231直线与平面垂直的判定高中数学人教版必修二.pptx

2.3.1直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？几个吗？实例引入实例引入旗杆与底面垂直旗杆与底面垂直桥柱与水面的位置关系，给人桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象以直线与平面垂直的形象.思考思考1.1.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系置关系.AB1.1.旗杆所在的直线始终与旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直影子所在的直线垂直.请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过示的试验：过ABCABC的顶点的顶点A A翻折纸片，得到折痕翻折纸片，得到折痕ADAD，将翻折后的纸片竖起放置在桌上（将翻折后的纸片竖起放置在桌上（BDBD、DCDC与桌面接触）与桌面接触）.A ABCD思考思考3 3 (1)(1)折痕折痕ADAD与桌面垂直吗？与桌面垂直吗？(2)(2)如何翻折才能保证折痕如何翻折才能保证折痕ADAD与桌面所在平面垂直？与桌面所在平面垂直？当折痕当折痕ADBCADBC时时,折痕折痕ADAD与桌面所在平面垂直与桌面所在平面垂直.BDCA BD,CD BD,CD都在桌面内，都在桌面内，BDBDCD=DCD=D，ADCD,ADBD,ADCD,ADBD,直线直线ADAD所在的直线与桌面垂直所在的直线与桌面垂直mnP 如果直线如果直线 l 与平面与平面 内的任意一条直线都垂直，内的任意一条直线都垂直，我们说我们说直线直线 l 与平面与平面 互相垂直互相垂直，记作记作 平面平面 的垂线的垂线直线直线 l 的垂面的垂面垂足垂足直线与平面垂直直线与平面垂直对定义的认识对定义的认识“任何”表示所有.直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足.等价于对任意的直线 ，都有利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质也得到了线面垂直的最基本的性质.直线与平面垂直直线与平面垂直 除定义外，如何判断一条直线与平面垂直除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？呢？判定定理判定定理判定定理判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直直，则该直线与此平面垂直作用：作用：判定直线与平面垂直判定直线与平面垂直直线与平面垂直直线与平面垂直直线与平面垂直直线与平面垂直判定定理判定定理判定定理判定定理简记为：简记为：线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直“平面内平面内”，“相交相交”，“垂直垂直”三个条件必不可少三个条件必不可少 如图，直四棱柱如图，直四棱柱 （侧棱与底面垂（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形 满足什满足什么条件时，么条件时，？底面四边形底面四边形 对对角线相互垂直角线相互垂直随堂练习随堂练习线面垂直判定定理的应用例 1：已知：如图 1，空间四边形 ABCD 中，ABAC，DBDC，取 BC 中点 E，连接 AE、DE，求证：BC平面 AED.图 1证明：ABAC，DBDC，E 为BC 中点，AEBC，DEBC.又AE 与DE 交于E，BC平面AED.由判定定理可知要证明直线垂直平面，只需证明直线与平面内的任意两条相交直线垂直即可例例例例2:2:2:2:如图，点如图，点如图，点如图，点P P P P 是平行四边形是平行四边形是平行四边形是平行四边形ABCD ABCD ABCD ABCD 所在平面外一点，所在平面外一点，所在平面外一点，所在平面外一点，O O O O 是对角线是对角线是对角线是对角线ACACACAC与与与与BDBDBDBD的交点，且的交点，且的交点，且的交点，且PA PA PA PA=PC,PB PC,PB PC,PB PC,PB=PD.PD.PD.PD.求证：求证：求证：求证：POPOPOPO平面平面平面平面ABCDABCDABCDABCDCABDOP =ABCDPOOBDAC平面平面又IQBDPOBDOPDPB的中点的中点是是点点又=Q,ACPOACOPCPA的中点的中点是是点点证明证明=Q,PABCO3.如图，圆如图，圆O所在一平面为所在一平面为 ，AB是圆是圆O 的直径，的直径，C 在圆周上在圆周上,且且PA AC,PA AB,求证：（求证：（1）PA BC （2）BC 平面平面PAC证明：PA O 所在平面，BCO 所在平面，PA BC，AB 为O 直径，ACBC，又 PA ACA，BC平面 PAC，又 AE平面 PAC，BCAE，AEPC,PCBCC，AE平面 PBC.例 3：如图 6，已知 PA O 所在平面，AB 为O 直径，C 是圆周上任一点，过 A 作 AEPC 于 E，求证：AE平面 PBC.图 6 例例1 如图，已知如图，已知 ，求证，求证根据直线与平面垂直的定义知根据直线与平面垂直的定义知又因为又因为所以所以又又是两条相交直线，是两条相交直线，所以所以证明：在平面证明：在平面 内作内作两条相交直线两条相交直线m，n因为直线因为直线 ，典型例题典型例题即：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一即：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面条也垂直于同一个平面AVABC.DVA=VC，AB=BC,ABCV-求证求证:VB AC.中，中，在三棱锥在三棱锥1.1.如图，如图，练习：练习：提示：提示：找找ACAC中点中点D,D,连接连接VD,BDVD,BD中中外外垂垂41.P 为ABC 所在平面外一点，O 为 P 在平面 ABC 上的射影(1)若 PA PBPC，则 O 是ABC 的_；(2)若 PA BC，PBAC，则 O 是ABC 的_；(3)若 P 到ABC 三边的距离相等，且 O 在ABC 内部，则O 是ABC 的_；(4)若 PA、PB、PC 两两互相垂直，则 O 是ABC 的_外心垂心内心垂心解析：(1)如图 23，PO平面 ABC，PA、PB、PC 在平面 ABC 上的射影分别是 OA、OB、OC.又PA PBPC，OAOBOC.O 是 ABC 的外心图 23图 24(2)如图 24，PO平面 ABC，PA 在平面 ABC 上的射影是 OA.BCPA，BCOA.同理可证 ACOB，O是 ABC 的垂心故填垂心(3)如图 25，图 25P到 ABC 三边的距离分别是 PD、PE、PF，则 PDPEPF.PO平面 ABC，PD、PE、PF 在平面 ABC 上的射影分别是 OD、OE、OF.ODOEOF，且 ODAB，OEBC，OFAC.O是 ABC 的内心，故填内心PO平面 ABC，OA 是 PA 在平面 ABC 上的射影又PA PB，PA PC，PA 平面 PBC.又BC平面 PBC，PA BC.OABC.同理可证 OBAC.O是 ABC 的垂心故填垂心(4)如图 26，图 26直线与平面垂直的性质定理的简单应用例 1：如图，在四面体 PABC 中，若 PA BC，PBAC，求证：PCAB.PABC思维突破：要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面垂直的定义得出线线垂直证明：过 P 作 PH平面 ABC，垂足为 H，连接 AH、BH和 CH.PA BC,PHBC，PA PHP，BC平面 PAH.又 AH平面 PAH，BCAH.同理 ACBH，即 H 为ABC 的垂心，ABCH.PHAB，CHPHH，AB平面 PCH.PC平面 PCH，PCAB.点评：从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在解(证)题中的作用1.1.已知：正方体中，已知：正方体中，ACAC是面对角线，是面对角线，BDBD是与是与AC AC 异面的体对角线异面的体对角线.求证：求证：ACBDACBDABDCA B CD正方体正方体ABCD-ABCD ABCD-ABCD DDDD正方形正方形ABCDABCD证明：证明：连接连接BDBDABDCABCDACAC、BD BD 为对角线为对角线ACBDACBDDDBD=DDDBD=DACAC平面平面DDBDDB且且BDBD 面面DDBDDBACBD ACBD(1)(1)自一点自一点P P向平面向平面引垂引垂线，垂足线，垂足P P/叫做叫做点点P P在平在平面面内的正射影内的正射影(射影射影)(2)(2)点点P P与垂足与垂足P P/间的线段间的线段叫叫点点P P到平面到平面的垂线段的垂线段(3)(3)如果图形如果图形F F上的所有点上的所有点在一平面内的射影构成图在一平面内的射影构成图形形F F/，则，则F F/叫做叫做图形图形F F在在这个平面内的射影这个平面内的射影几个概念几个概念aAPo 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫这个平面的斜线这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫斜足斜足，斜线上一点和斜足间的线段叫这点到这这点到这个平面的斜线段个平面的斜线段 平面外一点到这个平面外一点到这个平面的垂线段有且只有平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平一条，而这点到这个平面的斜线段有无数条面的斜线段有无数条斜线与斜线段斜线与斜线段 从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平面内的射斜线在这个平面内的射影影垂足和斜足间的线段叫垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线这点到平面的斜线段在这个平面上的射影段在这个平面上的射影斜线在平面内的射影斜线在平面内的射影 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的成的夹角夹角，叫做，叫做斜线和平面所成的角斜线和平面所成的角 (或斜线或斜线和平面的夹角和平面的夹角).).简称简称线面角线面角斜线和平面所成的角斜线和平面所成的角斜线和平面所成的角斜线和平面所成的角1 1、直线和平面垂直直线和平面垂直 直线和平面所成的角是直线和平面所成的角是直角直角 直线和平面平行或在平面内直线和平面平行或在平面内 直线和平面所直线和平面所成的角是成的角是002 2、直线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值范的取值范围是：围是：_ _ 斜线与平面所成的角斜线与平面所成的角的取值范围的取值范围是：是：_OPA斜线斜线斜足斜足线面所成角线面所成角（锐角（锐角PAOPAO）射影射影关键：关键：过斜线上一点作平面的过斜线上一点作平面的垂线垂线线面所成的角线面所成的角1.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2）A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3）A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB45o典型例题典型例题例例2、在正方体、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直中，求直线线A1B和平面和平面A1B1CD所成的角所成的角O例2：如图 4，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，求 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角图 4解：连接 BC1 交 B1C 于 O，连接 A1O，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中各个面为正方形，设其棱长为 a.A1O 为 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影BA1O 为 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角A1B 与平面 A1B1CD 所成的角为 30.求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：(1)先判断直线和平面的位置关系(2)当直线和平面斜交时，常有以下步骤：作作出或找到斜线与射影所成的角；证论证所作或找到的角为所求的角；算常用解三角形的方法求角；结论说明斜线和平面所成的角值图 521.如图 5，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABBC2，AA11，则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为()A22.若斜线段 AB 是它在平面内的射影长的 2 倍，则 AB与所成的角为()A60B45C30D120答案：D解析：如图22，连接 A1C1 ，则AC1A1 为 AC1 与平面A1B1C1D1 所成角图 221 1直线与平面垂直的概念直线与平面垂直的概念（1 1）利用定义；）利用定义；（2 2）利用判定定理）利用判定定理3 3数学思想方法：转化的思想数学思想方法：转化的思想空间问题空间问题平面问题平面问题知识小结知识小结2 2直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直垂直与平面内任意一条直线垂直与平面内任意一条直线（3 3）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面么另一条也垂直于同一个平面4 4直线与平面所成的角直线与平面所成的角.(1)(1)若两直线若两直线a a与与b b异面，则过异面，则过a a且与且与b b垂直的平垂直的平面（面（）A A有且只有一个有且只有一个 B B可能存在也可能不存在可能存在也可能不存在 C C有无数多个有无数多个 D D定不存在定不存在 (2)(2)正方形正方形ABCDABCD，P P是正方形平面外的一点，且是正方形平面外的一点，且PAPA平面平面ABCDABCD，则在，则在PABPAB、PBCPBC、PCDPCD、PADPAD、PACPAC及及PBDPBD中，中，为直角三角形有为直角三角形有_个个B 课堂练习课堂练习5 四四.知识小结：知识小结：直线与平面直线与平面垂直的判定垂直的判定定义法定义法间接法间接法直接法直接法 如果两条如果两条平行直线中的平行直线中的一条垂直于一一条垂直于一个平面，那么个平面，那么另一条也垂直另一条也垂直于同一个平面。于同一个平面。如果一条直线垂于一个如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线平面内的任何一条直线此直线垂直于这个平面此直线垂直于这个平面判定定理判定定理 如果一条直如果一条直线垂直于一个平线垂直于一个平面内的面内的两条相交两条相交直线，那么此直直线，那么此直线垂直于这个平线垂直于这个平面。面。（1）（2）数学思想方法：转化的思想数学思想方法：转化的思想空间问题空间问题平面问题平面问题 不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。