中考数学(一元二次方程组提高练习题)压轴题训练及答案解析(1).doc

中考数学(一元二次方程组提高练习题)压轴题训练及答案解析(1)

一、一元二次方程
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．
①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．

【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P（﹣﹣1，2）；②P（﹣ ，）
【解析】
试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为即可得到抛物线的解析式；
（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；
②，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
试题解析：（1）∵抛物线与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为，∴，解得：，∴二次函数的解析式为=，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）令，解得或，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在上，∴设点P（x，），
①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即，解得x=（舍去）或x=，∴点P（，2）；
②设P(x，y)，则，∵
=OB•OC+AD•PD+(PD+OC)•OD==
===，
∴当x=时，=，当x=时，=，此时P（，）．

考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．

2．已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.
(1)不解方程，判断方程的根的情况；
(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2
【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17
【解析】
试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．
试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．
将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．
当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；
当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．
综上所述：此三角形的周长为13或17．
点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值．

3．发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．
涵涵的作业

解：x2﹣7x+10=0
a=1 b=﹣7 c=10
∵b2﹣4ac=9＞0
∴x==
∴x1=5，x2=2
所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．
当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．
探究应用：请解答以下问题：
已知等腰三角形ABC的两边是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．
（1）当m=2时，求△ABC的周长；
（2）当△ABC为等边三角形时，求m的值．
【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC的周长为；（2）当△ABC为等边三角形时，m的值为1．
【解析】
【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．
（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m）2﹣4（﹣）=m2﹣2m+1，可求得m.
【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．
错误原因：此时不能构成三角形．
（1）当m=2时，方程为x2﹣2x+=0，
∴x1=，x2=．
当为腰时，+<，
∴、、不能构成三角形；
当为腰时，等腰三角形的三边为、、，
此时周长为++=．
答：当m=2时，△ABC的周长为．
（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，
∴△=（﹣m）2﹣4（﹣）=m2﹣2m+1=0，
∴m1=m2=1．
答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．
【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.

4．由图看出，用水量在m吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m吨，需要加收．

5．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两根α，β．
（1）求m的取值范围；
（2）若，则m的值为多少？
【答案】（1）；（2）m的值为3．
【解析】
【分析】
（1）根据△≥0即可求解,
（2）化简,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.
【详解】
解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m2≥0，
解得：m≥-；
（2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，
∵即=-1,
∴=-1,整理得m2﹣2m﹣3=0
解得：m1=﹣1，m1=3，
由（1）知m≥-，
∴m1=﹣1应舍去，
∴m的值为3．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.

6．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，
（1）若x12+x22=6，求m值；
（2）令T=，求T的取值范围．
【答案】（1）m=；（2）0＜T≤4且T≠2．
【解析】
【分析】
由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m＜1，根据根与系数的关系可得x1+x2=4﹣2m，x1•x2=m2﹣3m+3；（1）把x12+x22=6化为（x1+x2）2﹣2x1x2=6，代入解方程求得m的值，根据﹣1≤m＜1对方程的解进行取舍；（2）把T化简为2﹣2m，结合﹣1≤m＜1且m≠0即可求T得取值范围.
【详解】
∵方程由两个不相等的实数根，
所以△=[2（m﹣2）]2﹣4（m2﹣3m+3）
=﹣4m+4＞0，
所以m＜1，又∵m是不小于﹣1的实数，
∴﹣1≤m＜1
∴x1+x2=﹣2（m﹣2）=4﹣2m，x1•x2=m2﹣3m+3；
（1）∵x12+x22=6，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6，
即（4﹣2m）2﹣2（m2﹣3m+3）=6
整理，得m2﹣5m+2=0
解得m=；
∵﹣1≤m＜1
所以m=．
（2）T=+
=
=
=
=
=2﹣2m．
∵﹣1≤m＜1且m≠0
所以0＜2﹣2m≤4且m≠0
即0＜T≤4且T≠2．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

7．已知、是关于的方程的两个不相等的实数根.
(1)求实数的取值范围;
(2)已知等腰的一边长为7，若、恰好是另外两边长，求这个三角形的周长.
【答案】（1）m>2; (2)17
【解析】
试题分析：（1）由根的判别式即可得；
（2）由题意得出方程的另一根为7，将x=7代入求出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．
试题解析：解：（1）由题意得△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=8m－16＞0，解得：m＞2；
（2）由题意，∵x1≠x2时，∴只能取x1=7或x2=7，即7是方程的一个根，将x=7代入得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=4或m=10．
当m=4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17；
当m=10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；
故三角形的周长为17．
点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．

8．关于x的一元二次方程．
（1）.求证：方程总有两个实数根；
（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）-1.
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根.
(2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定的取值范围，即求出吗 的最小值.
【详解】
(1)证明：依题意，得

．
，
∴ ．
∴方程总有两个实数根．
由．
可化为：
得 ，
∵ 方程的两个实数根都是正整数，
∴ ．
∴ ．
∴ 的最小值为．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.

9．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？

【答案】裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.
【解析】
试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.
试题解析：
设裁掉的正方形的边长为xdm，
由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，
即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.

10．淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售的A商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件．
（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A商品的售价为39.2元/件？
（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A商品的网上标价提高a%，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价．
【答案】（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．
【解析】
【分析】
（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值，再将其代入80（1+a%）中即可求出结论．
【详解】
（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，
根据题意得：80（1﹣x）2＝39.2，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不合题意，舍去）．
答：平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元．
（2）根据题意得：[0.5×80（1+a%）﹣30]×1000（1+2a%）＝30000，
整理得：a2+75a﹣2500＝0，
解得：a1＝25，a2＝﹣100（不合题意，舍去），
∴80（1+a%）＝80×（1+25%）＝100．
答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

11．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？
【答案】共有35名同学参加了研学游活动．
【解析】
试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．
试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．
设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得：
x[100﹣2（x﹣30）]=3150，
整理得x2﹣80x+1575=0，解得x1=35，x2=45，
当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．
当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去．
答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动．
考点：一元二次方程的应用．

12．已知：关于x的一元二次方程.
（1）若此方程有两个实数根，求没的最小整数值；
（2）若此方程的两个实数根为，，且满足，求的值.
【答案】（1）-4；（2）m=3
【解析】
【分析】
（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到，，然后解关于m的一元二次方程，即可确定m的值．
【详解】
解：（1）∵有两个实数根，
∴，
∴，
∴；
∴m的最小整数值为：；
（2）由根与系数的关系得：，，
由得：

∴，
解得：或；
∵，
∴.
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则，．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.

13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向B点以1 cm/s的速度移动，点Q从B点沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发．
(1)问几秒后，△PBQ的面积为8cm²？
(2)出发几秒后，线段PQ的长为4cm ?
(3)△PBQ的面积能否为10 cm2？若能，求出时间；若不能，请说明理由．

【答案】(1) 2或4秒;(2) 4 cm；(3)见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2，则PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积的计算公式，S△PBQ=BP×BQ，列出表达式，解答出即可；
（2）设经过x秒后线段PQ的长为4cm，依题意得AP=x，BP=6-x，BQ=2x，利用勾股定理列方程求解；
（3）将△PBQ的面积表示出来，根据△=b2-4ac来判断．
【详解】
(1)设P，Q经过t秒时，△PBQ的面积为8 cm2，
则PB＝6－t，BQ＝2t，
∵∠B＝90°，
∴ (6－t)× 2t＝8，
解得t1＝2，t2＝4，
∴当P，Q经过2或4秒时，△PBQ的面积为8 cm2；
(2)设x秒后，PQ＝4 cm，
由题意，得(6－x)2＋4x2＝32，
解得x1＝，x2＝2，
故经过秒或2秒后，线段PQ的长为4 cm；
(3)设经过y秒，△PBQ的面积等于10 cm2，
S△PBQ＝×(6－y)× 2y＝10，
即y2－6y＋10＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝36－4× 10＝－4＜ 0，
∴△PBQ的面积不会等于10 cm2.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，熟练的掌握一元二次方程的应用是本题解题的关键.

14．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当a＞0，b＞0时：
∵（）2=a﹣2+b≥0
∴a+b≥2，当且仅当a=b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+的最小值为　 　．当x＜0时，x+的最大值为　 　；
（2）若y=，（x＞﹣1），求y的最小值；
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．

【答案】（1）2；﹣2．（2）y的最小值为9；（3）四边形ABCD面积的最小值为25．
【解析】
【分析】
（1）当x＞0时，按照公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算即可；当x＜0时，﹣x＞0，0，则也可以按公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算；
（2）将y的分子变形，分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，由三角形面积公式可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．
【详解】
（1）当x＞0时，x22；
当x＜0时，﹣x＞0，0．
∵﹣x22，∴则x（﹣x）≤﹣2，∴当x＞0时，x的最小值为 2．当x＜0时，x的最大值为﹣2．
故答案为：2，﹣2．
（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴y=（x+1）5≥25=4+5=9，∴y的最小值为9．
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，∴x：9=4：S△AOD，∴S△AOD，∴四边形ABCD面积=4+9+x13+225．
当且仅当x=6时，取等号，∴四边形ABCD面积的最小值为25．
【点睛】
本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．

15．将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？
【答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．
【解析】
【分析】
设每件商品涨价元，能赚得8000元的利润；销售单价为元，销售量为件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量×每个利润，可列方程求解
【详解】
解：设每件商品涨价元，则销售单价为元，销售量为件．
根据题意，得．
解得，．
经检验，，都符合题意．
当时，，；
当时，，．
所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解