液面上耦合振子系统的同步模式_董蔚.pdf

液面上耦合振子系统的同步模式*董蔚1）童浩轩1）张皓玥1）彭韵茹1）狄增如1，2）（1）北京师范大学文理学院，北京师范大学自然科学高等研究院复杂系统国际科学中心，519087，广东珠海；2）北京师范大学系统科学学院，100875，北京）摘要利用 MATLAB 对耦合双节拍器系统模型的动力学方程组进行了数值模拟，发现初始条件决定了系统达到稳态时所呈现的同步模式；探究了液体的黏滞阻力与耦合板的质量对系统同步模式的影响，黏滞阻力的大小与稳态时为反相同步的概率呈正相关关系；耦合板质量与稳态时为反相同步的概率呈负相关关系；在弛豫时间方面，发现同相同步比反相同步的平均弛豫时间更慢；在实验上，搭建液面上的耦合振子系统，使用水、质量分数为 10%的盐水和食用油 3 种黏滞系数不同的液体进行实验，定性地得到了与数值模拟一致的结果.关键词耦合振子系统；非线性系统；同步状态；弛豫时间中图分类号O322DOI：10.12202/j.0476-0301.20222260引言2/3耦合非线性系统中的动力学行为是物理学研究的热点问题之一15.Pantaleone1对节拍器的非线性耦合进行了研究，建立了耦合节拍器系统理论模型，发现了节拍器可出现同相和反相同步，并获得反相同步 出 现 的 概 率 与 摩 擦 力 大 小 呈 正 相 关 的 结 论.Ulrichs 等2研究了节拍器的集体同步行为，发现由大量节拍器组成的系统会出现与 Kuramoto 模型相类似的同步现象.Hu 等3通过实验研究了 3 个完全相同的节拍器（以下简称“全同节拍器”）之间的同步行为，发现了多种同步状态与包络同步行为.Martens 等6通过改进节拍器系统进行试验，发现了嵌入态现象.Czolczyski 等4，67在 2 个全同节拍器系统发现了同相和反相同步 2 种状态，并分析了其吸引域；在 3 个全同节拍器系统观察到相位差为的反相同步；在多个耦合节拍器系统发现了 3 或 5 个集团同步的现象，并在理论上从能量角度出发，解释了集团发生同步现象的成因.Kapitaniak 等8通过将节拍器搭建成环形的网络结构，并将它们通过橡皮筋连接，以此产生相互作用，从而观察到了奇异态.Boda 等9通过改变已有网络结构，发现节拍器的初始频率越快，节拍器的个数越少，同步态出现的概率越大.Wu 等10在2 个节拍器的耦合系统观察和验证了无理数同步态.宋智文11基于数值分析和实验观察 2 方面，获得了节拍器系统的无理数同步现象，并搭建了耦合振荡系统，在合适的实验条件下观察到了 3 整数比同步现象.1耦合双节拍器系统模型采用耦合双节拍器系统模型1012，其运动学方程为mil2i+mixlcos i+cii+miglsin i=Mi,（1）imi、ci、iilgMii5式中：为节拍器的编号；分别为第 个节拍器振子的质量、阻尼系数和摆角；为节拍器横梁中点到振子的距离；为重力加速度；为第 个节拍器振子过中心位置且左右振荡时所具有的自激动力矩.(M+m1+m2)x+Mck(x)2+2i=1mil(icos i(i)2sin i)=0,（2）Mckx式中：为耦合板的质量（量纲为一）；为液体黏滞系数；为耦合板的位移.m1=m2=1.00；l=0.248 5；c1=c2=0.01参量分别设定为：，Mi=|0.075mi,(0 i 0),0.075mi,(5 i 0,i 0),0,其他情况.（3）*国家自然科学基金重点资助项目（71731002）通信作者：狄增如（1962），男，博士，教授，博导，国际系统与控制科学院院士.研究方向：复杂系统、复杂网络.E-mail：收稿日期：2022-07-122023-02北京师范大学学报（自然科学版）59（1）JournalofBeijingNormalUniversity（NaturalScience）92数值模拟ck=1.0 M=5.0 x(0)=x(0)=0，1(0)=2(0)=0，1(0)=0.187 2(0)=0.34612=0 x(0)=x(0)=0，1(0)=2(0)=0，1(0)=0.127，2(0)=0.216为1+2=0利用 MATLAB 的 4 阶 Runge-Kutta 法对第 1 章的模型进行数值模拟，其中，.令初始条件，此时系统符合相位差的特征为，呈现完全同相同步状态；，此时系统符合相位差的特征，呈现完全反相同步状态.可见初始条件将决定系统达到稳态时所呈现的同步模式.12图 1 为 2 个节拍器从计时开始后 200.0202.0s 的演化曲线.由图 1 可见，2 个节拍器各自摆角、随时间的变化充分展现了典型的同相和反相同步状态，通过大量模拟后发现系统只呈现 2 种稳定状态，即同相同步状态或反相同步状态，且系统在 200.0202.0s这一时段达到稳态.12图 2 为同步状态的相位差特征随时间的演化曲线.0.251211、2/rad1、2/rad2a 同相同步b 反相同步0.150.050.050.150.250.30.20.100.10.20.3200.0200.5201.0t/st/s201.5202.0200.0200.5201.0201.5202.0图1系统达到稳态时的同步状态0.150.10a 同相同步b 反相同步0.0500.050.100.15010203040t/s50607012/rad0.100.0500.050.10010203040t/s50706012/rad图2同步状态的相位差特征曲线M=5.0探究液体黏滞系数对系统稳态的影响.令，为简单起见，将算法中所需的初始参量分别设定x(0)=x(0)=0；1(0)=2(0)=012为：；2 个节拍器的和均在0.50.5rad 随机取值（图 3）.0.500.500.250.25000.250.250.500.501/rad2/rad0.500.2500.250.501/rad0.500.2500.250.501/rada ck=15.0b ck=25.0c ck=35.0图3不同液体黏滞系数的 2 种同步状态吸引域ck如图 3 所示，将结果中对应呈现同相同步特征的区域标记为蓝色，呈现反相同步特征的区域标记为红色.在此基础上，改变，选取 1 万个不同的初始角进行数值模拟，绘制同相同步和反相同步状态的吸引ck域.结果发现：系统稳态为反相同步的概率会随黏滞阻力的增大而增大；当=35.0 时，同相同步状态只在初始角相差较小才会出现，且占比很低.ck=15.0取，探究耦合板的品质对系统稳态模式10北京师范大学学报（自然科学版）第 59 卷x(0)=x(0)=0；1(0)=2(0)=012的影响.仍将初始参量分别设定为：；2 个节拍器的初始角和在0.5+0.5rad 随机取值.采用相同的标记方法，改变耦合板的质量，选取 1万个不同初始角进行数值模拟，绘制同相同步和反相同步状态的吸引域，结果如图 4所示.0.500.500.250.25000.250.250.500.501/rada M=5.0b M=10.0c M=15.02/rad0.500.2500.250.501/rad0.500.2500.250.501/rad图4不同质量耦合板的 2 种同步状态吸引域由图 4 可见，随着耦合板质量增大，稳态时同相同步状态的概率增大.由式（2）可知，黏滞阻力的大小与耦合板速度的平方呈正相关关系.将节拍器系统近似为孤立系统，其能量由自激动力产生.耦合板质量较大时，其运动速度较小，因此受到的黏滞阻力也较小，此时系统的稳态倾向于同相同步；反之，耦合板质量较小时，系统的稳态倾向于反相同步.ck=15.0 M=5.0系统的弛豫时间定义为系统初态到稳态的时间，即系统达到稳态的快慢.给定黏滞系数的情况下，探究液面上节拍器系统的弛豫时间.令，选取 400 个不同的初始角，若 5.0s 内没有偏离同步特征，则认为系统达到稳定同步状态，由此可得系统稳定同步的弛豫时间，即其随初始角的变化关系（图 5）.0.51005000.32/rad1/rad0.10.10.30.50.50.30.10.10.30.5弛豫时间/s图5初始角与对应弛豫时间的关系由图 5 可见，同相同步稳态的弛豫时间相较反相同步明显要慢.3实验验证采用 NIKKO 节拍器进行实验，实验装置如图 6所示，用以验证数值模拟的结果.泡沫板水槽图6NIKKO 节拍器验证数值模拟的实验装置示意30.0 cm20.0 cm4.0 cm65.0 cm39.5 cm14.0 cm将 2 个节拍器平行放置于规格为的泡沫板上，泡沫板漂浮于规格为装有液体的容器中.为了研究方便，假定节拍器系统只受液体横向黏滞阻力，忽略其他外力.首先，验证初始条件对系统同步模式的影响.让单个节拍器开始摆动，过片刻后再让另一个也开始摆动，从而实现 2 个节拍器初始角的随机取值.经过多次实验，发现对于不同初始角，系统却能较长时间保持同相或反相同步的同步特征，此时系统基本达到稳态，这与数值模拟结果基本相符.其次，验证液体黏滞阻力对系统同步模式的影响.本研究通过改变液体的密度，从而改变黏滞阻力.依次选择黏滞系数从小到大的纯水、盐水（质量分数为 10%），以及食用油进行实验，节拍器初始角随机取值.每种液体均进程 100 次实验，记录系统达到稳态时的同步模式.液体为水时，实验结果的 97 次为同相同步，3 次为反相同步，出现的 3 次反相同步认为是其初始摆角恰好为反相同步的初始条件；液体为盐水时，实验结果的 84 次为同相同步，16 次为反相同步；液体为食用油时，只能观察到反相同步.由实验结果可知：黏滞阻力越大，反相同步出现的概率越大；实验结果与数值模拟高度吻合.4结语本文采用耦合双节拍器模型，通过 MATLAB 的第 1 期董蔚等：液面上耦合振子系统的同步模式114 阶 Runge-Kutta 法对其动力学方程组进行了数值模拟.结果表明：初始条件影响系统达到稳态时所呈现的同步模式，且只有同相同步或反相同步 2 种同步模式；固定耦合板质量，稳态时反向同步的概率随液体黏滞系数的增大而增大；固定液体黏滞系数，稳态时反向同步的概率随耦合板质量的增大而减小；同相同步的平均弛豫时间相较反向同步更慢.通过实验，对数值模拟进行了验证，结果高度吻合.这说明本研究思路可行且科学，为同类问题的研究提供了一条新途径.5参考文献PANTALEONE J.Synchronization of metronomesJ.AmericanJournalofPhysics，2002，70（10）：9921ULRICHSH，MANNA，PARLITZU.Synchronizationandchaoticdynamicsofcoupledmechanical-1metronomesEB/OL.2022-05-13.https:/aip.scitation.org/doi/10.1063/1.32669242HUQ，LIUWQ，YANGHJ，etal.Experimentalstudyonsynchronization of three coupled mechanical metro-nomesJ.EuropeanJournalofPhysics，2012，34（2）：2913CZOLCZYSKI K，PERLIKOWSKI P，STEFASKI A，etal.ClusteringofHuygensclocksJ.ProgressofTheoreticalPhysics，2009，122（4）：10274CZOLCZYSKI K，PERLIKOWSKI P，STEFASKI A，5etal.Clusteringofnon-identicalclocksJ.ProgressofTheo-reticalPhysics，2011，125（3）：473MARTENSEA，THUTUPALLIS，FOURRIREA，etal.Chimera states in mechanical oscillator networksJ.Pro-ceedings of the National Academy of the Sciences of theUnitedStatesofAmerica，2013，110（26）：105636CZOLCZYSKI K，PERLIKOWSKI P，et al.Why twoclocks synchronize：energy balance of the synchronizedclocksEB/OL.2022-05-15.https:/aip.scitation.org/doi/10.1063/1.36022257KAPITANIAK T，KUZMA P，WOJEWODA J，et al.Imperfect chimera states for coupled pendulaEB/OL.2022-05-16.https:/ study on the basin stability of the coupled metro-nomesEB/OL.2022-05-18.https:/ In this article，a coupled oscillator system model was adopted，and its dynamics equations werenumericallysimulatedwithMATLAB.Theinitialconditionsofthesystemdeterminedthesynchronizationmodewhenthesystemreachedsteadystate.Simulationonviscousresistanceofliquidandqualityofcouplingplateshowedthatviscousresistancewaspositivelycorrelatedwithprobabilityofanti-phasesynchronization，massofcouplingplatewasnegativelycorrelatedwithprobabilityofanti-phasesynchronizationinsteadystate.Intermsofrelaxationtime，itwasfoundthataveragerelaxationtimeofin-phasesynchronizationwasslowerthananti-phasesynchronization.Acoupledoscillatorsystemwassetuponthesurfaceoftheliquid，andthreekindsofliquidwithdifferentviscositycoefficients，water，saltwaterwithaconcentrationof10%andcookingoil，wereused.Experimentalresultsarequalitativelyconsistentwithnumericalsimulations.Keywordscoupledoscillatorsystem；non-linearsystem；synchronizationstate；relaxationtime【责任编辑：陆有忠】12北京师范大学学报（自然科学版）第 59 卷