在问题探究中构建知识的整体...线中一类定点定值问题”为例_李刚.pdf

基金项目:本文系江苏省教育科学“十四五”规划2 0 2 1年度课题“基于深度学习的高中数学单元教学设计研究”(课题编号:C-c/2 0 2 1/0 2/2 1)阶段性研究成果.在问题探究中构建知识的整体关联 以“圆锥曲线中一类定点定值问题”为例李 刚(江苏省木渎高级中学 2 1 5 1 0 0)1 问题提出 普通高中数学课程标准(2 0 1 7年版2 0 2 0年修订)(以下简称“新课标”)指出:要在日常教学中通过创设合适的数学情境和数学问题,引导学生运用数学思维方式提出问题、分析问题并解决问题,从而形成和发展数学学科核心素养.中国高考评价体系 分别从基础性、综合性、应用性、创新性四个角度对考查目标进行评价.基于情境或情境活动的探究,要求学生能够在正确思想观念的引领下,综合运用多种知识或技能来解决问题,实现在复杂的情境活动中培养学生应对探索问题情境的综合素质.在问题探究过程中促使学生主动思考,发现新问题、找到新规律、得出新结论1.以高考题为载体,通过问题设计,从不同角度对高考题进行分析探究,层层深入,引导学生对知识与方法进行归纳总结,站在整体高度理解内容,形成体系.2 案例探究例题:(2 0 2 2新课程1卷2 1)已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2-y2a2-1=1(a1)上,直线l交C于P,Q两点,直线A P,A Q的斜率之和为0.(1)求l的斜率;(2)若t a n P A Q=2 2,求P A Q的面积.本题第1问属于圆锥曲线中一类定点定值问题,题面简洁,内涵丰富,解法多样,注重对学生基础知识与基本技能以及综合运用知识解决问题能力的考查,对教育教学有重要的指导意义.在教学中,教师要充分利用好试题资源,创设合适的问题情境,从通性通法出发,层层递进,引导学生进行深度探究,建立知识与方法的整体关联.下面谈谈在第1问问题解决过程中通过创设问题,引导探究的一些做法.2.1 通法探究,合理设参,建立知识与方法的横向关联解决一类问题有其通性通法,注重对通性通法的探究,有助于夯实基础知识与基本技能.解决上述例题的常用方法为“设而不求”以及“设而可求”.问题1 如何引入直线l的方程?设计意图:直线方程有5种形式,在拓展内容中,还有参数形式.每种形式有其特征以及运用的情境,选择不同的方程,会有不同的解法,合理选择直线l的方程形式是进行后续探究的前提条件.问题2 设直线的斜截式方程,如何由条件kA P+kA Q=0求得k的值?问题3 直线的两点式方程需要已知直线上的两点坐标,你能求出点P,Q的坐标吗?追问 已知直线A P,A Q过点A(2,1)且斜率之和为0,如何设两条直线方程?设计意图:直线的确定,需要两个条件:一点一方向或两个点.问题2和3,主要是明确直线方程选择方向,确定解题路径,熟悉“设而不求”与“设而可求”方法的区别与联系.追问进一步让学生体会点斜式方程与参数方程之间的联系与在解决问题过程中的优劣.通过对上述问题探究,第1问的解答主要有61数学通报 2 0 2 3年 第6 2卷 第2期以下三种方法.解法1:可求得双曲线C:x22-y2=1.设直线l:y=k x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立方程消去y得(1-2k2)x2-4k m x-2m2-2=0,由题设知1-2k20且=(-4k m)2-4(1-2k2)(-2m2-2)0,整理得k22且m2+1-2k20,所以x1+x2=4k m1-2k2,x1x2=2m2+22k2-1.由条件kA P+kA Q=0,整理得 x1y2+x2y1-(x1+x2)-2(y1+y2)+4=0.将y1=k x1+m,y2=k x2+m代入上式得 2k x1x2-(m-1-2k)(x1+x2)+4-4m=0,进而可得2k2+(m+1)k+m-1=0,所以(2k+m-1)(k+1)=0,所以k=-1或m=1-2k.当m=1-2k时,直线l方程为y=k(x-1)+1,过点A(2,1),不符合,所以k=-1.解题感悟:“设而不求”是解析几何的一种基本方法,利用此方法解决问题可以有效回避求交点坐标,化繁为简,具有事半功倍的效果.解法2:设直线A P,A Q的方程分别为y-1=k(x-2)(k0,k22),y-1=-k(x-2),联立双曲线与直线A P方程消去y可得(1-2k2)x2-4k(1-2k)x-(8k2-8k+4)=0,所以xAxP=8k-8k2-41-2k2,所以xP=4k-4k2-21-2k2,yP=2k2-4k+11-2k2,即P4k-4k2-21-2k2,2k2-4k+11-2k2();同理可得Q-4k-4k2-21-2k2,2k2+4k+11-2k2().所以kP Q=2k2+4k+11-2k2-2k2-4k+11-2k2-4k-4k2-21-2k2-4k-4k2-21-2k2=-8k8k=-1.解法3:设直线A P:x=2+tc o s,y=1+ts i n(t为参数),则直线A Q:x=2-tc o s,y=1+ts i n(t为参数).将直线A P方程代入双曲线方程整理可得(1-3 s i n2)t2+4(c o s-s i n)t=0,所以tP=4(s i n-c o s)1-3 s i n2;同理可得tQ=4(s i n+c o s)1-3 s i n2.所以k=(1+tPs i n)-(1+tQs i n)(2+tPc o s)-(2-tQc o s)=(tP-tQ)s i n(tP+tQ)c o s=-1.解题感悟:要求直线P Q的斜率,考虑到点P,Q是由直线A P,A Q分别与双曲线相交所得,利用条件kA P+kA Q=0,设直线A P,A Q的点斜式方程或直线的参数方程,利用“设而可求”的方法,联立直线A P,A Q的方程与双曲线的方程,求出P,Q坐标,自然可得直线P Q的斜率.此解法思路自然,但运算量较大.问题4 在解法1中,为何会求出有直线过点A的这种不符合条件的情况?对最后式子的因式分解有何启发?设计意图:从y1-1x1-2+y2-1x2-2=0到x1y2+x2y1-(x1+x2)-2(y1+y2)+4=0,两个式子是不等价的,后面的式子会比前面的式子多出x1=2或x2=2的增根,此时正是直线过已知点A这一情况,可以体会充要条件转化的要求.另外可以发现,对于此类问题,一般情况会出现直线过已知点的增解,对于最后复杂式子因式分解可以提 供 必 要 的 方 向,也 就 是 必 有 一 个 因 式 是A x0+B y0+C.上述三种解法是解答直线与曲线位置关系的基本方法,亦即通性通法,三种解法间建立了横向关联,如图1.图1712 0 2 3年 第6 2卷 第2期 数学通报2.2 拓展思维,简化运算,建立知识与方法的纵向关联问题5 如果将kA P,kA Q看成关于k的两个不同的值,由条件kA P+kA Q=0,能否建立关于k的二次方程求解?设计意图:可以认为kA P=y1-1x1-2与kA Q=y2-1x2-2是形如k=y-1x-2的同构式,借助两条直线的斜率之和为定值,构造关于斜率的一元二次方程.难点是需要将直线方程与双曲线方程都构造成含有x-2和y-1的式子,将直线方程与曲线方程联立方程组,通过消元构造齐次式,结合韦达定理求得结果.解法4:设直线P Q:y=k x+b,令P(x1,y1),Q(x2,y2),则kA P=y1-1x1-2,kA Q=y2-1x2-2.将y=k x+b变形为y-1-k(x-2)=b+2k-1.因为P Q不过点A,所以b+2k-10,换元得m(x-2)+n(y-1)=1.因为x2-2y2=2,所以(x-2)+22-2(y-1)+12=2,整理得(x-2)2-2(y-1)2+4(x-2)-4(y-1)=0(*).构造齐次式:(x-2)2-2(y-1)2+4(x-2)-4(y-1)m(x-2)+n(y-1)=0,整理得(1+4m)(x-2)2-(2+4n)(y-1)2+4(n-m)(x-2)(y-1)=0,所以(2+4n)(y-1x-2)2-4(n-m)y-1x-2-(1+4m)=0.显然2+4n0,kA P,kA Q为上述方程的两个不同的实数解,因为kA P+kA Q=0,所以4(n-m)2+4n=0,所以n=m,所以P Q方程为m(x+y-3)=1,所以kP Q=-1.解题感悟:齐次化体现了数学中的对称美与和谐美.从形的角度认识,圆锥曲线是对称图形,从数的角度处理,可以从同构式(斜率、坐标、截距等)特点出发,构造关于A P,A Q斜率的一元二次方程,从而实现kA P+kA Q的直接构造.解法4的本质仍是将直线与曲线方程联立方程组求解,但齐次化合理避免了求点坐标的繁杂运算.当然,解法中的 难 点 是 直 线 与 曲 线 方 程 的 变 形 以 及 对(*)式的处理,可以通过追问的方式帮助学生突破难点.另解:设kA P=k1,kA Q=k2,由解法2得P4k1-4k12-21-2k12,2k12-4k1+11-2k12(),Q4k2-4k22-21-2k22,2k22-4k2+11-2k22().设直线l:y=k x+m,由点P、Q在直线l上可得(2-4k+2m)k12-(4+4k)k1+1+2k-m=0,(2-4k+2m)k22-(4+4k)k2+1+2k-m=0,所以k1,k2为方程(2-4k+2m)K2-(4+4k)K+1+2k-m=0的两个不同的实数解,所以k1+k2=4+4k2-4k+m=0,所以k=-1.问题6 你能根据双曲线的对称性,利用“点差法”,从曲线方程出发,由直线A P,A Q的斜率关系构造出直线l的斜率吗?设计意图:如何优化运算,合理选择运算路径,是数学运算的重点和难点.通过问题设计,让学生充分体会设点解点与设点后整体代换的优劣,达到运算优化的效果.解法5:设P(x1,y1),Q(x2,y2),kA P=k1,kA Q=k2,则k1=y1-1x1-2,k2=y2-1x2-2.因为点P(x1,y1)在曲线C上,所以x212-y21=1,整理得(x1-2)(x1+2)2-(y1-1)(y1+1)=0,所以y1-1x1-2=12x1+2y1+1,即k1=12x1+2y1+1;同理可得k2=12x2+2y2+1.因为k1+k2=0,所以12x1+2y1+1+y2-1x2-2=0,12x2+2y2+1+y1-1x1-2=0,|整理得2y1y2+2(y2-y1)+x1x2+2(x2-x1)=6,2y1y2-2(y2-y1)+x1x2-2(x2-x1)=6,两式作差得4(y2-y1)+4(x2-x1)=0,81数学通报 2 0 2 3年 第6 2卷 第2期所以kP Q=y2-y1x2-x1=-1.解题感悟:通过设点法,利用点在曲线上这一特征,从曲线方程与斜率关系突破,寻找直线的斜率与点的坐标之间的关系,避免了直线方程与曲线方程联立消元的过程,有效降低了运算量.解法5运用了“点差法”,此方法主要解决与中点弦有关的问题,设点A关于原点的对称点为A1,对于焦 点 在x轴 上 的 双 曲 线,利 用 性 质kP AkP A1=b2a2得kP AkP A1=12,即解法中的y1-1x1-2=12x1+2y1+1.曲线的对称性是重要的几何性质,要能够站在整体高度,挖掘深刻内涵.上述探究过程,是基于确定直线基本量的条件,通过明确算理,结合数学思想方法,合理选择运算路径来实现运算优化的目标,如图2,从知识及方法层面建立了关联.图22.3 变式探究,深度理解,实现知识与方法网络建构的整体关联例题的价值不仅仅是停留在解法的探究上,还可以围绕关键条件或问题进行一题多变及拓展推广,实现对知识的整体架构的把握.问题7 基于以上问题探究,你能提出新的问题并进行证明吗?引导学生进行探究,比如,通过改变条件或结论,得到如下变式:变式1:已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2-y2a2-1=1(a1)上,直线l交C于P,Q两点,直线A P,A Q的 斜 率 之 和 为1.求 证:直 线l过定点.变式2:已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2-y2a2-1=1(a1)上,直线l过点M(3,0)且交C于P,Q两点.求证:直线A P,A Q的斜率之和为定值.设计意图:在解法1中,最后化简可得(2k+m-1)(k+1)=0,由此猜想最后所得直线应该是平行直线系或者中心直线系,围绕猜想再做进一步的变式探究.比如,可以证明直线过定点以及探究其逆命题.问题8 你能进行一般化的推广吗?将问题进行一般化,整体建构解决圆锥曲线中一类定点定值问题的方法.比如,可以进行以下一般化推广:推广1:已知点A在曲线C:x2m+y2n=1上,直线l交C于P,Q两点,直线A P,A Q的斜率之和为(0).求证:直线l过定点.推广2:已知点A在曲线C:x2m+y2n=1上,直线l交C于P,Q两点,直线A P,A Q的斜率之积为(0).求证:直线l过定点.912 0 2 3年 第6 2卷 第2期 数学通报推广3:已知点A在曲线C:x2m+y2n=1上,O为坐标原点,直线l交C于P,Q两点,直线A P,A Q的倾斜角互补.求证:直线P Q,O A的斜率之积为定值.设计意图:将曲线进行一般化推广,变的是曲线,不变的是方法,将问题进行一般化的推广,有助于学生进一步认识曲线性质.3 点滴思考3.1 通过问题情境帮助学生构建知识的整体关联,促进对知识的整体认识培养学生对知识的理解,不能仅仅停留在对知识的浅层认识,应该对这个知识所在的体系要有全方位的认识.在教学中,要能够通过设置合适的问题情境,帮助学生建构知识间整体关联,促进对知识的整体认识.例如,确定直线的基本条件是一点一方向或者两点,要研究直线,就需要通过确定直线方程中的基本量,合理选择直线方程,根据条件选择问题解决的合理方法,确定解决问题的路径.通过问题,明晰直线方程几种形式间的关系,进行联系与区别,明晰运算方法的选择,比如基本转化,整体消元,齐次化处理等.教师通过创设探究性问题,帮助学生理清思路,合理选择运算路径,完善知识体系,构建知识网络.3.2 在探究中促进学生深度学习,发展“四基”及“四能”深度学习能够培养学生发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的能力,问题探究是实现深度学习的必要条件之一.教师要能够在课堂中创设合适的问题情境,为学生提供思考空间,体会有意义的学习.例如本案例中通过对问题展开多角度、多层次的探究,帮助学生在掌握通法的基础上获得运算的优化,挖掘了问题的本质,进行了一般化结论的拓展,实现了深度学习在问题探究中真正发生与发展,不仅帮助学生夯实了基础,更加提升了能力.3.3 在探究中提升学生的数学素养,培养其必备品格与关键能力问题探究是推动数学学科发展与体现数学思维本质的基本活动之一.在数学学习中,有效与积极的数学探究活动能够激发学生的高阶思维.如何培养学生的高阶思维?笔者认为,设计合理的问题情境,开展有效的问题探究,有助于思维养成,提升数学素养.3.3.1 在技能训练中培养数学运算与演绎推理的能力2,实现熟能生巧数学学习离不开必要的技能训练.解析几何的本质是用代数的方法处理几何问题,“设而不求”、“设而可求”、“点差法”等基本方法需要学生熟练掌握,因此,必要的技能训练是需要的.当然,题目的选择要经典,要能够充分蕴含基本思想及方法,要能够体现数学运算与数学推理.例如,解析几何中的定点定值问题,主要考查由斜率关系,探究动直线的特征(平行直线系或者中心直线系),曲线形式可变,思想方法不变,对于这样的一类问题,解法1和2是通性通法,可通过适当的技能训练,提升数学运算及演绎推理的能力.3.3.2 在问题解决中培养分析问题与解决问题的能力,实现思维进阶好的问题的目标指向不仅仅停留在获得答案,要让学生能够在问题探究解决过程中体会问题的本质,发现蕴含的数学思想,感受数学的价值.喻平将解决数学问题分为四个阶段:理解问题、选择算子、应用算子、结果评价2.如图3,分析问题与解决问题能力需要在问题解决过程中不断培养.例如,解法1和解法2是解决问题的通性通法,如果仅仅停留在这一层面上,学生的思维得不到拓展,自然留给我们的思考是能否进行运算优化?在此基础上提出问题5至8,帮助学生站在整体高度构建网络,实现思维进阶.图33.3.3 在变式拓展中培养合情推理与体系架构的能力,实现素养提升荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔认为:学习数学的唯一正确方法是对知识进行“再创造”.从02数学通报 2 0 2 3年 第6 2卷 第2期心理学角度分析,所有的知识只有通过“再创造”,使其纳入自己的认知结构中,才能成为有效的知识.所以,有必要对解决的问题进行引申和拓展,通过剖析其本质,探究知识的整体结构和系统性,变式就是一种很好的将知识进行横向和纵向引申的方法.例如,可以通过改变条件、结论,或者互换条件与结论等方法对问题进行变式,在变的过程中,需要对变化的问题做出判断,此时需要进行合情推理;在变的过程中,需要结合相关知识与方法进行拓展引申,有助于构建单元知识体系,进而形成认知结构中的知识的系统性.总之,以高考题为载体,以问题为引领,创设合适的问题情境,帮助学生理清知识与方法的来龙去脉,构建知识的整体关联,提升深度学习的能力,促进核心素养的养成.参考文献1 教育部考试中心.中国高考评价体系 M.北京:人民教育出版社,2 0 2 1:6-82 喻平.发展学生数学核心素养的教学与评价研究M.上海:华东师范大学出版社,2 0 2 1:2 3 4-2 3 6(上接第1 5页)乃是对所学材料本身产生兴趣.”陈省身自幼崇尚数学好玩,最终成为了数学大师.教学中亦是这样,兴趣是最好的老师,课堂上学生的兴趣足以胜过教师的任何说教.有趣的教学内容,具有强大的学习驱动力,促使学生主动思考,主动学习,主动建构.是激发学生学习潜能,培养学生创造性思维能力的重要方式方法.数学文化是数学长期发展过程中的一种沉淀,积累了丰富的有趣教学素材.那么,文化浸润,文化渗透下的课堂如何才能有效激发兴趣呢?首先,教学中多采用问题启发式进行知识的互动生成,教师所提出的问题要具有一定的悬念,让学生对教学的发展有一种急切的期待.例如在统计学的教学中,为了说明样本估计总体的统计策略中样本代表性的重要性时,教师可以介绍统计学中“幸存者偏差”的经典案例.该案例的悬疑性能够充分调动学生的好奇心和求知欲,在这样的文化情境的导向下,学生能产生积极主动思考的驱动力,驱动学生去思考导致幸存者偏差谬误的统计原因.从而让学生认识到做统计调查时不能用局部样本代替总体样本,这种忽略样本的随机性和全面性的统计分析,容易造成对总体认识的偏差,从而体现了样本代表性在统计分析中的重要性,这是概率统计中用样本估计总体思想的重要基础.其次,美对人有一种天生的吸引力,教学中要有数学的审美视角,把数学中的数学美展现出来.数学文化蕴含丰富的数学美,美丽的黄金螺线,迷人的雪花曲线,奇妙的斐波那契数列,出人意料的概率悖论等妙趣横生的数学文化都可以渗透到教学中去.数学家的名人轶事,动人传说,数学知识的沧桑演变等都能给课堂教学增光添彩.另外,数学文化的渗透不能仅局 限于数学一隅,数学与其他学科之间的文化交叉也是教学中需要关注的重点,比如数学与经济、政治、物理、文学、艺术的交叉,这种学科之间的交叉渗透更能激发学生的兴趣,因为学生可以切实感受到数学的应用性价值.例如三角函数与音乐之间的关系,优美的正弦曲线与音乐有着紧密的联系,从乐音的振动到和声的分布,音乐的优雅之美与数学的形态之美完美融合,美妙至极.结束语数学文化贯通古今,兼容并蓄.教师要想讲文化,首先自己要懂文化,课堂教学中渗透数学文化,对教师提出了更高的要求,教师除了要有扎实的学科水平之外,还应具备深邃的文化修养.文化浸润下的课堂强调的是要把文化素材中的文化教益呈现出来,以文载道,以文化人.文化渗透不是为了点缀课堂,更不是为了迎合课程改革.文化的渗透是为了育人,立德树人,培育真正适应自我终身发展和社会发展所需要的人.数学教育其本质是数学理性思维的教育,数学的理性思维是数学文化的核心概念.文化的渗透,如果能够紧紧抓住这一核心要素,牢牢把握好渗透的基本准则,就能实现文化育人的最终目标.122 0 2 3年 第6 2卷 第2期 数学通报