导数定义.pptx

1引例引例导数的定义导数的定义可微与可导的关系可微与可导的关系可导与连续的关系可导与连续的关系微分的定义微分的定义第一节第一节 导数与微分的概念导数与微分的概念导数与微分的几何意义导数与微分的几何意义求导数与微分举例求导数与微分举例1 1、直线运动的瞬时速度问题直线运动的瞬时速度问题一质点作直线运动一质点作直线运动,已知路程已知路程 s 与时间与时间 t 的的试确定试确定t0时的时的瞬时速度瞬时速度v(t0).这段时间内的这段时间内的平均速度平均速度在每个时刻的速度在每个时刻的速度.解解若运动是若运动是匀速的匀速的,平均速度就等于质点平均速度就等于质点一、一、问题的提出问题的提出关系关系质点走过的路程质点走过的路程,00tttD D+从时刻从时刻此式既是它的定义式此式既是它的定义式,又指明了它的计算又指明了它的计算它越近似的它越近似的定义为定义为并称之为并称之为t0时的时的瞬时速度瞬时速度v(t0).瞬时速度是路程对时间的变化率瞬时速度是路程对时间的变化率.若运动是若运动是非匀速非匀速的的,平均速度平均速度是这段是这段时间内运动快慢的平均值时间内运动快慢的平均值,越小越小,表明表明 t0 时运动的快慢时运动的快慢.因此因此,人们把人们把 t0时的速度时的速度注注注注方法方法,0limD Dt2.2.割线的极限位置割线的极限位置对于一般曲线如何定义其切线呢对于一般曲线如何定义其切线呢?曲线的切线斜率问题曲线的切线斜率问题若已知平面曲线若已知平面曲线如何作过如何作过的切线呢的切线呢.初等数学中并没有给出曲线切线的定义初等数学中并没有给出曲线切线的定义.过该点的切线过该点的切线.我们知道与圆周有唯一交点的直线我们知道与圆周有唯一交点的直线即为圆周即为圆周但此定义不适应其它曲线但此定义不适应其它曲线.如如与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线.切线位置切线位置.曲线上点曲线上点法国法国数学家费马在数学家费马在1629年提出了如下的定义和求年提出了如下的定义和求法法,P.de Fermat 1601-1665 从而圆满地解决了这个问题从而圆满地解决了这个问题.2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放如图如图,如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即二、导数的定义定义定义其它形式其它形式即即处不可导或导数不存在处不可导或导数不存在.特别当特别当(1)式的极限为式的极限为有时也说在有时也说在x0处导数是正处导数是正(负负)无无当极限当极限(1)式不存在时式不存在时,就说函数就说函数 f(x)在在x0正正(负负)无穷时无穷时,穷大穷大,但这时但这时导数不存在导数不存在.关于导数的说明：关于导数的说明：注意注意:2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.35例例 用导数表示下列极限用导数表示下列极限解解解解2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:定理定理1三、微分的定义实例实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.再例如再例如,既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题:这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?微分的定义定义定义(微分的实质微分的实质)由定义知由定义知:四、可微与可导的关系定理定理2证证(1)必要性必要性(2)充分性充分性五、求导数与求微分举例求导步骤求导步骤:例例解解例例解解例例解解更一般地更一般地例如例如,例例解解例例解解例例解解六、导数与微分的几何意义1.导数几何意义导数几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为MNT）2.微分几何意义微分几何意义:(:(如图如图)P 例例解解 由导数的几何意义由导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为3.导数物理意义导数物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动:路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.交流电路交流电路:电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.非均匀的物体非均匀的物体:质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导数的导数为物体的线为物体的线(面面,体体)密度密度.七、可导与连续的关系凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数.证证定理定理3连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例0例如例如 1.注意注意:该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.01例如例如,例如例如,011/1/例例解解为了使为了使 f(x)在在x0处可导处可导,解解 首先函数必须在首先函数必须在x0处连续处连续.由于由于故应有故应有又因又因应如何选取应如何选取a,b?从而从而,当当 f(x)在在x0处可导处可导.应如何选取应如何选取a,b?为了使为了使 f(x)在在x0处可导处可导,小结1.导数导数:增量比的极限增量比的极限;4.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率切线的斜率;5.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;6.求导数最基本的方法求导数最基本的方法:由定义求导数由定义求导数.7.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.微分：函数的增量问题微分：函数的增量问题3.导数与微分的联系导数与微分的联系:微分的几何意义微分的几何意义:切线纵坐标对应的增量切线纵坐标对应的增量.导数与微分的区别导数与微分的区别:思考题思考题1思考题思考题1解答解答思考题思考题2(是非题是非题)非非可导可导;但但不可导不可导.非非但但不可导不可导.解解思考题思考题3作业作业习题习题3-1(633-1(63页页)2(5).5(3).8.11.13.14.练习题答案练习题答案