1.1.4集合的全集与补集.doc

第4课时 集合的全集与补集

（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解全集的意义.
（2）理解补集的含义，会求给定子集的补集.
2．过程与方法
通过示例认识全集，类比实数的减法运算认识补集，加深对补集概念的理解，完善集合运算体系，提高思维能力.
3．情感、态度与价值观
通过补集概念的形成与发展、理解与掌握，感知事物具有相对性，渗透相对的辨证观点.
（二）教学重点与难点
重点：补集概念的理解；难点：有关补集的综合运算.
（三）教学方法
通过示例，尝试发现式学习法；通过示例的分析、探究，培养发现探索一般性规律的能力.
（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出问题
导入课题
示例1：数集的拓展
示例2：方程(x – 2) (x2 – 3) = 0的解集. ①在有理数范围内，②在实数范围内.
学生思考讨论.

挖掘旧知，导入新知，激发学习兴趣.
形成概念
1．全集的定义.
如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，称这个集合为全集，记作U.
示例3：A = {全班参加数学兴趣小组的同学}，B = {全班设有参加数学兴趣小组的同学}，U = {全班同学}，问U、A、B三个集关系如何.
2．补集的定义
补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作UA.
即UA = {x | x∈U，且}，
Venn图表示
A
UA
U

师：教学学科中许多时候，许 多问题都是在某一范围内进行研究. 如实例1是在实数集范围内不断扩大数集. 实例2：①在有理数范围内求解；②在实数范围内求解. 类似这些给定的集合就是全集.
师生合作，分析示例
生：①U = A∪B，
②U中元素减去A中元素就构成B.
师：类似②这种运算得到的集合B称为集合A的补集，生师合作交流探究补集的概念.
合作交流，探究新知，了解全集、补集的含义.
应用举例
深化概念
例1 设U = {x | x是小于9的正整数}，A = {1，2，3}，B = {3，4，5，6}，求UA，UB.
例2 设全集U = {x | x是三角形}，A = {x|x是锐角三角形}，B = {x | x是钝角三角形}. 求A∩B，U (A∪B).
学生先尝试求解，老师指导、点评.
例1解：根据题意可知，U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，所以 UA = {4, 5, 6, 7, 8}，
UB = {1, 2, 7, 8}.
例2解：根据三角形的分类可知 A∩B =，
A∪B = {x | x是锐角三角形或钝角三角形}，
U (A∪B) = {x | x是直角三角形}.
加深对补集概念的理解，初步学会求集合的补集.
性质探究
补集的性质：
①A∪(UA) = U，
②A∩(UA) =.
练习1：已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，A={2, 4, 5}，B = {1, 3, 5, 7}，求A∩(UB)，(UA)∩(UB).
总结：
(UA)∩(UB) = U (A∪B)，
(UA)∪(UB) = U (A∩B).
师：提出问题
生：合作交流，探讨
师生：学生说明性质①、②成立的理由，老师点评、阐述.
师：变式练习：求A∪B，求U (A∪B)并比较与(UA)∩(UB)的结果.
解：因为UA = {1, 3, 6, 7}，UB = {2, 4, 6}，所以A∩(UB) = {2, 4}，
(UA)∩(UB) = {6}.

能力提升. 探究补集的性质，提高学生的归纳能力.
应用举例
例2 填空
（1）若S = {2，3，4}，A = {4，3}，则SA = .
（2）若S = {三角形}，B = {锐角三角形}，则SB = .
（3）若S = {1，2，4，8}，A =，则SA = .
（4）若U = {1，3，a2 + 3a + 1}，A = {1，3}，UA = {5}，则a .
（5）已知A = {0，2，4}，UA = {–1，1}，UB = {–1，0，2}，求B =
.
（6）设全集U = {2，3，m2 + 2m – 3}，A = {|m + 1| ，2}，UA = {5}，求m.
（7）设全集U = {1，2，3，4}，A = {x | x2 – 5x + m = 0，x∈U}，求UA、m.

师生合作分析例题.
例2（1）：主要是比较A及S的区别，从而求SA .
例2（2）：由三角形的分类找B的补集.
例2（3）：运用空集的定义.
例2（4）：利用集合元素的特征.
综合应用并集、补集知识求解.
例2（7）：解答过程中渗透分类讨论思想.
例2（1）解：SA = {2}
例2（2）解：SB = {直角三角形或钝角三角形}
例2（3）解：SA = S
例2（4）解：a2 + 3a + 1 = 5，
a = – 4或1.
例2（5）解：利用韦恩图由A设UA 先求U = {–1，0，1，2，4}，再求B = {1，4}.
例2（6）解：由题m2 + 2m – 3 = 5且|m + 1| = 3，
解之m = – 4或m = 2.
例2（7）解：将x = 1、2、3、4代入x2 – 5x + m = 0中，m = 4或m = 6，
当m = 4时，x2 – 5x + 4 = 0，即A = {1，4}，
又当m = 6时，x2 – 5x + 6 = 0，即A = {2，3}.
故满足条件：UA = {1，4}，m = 4；UB = {2，3}，m = 6.
进一步深化理解补集的概念. 掌握补集的求法.
归纳总结
1．全集的概念，补集的概念.
2．UA ={x | x∈U，且}.
3．补集的性质：
①(UA)∪A = U，(UA)∩A =，
②U= U，UU =，
③(UA)∩(UB) = U (A∪B)，
(UA)∪(UB) = U (A∩B)
师生合作交流，共同归纳、总结，逐步完善.
引导学生自我回顾、反思、归纳、总结，形成知识体系.
课后作业
1.1 第四课时习案
学生独立完成
巩固基础、提升能力
备选例题
例1 已知A = {0，2，4，6}，SA = {–1，–3，1，3}，SB = {–1，0，2}，用列举法写出集合B.
【解析】∵A = {0，2，4，6}，SA = {–1，–3，1，3}，
∴S = {–3，–1，0，1，2，3，4，6}
而SB = {–1，0，2}，∴B =S (SB) = {–3，1，3，4，6}.
例2 已知全集S = {1，3，x3 + 3x2 + 2x}，A = {1，|2x – 1|}，如果SA = {0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由.
【解析】∵SA = {0}，∴0∈S，但0A，∴x3 + 3x2 + 2x = 0，x(x + 1) (x + 2) = 0，
即x1 = 0，x2 = –1，x3 = –2.
当x = 0时，|2x – 1| = 1，A中已有元素1，不满足集合的性质；
当x= –1时，|2x – 1| = 3，3∈S； 当x = –2时，|2x – 1| = 5，但5S.
∴实数x的值存在，它只能是–1.
例3 已知集合S = {x | 1＜x≤7}，A = {x | 2≤x＜5}，B = {x | 3≤x＜7}. 求：
（1）(SA)∩(SB)；（2）S (A∪B)；（3）(SA)∪(SB)；（4）S (A∩B).
【解析】如图所示，可得

A∩B = {x | 3≤x＜5}，A∪B = {x | 2≤x＜7}，
SA = {x | 1＜x＜2，或5≤x≤7}，SB = {x | 1＜x＜3}∪{7}.
由此可得：（1）(SA)∩(SB) = {x | 1＜x＜2}∪{7}；
（2）S (A∪B) = {x | 1＜x＜2}∪{7}；
（3）(SA)∪(SB) = {x | 1＜x＜3}∪{x |5≤x≤7} = {x | 1＜x＜3，或5≤x≤7}；
（4）S (A∩B) = {x | 1＜x＜3}∪{x | 5≤x≤7} = {x | 1＜x＜3，或5≤x≤7}.
例4 若集合S = {小于10的正整数}，，，且(SA)∩B = {1，9}，A∩B = {2}，(SA)∩(SB) = {4，6，8}，求A和B.
【解析】由(SA)∩B = {1，9}可知1，9A，但1，9∈B，
由A∩B = {2}知，2∈A，2∈B.
由(SA)∩(SB) = {4，6，8}知4，6，8A，且4，6，8B
下列考虑3，5，7是否在A，B中：
若3∈B，则因3A∩B，得3A. 于是3∈SA，所以3∈(SA)∩B，
这与(SA)∩B = {1，9}相矛盾.
故3B，即3∈(SB)，又∵3(SA)∩(SB)，
∴3(SA)，从而3∈A；同理可得：5∈A，5B；7∈A，7B.
故A = {2，3，5，7}，B = {1，2，9}.
评注：此题Venn图求解更易.