专题一--含参数导数问题.doc

专题一：含参数的导数问题
一. 分类讨论的基本点：
例1（2008年高考广东卷（理科）
设，函数，试讨论函数的单调性。

例2 (2008高考浙江卷理科)已知是实数，函数
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设为在区间上的最小值。
（）写出的表达式；（）求的取值范围，使得。

例3（2007年高考天津理科卷）已知函数，其中。
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。

例4（07高考山东理科卷改编）设函数，其中，求函数的极值点。

练习题：
1. （2010北京理数）已知函数()=In(1+)-+ (≥0)。
(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求()的单调区间。
2.（2010辽宁理数）已知函数
（I）讨论函数的单调性；
（II）设.如果对任意，，求的取值范围。
3. （2010山东理数）已知函数.
(Ⅰ)当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使
，求实数取值范围.
4. （2011广东文数）设,讨论函数 的单调性．
5. （2011湖南文数）设函数
(I)讨论的单调性；
（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
6. （2011辽宁理数）已知函数．
（I）讨论的单调性；（II）设，证明：当时，；
（III）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明： ．

二. 利用导数求参数的取值范围：
例1.已知，
（１）若的单调递减区间是， 求的取值范围
变题：若在上单调递减， 求的取值范围
（２）若在区间上单调递增，求的取值范围

练习：若在区间[2m-1,m+1]上递增,求m的取值范围.

例2.已知,,函数= 的图象与函数=的图象相切，
(Ⅰ)求与的关系式（用表示）；
(Ⅱ)设函数=在(-∞,+∞)内有极值点，求的取值范围.
解析：(Ⅰ)∵ 与的图象相切，∴切线的斜率相等，
即=即，故，
切点的纵坐标为=，解得，
又∵,，∴，即.
(Ⅱ) ∵==，
∴=，令=0，即
=0 (这是二次方程，可通过判别式判断根的个数，进而判断极值点的情况)
Δ==
① 若Δ=0，=0有一个实根，则=，
的变化如下：

（-∞，）

（，+∞）

+
0
+

故=不是的极值点；
②若Δ＞0，=0有两个不同的实根、，不妨设＜，则=，的变化如下：

（-∞，）

（，）

（，+∞）

+
0
-
0
+
故、分别为函数的极大值点和极小值点.
综合①②，当Δ＞0，=0在(-∞,+∞)内有极值点.
由Δ=＞0，即＞，又由(Ⅰ) ，
得，＞解得， 或.
故的取值范围是（0，）∪（，+∞）.
点评：解决Ⅰ要明了切线与导数之间的关系；解决Ⅱ借助了一元二次方程的判别式，更要结合导数与极值之间的关系.
练习：（2009江西卷文）设函数． （1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．
解析 (1) , 因为,, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值为
(2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ;
所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ;
故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.
例3.已知函数f(x)=
(Ⅰ)当时, 求的最大值;
(Ⅱ) 设, 是图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数，使得恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)当-2≤<时，由=0得x1=
显然-1≤x1<,<x2≤2，
又=－
当≤x≤x2时，≥0，单调递增；
当x2<x≤2时，<0，单调递减，
∴max=(x2)=
=-
(Ⅱ)答: 存在符合条件
解: 因为=
不妨设任意不同两点，其中
则
由 知: 1+
因为，所以1+，
故存在符合条件。
练习：已知
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求函数在上的最小值;
(Ⅲ)对一切的,恒成立,求实数的取值范围.
(Ⅰ)
……2分

……4分
(Ⅱ)(ⅰ)0<t<t+2<，t无解；……5分
(ⅱ)0<t<<t+2，即0<t<时，；……7分
(ⅲ)，即时，，
……9分
……10分
(Ⅲ)由题意:在上恒成立
即
可得……11分（分离常数）
设,
则……12分
令,得(舍)
当时,;当时,
当时,取得最大值, =-2……13分
.

练习题：
1. 已知是的一个极值点，且与函数的图象有3个交点，求实数的取值范围．
2. 已知函数.
（I）判断函数的单调性；
（Ⅱ）若+的图像总在直线的上方，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若函数与的图像有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数的值.
3. 已知函数，
（I）若是函数的一个极值点，求；
（II）讨论函数的单调区间；
（III）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。
4.
（I）若函数仅在处有极值，求实数的取值范围；
（II）若对于任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围。

4.