[人教版][高三数学一轮复习][第1讲--集合与简易逻辑]情景导入.docx

第1讲 集合与简易逻辑与体积 (第一种方式)（1）事例:主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭聊天，时间到了，只有张三和李四两人准时赶到，王五打来电话说：“临时有急事，不能来了。”主人听了随口说了句：“你看看，该来的没有来。”张三听了，脸色一沉，起来一声不吭地走了；主人愣了片刻，又道：“哎，不该走的又走了。”李四听了大怒，拂袖而去。你能用逻辑学原理解释这两人离去的原因吗？这就是我们本章将要学习的简易逻辑。（2） 逻辑悖论：逻辑悖论总是相对于一个公理系统而言的，如果在一个公理系统中既可以证明公式A又可以证明A的否定元A,则我们说在这个公理系统 中含有一个悖论，因为这时A和A在系统中是可证等价的。最著名的逻辑悖论是伯特纳德罗素提出的理发师悖论1。一个男理发师的招牌上写着：告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。(第二种方式)（3）10大著名的悖论：那理发师可以给自己刮脸么？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。伯特纳德罗素提出这个悖论，为的是把他发现的关于集合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。某些集合看起来是它自己的元素。例如，所有不是苹果的东西的集合、它本身就不是苹果，所以它必然是此集合自身的元素。现在来考虑一个由一切不是它本身的元素的集合组成的集合。这个集合是它本身的元素吗？无论你作何回答，你都自相矛盾。同时，罗素的这个悖论的提出引发了第三次数学危机。1说谎者悖论 一个克里特人说：“我说这句话时正在说慌。”然后这个克里特人问听众他上面说的是真话还是假话？这个悖论出自公元前六世纪希腊的克里特人伊壁孟德，使得希腊人大伤脑筋，连西方的圣经新约也引用过这一悖论。 对克里特人“我说这句话时正在说慌”不可判其真亦不可判其伪。 2柏拉图与苏格拉底悖论 柏拉图调侃他的老师：“苏格拉底老师下面的话是假话。” 苏格拉底回答说：“柏拉图上面的话是对的。” 不论假设苏格拉底的话是真是假，都会引起矛盾。 3鸡蛋的悖论 先有鸡还是先有蛋？ 4书名的悖论 美国数学家缪灵写了一部标题为这本书的书名是什么的书，问：缪灵的这本书的书名是什么？ 5印度父女悖论 女儿在卡片上写道：“今日下午三时之前，您将写一个不字在此卡片上。”随即女儿要求父亲判断她在卡片上写的事是否会发生；若判断会发生，则在卡片上写“是”，否则写“不”。问：父亲是写“是”还是写“不”？ 6蠕虫悖论 一只蠕虫从一米长的橡皮绳的一端以每秒1厘米的速度爬向另一端，橡皮绳同时均匀地以每秒1米的速度向同方向延伸，蠕虫会爬到另一端吗？蠕虫每前进1厘米，同时绳子的另一端却拉远1米，近不抵疏，怕是永远爬不到头了。 现算算看： 第1 秒，蠕虫爬了绳子的1100（意为100分之1，下同）， 第2 秒，蠕虫爬了绳子的1/200， -， 第N秒，蠕虫爬了绳子的1/N100， 前2的K次方秒，蠕虫爬的总路程占绳子全长的比例为 1/100（1+1/2+1/3+-+1/2的K次方） 而 1+1/2+1/3+-+1/2的K次方 =（1+1/2）+（1/3+1/4）+（1/5+1/6+1/7+1/8）+- +（1/2的K-1次方+11/2的K-1方+2-1/2的K次方）1+1/2+（1/4+1/4）+（1/8+1/8+1/8+1/8）+-（1/2的K次方+1/2的K次方+-+1/2的K次方） 共有2的K-1次方项 =1+1/2+1/2+-+1/2=1+K/2 共有2的K次方项 当K=198时，1+K/2=100，于是1/100（1+1/2+1/4+-+1/2的198次方）1 所以不超过2 的198次方秒，蠕虫爬到了绳子的另一端。 这一悖论是直觉骗人所致。（注：我没有书写数学符号的工具，所以这里的“/”是指分号，2的K次方是指2 的K 次方幂，如2的3次方是指2 的3 次幂等于8） 7龟兔赛跑悖论 龟对兔说：“你不要想追上我，我现在在你的前方1米，虽然你的速度是我的百倍，但等你追到我现在的地点时，我又向前爬了1厘米到C1点，等你追到C1点时，我已爬到距你1/100厘米的C2点，如此下去，你总在Cn点，我却在你的前方Cn+1点。”兔子当然不服，可又说不过乌龟。实际上比赛起来，用不了1秒钟，兔子已跑在乌龟的前面了。 请读者替兔子辩护一下。（和上面的计算差不多） 8语言悖论 N是用不超过25个自然字不能定义的最小正整数。 数一数上述N定义中的自然字只有23个，没有超过25个，即用不超过25个自然字定义了N，与N是用不超过25个自然字不能定义相矛盾。 这个悖论的发生是因为，用自然字定义时的字数如何确定无严格界定的标准，另外什么叫“不能定义”也含义模糊。 9选举悖论 A、B、C竞选，民意测验表明：有2/3的选民愿选A而不愿选B，有2/3的选民愿选B 而不愿选C。于是A说：“根据2/3的选民保我而反B，2/3的选民保B而反C，说明我优于B，B优于C，所以我优于C，从而我最优，应该选我。”C不服说道：“那2/3保A反B之外的1/3选民反A而保C，那2/3保B而反C的选民之外1/3的选民反A而保C，则形成2/3的选民保C而反A，按你的逻辑，我亦优于你，你优于B，我C最优，应选我。”B接着说：“按你们的说法，B优于C，C优于A，则B优于A，即我亦最优，应该选我。” 这种民意测验能说明什么呢？ 这个悖论最初出自肯尼思阿洛之手，肯尼思阿洛于1972年获诺贝尔经济学奖，1951年他给出民主选举的所谓选举公理，以求得选举的公平合理，避免发生独裁者从中操纵选举的可恶问题。后来，他证明出一条定理，指出不存在满足阿洛（ARROW）公理的十全十美的民主选举。 10秃头悖论 一位已经谢顶的老教授与他的学生争论他是否为秃头问题。 教授：我是秃头吗？ 学生：您的头顶上已经没有多少头发，确实应该说是。 教授：你秀发稠密，绝对不算秃头，问你，如果你头上脱落了一根头发之后，能说变成了秃头了吗？ 学生：我减少一根头发之后，当然不会变成秃头。 教授：好了，总结我们的讨论，得出下面的命题：如果一个人不是秃头，那么他减少一根头发仍不是秃头，你说对吗？ 学生：对！ 教授：我年轻时代也和你一样一头秀法，当时没有人说我秃头，后来随着年龄的增高，头发一根根减少到今天的样子。但每掉一根头发，根据我们刚才的命题，我都不应该称为秃头，这样经有限次头发的减少，用这一命题有限次，结论是：我今天仍不是秃头。