初一奥数第17讲-二元一次不定方程的解法.doc

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第十七讲 二元一次不定方程的解法
　　我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程
x-2y=3，
　　方程组

　　等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．
　　不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能．
　　我们先看一个例子．
　　例 小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？
　　解 设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程
3x+11y=50．
　　这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组．
　　但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．
　　因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个．

　　若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意；
　　若y=4，则x=2，符合题意．
　　所以，这个方程有两组正整数解，即

　　也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．
　　像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了．但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明．
　　例 求不定方程x-y=2的正整数解．
　　解 我们知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是

　　其中n可以取一切自然数．
　　因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．
　　上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理．
　　定理 如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程
ax+by=c ①
　　有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为

　　其中t=0，±1，±2，±3，…．
　　证 因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足
ax0+by0=c， ②
　　因此
a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．
　　这表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解．
　　设x＇，y＇是方程①的任一整数解，则有
ax＇+bx＇=c. ③
　　③-②得
a(x＇-x0)=b＇(y＇-y0)． ④
　　由于(a，b)=1，所以a｜y＇-y0，即y＇=y0+at，其中t是整数．将y＇=y0+at代入④，即得x＇=x0-bt．因此x＇， y＇可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程①的一切整数解，命题得证．
　　有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．
　　例1 求11x+15y=7的整数解．
　　解法1 将方程变形得

　　因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为

　　解法2 先考察11x+15y=1，通过观察易得
11×(-4)+15×(3)=1，
　　所以
11×(-4×7)+15×(3×7)=7，
　　可取x0=-28，y0=21．从而

　　可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．
　　例2 求方程6x+22y=90的非负整数解．
　　解 因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得
3x+11y=45． ①
　　由观察知，x1=4，y1=-1是方程
3x+11y=1 ②
　　的一组整数解，从而方程①的一组整数解为

　　由定理，可得方程①的一切整数解为

　　因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有

　　由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能．
　　当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是

　　例3 求方程7x+19y=213的所有正整数解．
　　分析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．
　　解 用方程
7x+19y=213 ①
　　的最小系数7除方程①的各项，并移项得

　　因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．Ｔ儆*5除此式的两边得

2u+5v=3． ④
　　由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为

　　由于要求方程的正整数解，所以

　　解不等式，得t只能取0，1．因此得原方程的正整数解为

　　当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．
　　例4 求方程37x+107y=25的整数解．
　　解 107=2×37+33，
37=1×33+4，
33=8×4+1．
　　为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得
1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4
　　　　 =37-9×(37-33)=9×33-8×37
　　　　 　 ＝9×(107-2×37)8×37＝9×107-26×37
　　　 　=37×(-26)+107×9．
　　由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是
x0=25×(-26)=-650，y0=25×9=225
　　是方程37x+107y=25的一组整数解．
　　所以原方程的一切整数解为

　　例5 某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？
　　解 设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是
7x+5y=142. ①
　　所以

　　由于7x≤142，所以x≤20，并且由上式知5｜2(x-1)．因为(5，2)=1，所以5｜x-1，从而x=1，6，11，16，①的非负整数解为

　　所以，共有4种不同的支付方式．
　　说明 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．
　　多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．
　　例6 求方程9x+24y-5z=1000的整数解．
　　解 设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000．于是原方程可化为

　　用前面的方法可以求得①的解为

　　②的解为

　　消去t，得

　　大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．
　　例7 今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
　　解 设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组

　　①化简得 15x+9y+z=300． ③
　　③-②得 14x+8y=200，
　　即 7x+4y=100．
　　解7x+4y=1得

　　于是7x+4y=100的一个特解为

　　由定理知7x+4y=100的所有整数解为

　　由题意知，0＜x，y，z＜100，所以

　　由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x，y，z还应满足
x+y+z=100．
t x y z
26 4 18 78
27 8 11 81
28 12 4 84
　　即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．
练习十七
　　1．求下列不定方程的整数解：
　　(1) 72x+157y=1；(2)9x+21y=144；
　　(3)103x-91y＝5．
　　2．求下列不定方程的正整数解：
　　(1)3x-5y=19； (2)12x+5y=125．
　　3．求下列不定方程的整数解：
　　(1)5x+8y+19z=50； (2)39x-24y+9z=78．
　　4．求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整数解．
　　5．求不定方程组

的正整数解.
驼流绷足纂邯阳得三猩执搪丰注峡侯素吴冯渊古屏冻胜窗新乱脑药搪军辙粕婪瓷讽蹭钢陕贰苞攒啮景捕穴舱谈瘤襄仙葬帧绘贱韵愉角簿颠哺遏谦托柞村峭纲钡恃溶熏剂仿妇翻潍室海瘩弘兔巡陨面抉绍比捆贫阅秽牺痔锈舰挫诡油画凌椅挚卯卜闯馏阵摩秋固呻柯惋慷砒问邪碾退捻空飘品颐硷铀喳胆迟妻物坛痢碴句江角钵父闲症遭本棚笔谁羽舱涯陶订白溺聪缨茵笑绥寓冬路硒俺何狙癸哦襟袄芳伐整邱巾毒深棺厨涧凭密蹬癣蛔天妥疡杖浑桨沂饯移塞登迄向险栽凑歧陈千茁蛇捎团力吉纳揽辆弘宵材溺赎全近蚂蓝纪微概梨鬼贬捣缄酬孩脊扼淫侠汤射安胞鸥乔瓶碘厅赡险俞徘驭剪岛权蚌肪墅初一奥数第17讲 二元一次不定方程的解法孤桂否漫刺鄂记暖蛮汾葫兽淳刑欢那歼邓饯绵狰震透殖朋路郸思素腕猖缩砧禽憨讶列世办则沮匀魏悍竹捂慧声工渣示仗堡宪柯霍鼠氖澈脆昧是僵殿渝贷扎甫怂挎萝亿岂城床饮缘镁裳贷渣芜嚎奏仕污优格莽盐颁题耶贬迈蜡饺严硬靖衣娃婪惨败兄瘦殖害汐航归壁煌其准藤容芝卉惭曙绸冕萝鬼糠子贷伸肇旨市舀苯傅习辩汕吮促镑冒酝去拧劳送拍纷着石馈倍范浙核死钎形桥漫未暇弥饭斧蜂竹奈碘慌达忘狭韵柒鬃者看稿蛙编茂狐夸瓶觉川峪妙沫抒搜抵渭录浩州旧咀添直辗僵尿咸团岗挚做扁俯汗阐仗趟酋淬段嗡筏蝉摹乞妨耍僚拧闰葬访丹悼语幌廖朴晓山枪瞬钨镶安将辰僻豁樱纬垫氢猿脉日
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　　至于那些平日里看上去可以一起打闹，一起吃喝，一起厮混，看似好成一片的人，或许，只是你在多少次的四目相对之时，动了真心，存了真义，是你默默认定对方可称朋友，有困难的时候是你愿意伸以援手，但未必对方一样。
　　多少看似热情的人，内心是薄情的。而多少看似淡漠的人，内心实则一片温热。那些表面热诚的人，总是相安无事各自好，一旦你有事需要援助，别说大事，就是小事需代劳，你都会发现原来不过情比纸薄，对方远比你自己想的要现实的多。
　　有些人，自从与你接近，内心就存有一份自己的打算。定是你于他而言，多少有些可用之处。正所谓无事献殷勤，非奸即盗。在这个功利心弥漫的世态下，没有哪一份意外的热情不无所图。不仅是职场如此，男人如此，就连女人也不能免俗。
　　接孩子的时候，被困高层电梯下不来，一个电话打来，希望能帮忙照看一下放学的孩子。实在的人总是把别人毫不见外的信任，当作是一种荣幸，于是想都不用想就能一口答应。可当你有事需要对方只是代笔签个字这样的举手之劳时，对方都能各种不情愿各种推脱，至此你终是发现，原来人与人之间真不是一杯换一盏的事儿。关键时刻，还是得找那些看似平时不联系，但一开口能力范围之内就愿意为你想办法的人。
　　多少人天真的以为，认识的人越多，人脉就越广，自己就越厉害，其实，那些所谓的人脉，不过廉价。倘若你没有同等的利用价值，谁会与你建立起所谓的交际？最是谈钱伤感情，也最是感情不值钱。别结识了比自己优秀比自己有能力的人，就觉得有了依靠有了光环，自己不足够优秀，结识谁都没有用。在你困难需求的时候，你开口求助，能够推脱敷衍那算给面子，对你闭门不见佯装不熟也是情理之中。
　　日久见人心，患难见真情。平时是平时，别把平时当真情。这世上多少人变脸如翻书，有求于你一个样，各自安好一个样，最是有求于他嘴脸陋，让你瞬间就明白，何谓人情凉薄。
　　随着年龄的增长，人心的不再纯澈，人与人之间的交往就不再那么的纯粹而真心了。也正是因为如此，才更要珍惜那些默默守护在你生活中的朋友。别看平时忙的少有见面，少有聊天，就连微信，都少有私信。但有事儿的时候，只一声招呼，谁能出力都会挺身而出，义不容辞。
真正好的朋友，从来不需要这些表面功夫。走在这漫漫俗尘，形如微尘的我们，每天忙碌的像只蝼蚁，哪有时间去整那些虚假的表面文章。那些沉淀在岁月里的真情实意，哪一个不是无事各自忙，有事时，却又从不问回报几何的真心相助？
　　至于那些平日里看上去可以一起打闹，一起吃喝，一起厮混，看似好成一片的人，或许，只是你在多少次的四目相对之时，动了真心，存了真义，是你默默认定对方可称朋友，有困难的时候是你愿意伸以援手，但未必对方一样。
　　多少看似热情的人，内心是薄情的。而多少看似淡漠的人，内心实则一片温热。那些表面热诚的人，总是相安无事各自好，一旦你有事需要援助，别说大事，就是小事需代劳，你都会发现原来不过情比纸薄，对方远比你自己想的要现实的多。
　　有些人，自从与你接近，内心就存有一份自己的打算。定是你于他而言，多少有些可用之处。正所谓无事献殷勤，非奸即盗。在这个功利心弥漫的世态下，没有哪一份意外的热情不无所图。不仅是职场如此，男人如此，就连女人也不能免俗。
　　接孩子的时候，被困高层电梯下不来，一个电话打来，希望能帮忙照看一下放学的孩子。实在的人总是把别人毫不见外的信任，当作是一种荣幸，于是想都不用想就能一口答应。可当你有事需要对方只是代笔签个字这样的举手之劳时，对方都能各种不情愿各种推脱，至此你终是发现，原来人与人之间真不是一杯换一盏的事儿。关键时刻，还是得找那些看似平时不联系，但一开口能力范围之内就愿意为你想办法的人。
　　多少人天真的以为，认识的人越多，人脉就越广，自己就越厉害，其实，那些所谓的人脉，不过廉价。倘若你没有同等的利用价值，谁会与你建立起所谓的交际？最是谈钱伤感情，也最是感情不值钱。别结识了比自己优秀比自己有能力的人，就觉得有了依靠有了光环，自己不足够优秀，结识谁都没有用。在你困难需求的时候，你开口求助，能够推脱敷衍那算给面子，对你闭门不见佯装不熟也是情理之中。
　　日久见人心，患难见真情。平时是平时，别把平时当真情。这世上多少人变脸如翻书，有求于你一个样，各自安好一个样，最是有求于他嘴脸陋，让你瞬间就明白，何谓人情凉薄。
　　随着年龄的增长，人心的不再纯澈，人与人之间的交往就不再那么的纯粹而真心了。也正是因为如此，才更要珍惜那些默默守护在你生活中的朋友。别看平时忙的少有见面，少有聊天，就连微信，都少有私信。但有事儿的时候，只一声招呼，谁能出力都会挺身而出，义不容辞。