等高的光滑水平面，物体以恒定的速率v2沿直线向左滑上传送带后，经过一段时间又返回´光滑水平面上，这时速率为v2´,则下列说法正确的是( AB )
A、若v1<v2，则v2´=v1
B、若v1>v2，则v2´ =v2
C、不管v2多大，总有v2´=v2
D、只有v1=v2时，才有v2´=v1
2．已知一足够长的传送带与水平面的倾角为θ，以一定的速度匀速运动。某时刻在传送带适中的位置冲上一定初速度的物块（如图a），以此时为t=0时刻记录了小物块之后在传送带上运动速度随时间的变化关系，如图b所示（图中取沿斜面向上的运动方向为正方向，其中两坐标大小v1＞v2）。已知传送带的速度保持不变，物块与传送带间的μ＞tanθ（g取10 m/s2），则（ ）
A．0～t1内，物块向上做匀减速运动
B．t1～t2内，物块向上做匀加速运动
C．0～t2内，传送带对物块的摩擦力始终沿斜面向下
D．t2以后物块随传送带一起向上做匀速运动不受摩擦力作用

3．将一个粉笔头轻放在以2m/s的恒定速度运动在足够长的水平传送带上后，传送带上留下一条长度为4m的划线。若使该传送带仍以2m/s的初速改做匀减速运动，加速度大小恒为1.5m/s2，且在传送带开始做匀减速运动的同时，将另一粉笔头（与传送带的动摩擦因数和第一个相同）轻放在传送带上，该粉笔头在传送带上能留下一条多长的划线？
3．t
v
v0
0
v1
t1
t2
t3

传送带
粉笔头
解析：在同一v－t坐标图上作出两次划线粉笔头及传送带的速度图象，如图所示。
第一次划线。传送带匀速，粉笔头匀加速运动，AB和OB分别代表它们的速度图线。速度相等时（B点），划线结束，图中 的面积代表第一次划线长度 ，即B点坐标为（4，2），粉笔头的加速度 。
第二次划线分两个AE代表传送带的速度图线，它的加速度为 可算出E点坐标为（4/3，0）。OC代表第一阶段粉笔头的速度图线，C点表示二者速度相同， 即C点坐标为（1，0.5）该阶段粉笔头相对传送带向后划线，划线长度 。等速后，粉笔头超前，所受滑动摩擦力反向，开始减速运动， 由于传送带先减速到0，所以后来粉笔头一直匀减速至静止。CF代表它在第二阶段的速度图线。可求出F点坐标为（2，0）此阶段粉笔头相对传送带向前划线，长度 。可见粉笔头相对传送带先向后划线1m，又折回向前划线1/6m，所以粉笔头在传送带动能留下1m长的划线。

A
B
4．如图所示，传送带与地面倾角θ=37°，AB长为16m，传送带以10m/s的速度匀速运动。在传送带上端A无初速地释放一个质量为0.5kg的有色物体，它与传送带之间的动摩擦系数为μ=0.5，（g=10m/s2）
求：物体从A 运动到B 的过程中，有色物体在传送带上留下的痕迹？
4． 提示：ΔS1= s1´- s1=5m 超前 ΔS2= s2- s2´=1m落后 ΔS1>ΔS2 痕迹L=5m
s
m
a
b
5．如图所示，传送带始终保持v=4m/s的速度顺时针方向运动，一个质量为m=1.0kg，初速度为零的小物体放在传送带的左端a处，若物体与传送带之间的动摩擦因素µ=0.2，传送带左右两端ab的距离为s=8m。求物体从左端a处运动到右端b处的时间;
5． t= 3s
ω
30°
h
6．如图所示，电动机带着绷紧的传送皮带始终以υ0＝2m／s的速度运动，传送带与水平面的夹角为30°，现把某一工件轻轻地放在皮带的底端，经过一段时间后，工件被送到高h＝2m的平台上，已知工件与皮带间的动摩擦因数μ=/2，,求：
(1) 工件从传送皮带底端运动到顶端所用的时间；
(2) 在此过程中工件在传送带上留下多长的划痕。
6．解：（1）工件刚开始运动时与传送皮带之间有相对滑动，工件刚开始沿传送皮带向上匀加速运动.斜面长度
工件匀加速运动时
工件的加速度
工件达到速度υ0＝2m/s所需时间
此过程工件沿传送皮带向上运动的位移
﹤L
在此之后由于工件与传送皮带相对静止，工件以υ0＝2m/s的速度匀速直线运动
工件匀速运动经历
工件从传送皮带底端运动到顶端所用的时间
（2）在工件匀加速运动过程中传送皮带运动的距离为
此过程中的相对位移大小（即划痕）为
7. (06高考题)一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ.初始时，传送带与煤块都是静止的.现让传送带以恒定的加速度a0开始运动，当其速度达到v0后，便以此速度做匀速运动.经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动.求此黑色痕迹的长度.
7．解：根据“传送带上有黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生了相对滑动，煤块的加速度a小于传送带的加速度a0。根据牛顿定律，可得 a=μg
设经历时间t，传送带由静止开始加速到速度等于v0，煤块则由静止加速到v，有
v0=a0t v=at
由于a<a0，故v<v0，煤块继续受到滑动摩擦力的作用。再经过时间t'，煤块的速度由v增加到v0，有 v=v+at'郝双
此后，煤块与传送带运动速度相同，相对于传送带不再滑动，不再产生新的痕迹。
设在煤块的速度从0增加到v0的整个过程中，传送带和煤块移动的距离分别为s0和s，有
s0=a0t2+v0t' s=
传送带上留下的黑色痕迹的长度 l=s0－s 由以上各式得
8．θ
A
B
C
D
右图为仓库中常用的皮带传输装置示意图，它由两台皮带传送机组成，一台水平传送，A、B两端相距3m，另一台倾斜，传送带与地面的倾角为37°，C、D两端相距4. 45m，B、C相距很近。水平传送带以5m/s的速度沿顺时针方向转动，现将质量为10kg的一袋大米无初速度地放在A端，它随传送带到达B端后，速度大小不变地传到倾斜传送带的C点，米袋与两传送带间的动摩擦因数均为0. 5，g取10m/s2，sin37˚=0. 6，cos37˚=0. 8。
（1）若CD部分传送带不运转，求米袋沿传送带在CD上所能上升的最大距离；
（2）若倾斜部分CD以4m/s的速率顺时针方向转动，求米袋从C运动到D所用的时间。
8．解：（1）米袋在AB上加速时的加速度
米袋的速度达到=5m／s时，滑行的距离，因此米袋加速一段后与传送带一起匀速运动到达B点，到达C点时速度：
v0=5m/s
设米袋在CD上运动的加速度大小为a，由牛顿第二定律得

代人数据得：a=10m/s2
∴ 它能上滑的最大距离m
（2）倾斜部分传送带沿顺时针方向转动时，米袋速度减为4m／s之前的加速度为
m/s2
速度减为4m / s时上滑位移为m
米袋速度等于4m／s时，滑动摩擦力方向改变，由于，故米继续向上减速运动
米袋速度小于4m／s减为零前的加速度为
m/s2
速度减到0时上滑位移为m
可见，米袋速度减速到0时，恰好运行到D点。
米袋从C运动到D所用的时间s

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