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第1讲 集合与简易逻辑
与体积

(第一种方式)
（1）事例:主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭聊天，时间到了，只有张三和李四两人准时赶到，王五打来电话说：“临时有急事，不能来了。”主人听了随口说了句：“你看看，该来的没有来。”张三听了，脸色一沉，起来一声不吭地走了；主人愣了片刻，又道：“哎，不该走的又走了。”李四听了大怒，拂袖而去。你能用逻辑学原理解释这两人离去的原因吗？
这就是我们本章将要学习的简易逻辑。
（2） 逻辑悖论：
逻辑悖论总是相对于一个公理系统而言的，如果在一个公理系统中既可以证明公式A又可以证明A的否定元A',则我们说在这个公理系统 中含有一个悖论，因为这时A和A'在系统中是可证等价的。
最著名的逻辑悖论是伯特纳德·罗素提出的理发师悖论[1]  。
一个男理发师的招牌上写着：
告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。
(第二种方式)
（3）10大著名的悖论：
那理发师可以给自己刮脸么？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
伯特纳德·罗素提出这个悖论，为的是把他发现的关于集合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。某些集合看起来是它自己的元素。例如，所有不是苹果的东西的集合、它本身就不是苹果，所以它必然是此集合自身的元素。现在来考虑一个由一切不是它本身的元素的集合组成的集合。这个集合是它本身的元素吗？无论你作何回答，你都自相矛盾。
同时，罗素的这个悖论的提出引发了第三次数学危机。
1\说谎者悖论
一个克里特人说：“我说这句话时正在说慌。”然后这个克里特人问听众他上面说的是真话还是假话？这个悖论出自公元前六世纪希腊的克里特人伊壁孟德，使得希腊人大伤脑筋，连西方的圣经《新约》也引用过这一悖论。
对克里特人“我说这句话时正在说慌”不可判其真亦不可判其伪。
2\柏拉图与苏格拉底悖论
柏拉图调侃他的老师：“苏格拉底老师下面的话是假话。”
苏格拉底回答说：“柏拉图上面的话是对的。”
不论假设苏格拉底的话是真是假，都会引起矛盾。
3\鸡蛋的悖论
先有鸡还是先有蛋？
4\书名的悖论
美国数学家缪灵写了一部标题为《这本书的书名是什么》的书，问：缪灵的这本书的书名是什么？
5\印度父女悖论
女儿在卡片上写道：“今日下午三时之前，您将写一个‘不’字在此卡片上。”随即女儿要求父亲判断她在卡片上写的事是否会发生；若判断会发生，则在卡片上写“是”，否则写“不”。问：父亲是写“是”还是写“不”？
6\蠕虫悖论
一只蠕虫从一米长的橡皮绳的一端以每秒1厘米的速度爬向另一端，橡皮绳同时均匀地以每秒1米的速度向同方向延伸，蠕虫会爬到另一端吗？蠕虫每前进1厘米，同时绳子的另一端却拉远1米，近不抵疏，怕是永远爬不到头了。
现算算看：
第1 秒，蠕虫爬了绳子的1／100（意为100分之1，下同），
第2 秒，蠕虫爬了绳子的1/200，
---------，
第N秒，蠕虫爬了绳子的1/N×100，
前2的K次方秒，蠕虫爬的总路程占绳子全长的比例为
1/100（1+1/2+1/3+-----+1/2的K次方）
而
1+1/2+1/3+-----+1/2的K次方
=（1+1/2）+（1/3+1/4）+（1/5+1/6+1/7+1/8）+-----
+（1/＜2的K-1次方+1＞＋1/＜2的K-1方+2＞＋-----＋1/2的K次方）＞1+1/2+（1/4+1/4）+（1/8+1/8+1/8+1/8）+-----（1/2的K次方+1/2的K次方+----+1/2的K次方）
　　　　　　　　　　　　　　　 ———————————∨————————
共有2的K-1次方项
=1+1/2+1/2+-----+1/2=1+K/2
———∨—————
共有2的K次方项
当K=198时，1+K/2=100，于是1/100（1+1/2+1/4+----+1/2的198次方）＞1
所以不超过2 的198次方秒，蠕虫爬到了绳子的另一端。
这一悖论是直觉骗人所致。（注：我没有书写数学符号的工具，所以这里的“/”是指分号，2的K次方是指2 的K 次方幂，如2的3次方是指2 的3 次幂等于8）
7\龟兔赛跑悖论
龟对兔说：“你不要想追上我，我现在在你的前方1米，虽然你的速度是我的百倍，但等你追到我现在的地点时，我又向前爬了1厘米到C1点，等你追到C1点时，我已爬到距你1/100厘米的C2点，如此下去，你总在Cn点，我却在你的前方Cn+1点。”兔子当然不服，可又说不过乌龟。实际上比赛起来，用不了1秒钟，兔子已跑在乌龟的前面了。
请读者替兔子辩护一下。（和上面的计算差不多）
8\语言悖论
N是用不超过25个自然字不能定义的最小正整数。
数一数上述N定义中的自然字只有23个，没有超过25个，即用不超过25个自然字定义了N，与N是用不超过25个自然字不能定义相矛盾。
这个悖论的发生是因为，用自然字定义时的字数如何确定无严格界定的标准，另外什么叫“不能定义”也含义模糊。
9\选举悖论
A、B、C竞选，民意测验表明：有2/3的选民愿选A而不愿选B，有2/3的选民愿选B 而不愿选C。于是A说：“根据2/3的选民保我而反B，2/3的选民保B而反C，说明我优于B，B优于C，所以我优于C，从而我最优，应该选我。”C不服说道：“那2/3保A反B之外的1/3选民反A而保C，那2/3保B而反C的选民之外1/3的选民反A而保C，则形成2/3的选民保C而反A，按你的逻辑，我亦优于你，你优于B，我C最优，应选我。”B接着说：“按你们的说法，B优于C，C优于A，则B优于A，即我亦最优，应该选我。”
这种民意测验能说明什么呢？
这个悖论最初出自肯尼思·阿洛之手，肯尼思·阿洛于1972年获诺贝尔经济学奖，1951年他给出民主选举的所谓选举公理，以求得选举的公平合理，避免发生独裁者从中操纵选举的可恶问题。后来，他证明出一条定理，指出不存在满足阿洛（ARROW）公理的十全十美的民主选举。
10\秃头悖论
一位已经谢顶的老教授与他的学生争论他是否为秃头问题。
教授：我是秃头吗？
学生：您的头顶上已经没有多少头发，确实应该说是。
教授：你秀发稠密，绝对不算秃头，问你，如果你头上脱落了一根头发之后，能说变成了秃头了吗？
学生：我减少一根头发之后，当然不会变成秃头。
教授：好了，总结我们的讨论，得出下面的命题：‘如果一个人不是秃头，那么他减少一根头发仍不是秃头’，你说对吗？
学生：对！
教授：我年轻时代也和你一样一头秀法，当时没有人说我秃头，后来随着年龄的增高，头发一根根减少到今天的样子。但每掉一根头发，根据我们刚才的命题，我都不应该称为秃头，这样经有限次头发的减少，用这一命题有限次，结论是：‘我今天仍不是秃头’。