中考数学二次函数-经典压轴题及答案解析.doc

中考数学二次函数-经典压轴题及答案解析一、二次函数1如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，0）（1）求点B的坐标；（2）已知，C为抛物线与y轴的交点若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；设点Q是线段AC上的动点，作QDx轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值【答案】（1）点B的坐标为（1，0）.（2）点P的坐标为（4，21）或（4，5）.线段QD长度的最大值为.【解析】【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B的坐标（2）用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C的坐标，得到，设出点P 的坐标，根据列式求解即可求得点P的坐标用待定系数法求出直线AC的解析式，由点Q在线段AC上，可设点Q的坐标为(q,-q-3)，从而由QDx轴交抛物线于点D，得点D的坐标为(q,q2+2q-3)，从而线段QD等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.【详解】解：（1）A、B两点关于对称轴对称 ，且A点的坐标为（3，0），点B的坐标为（1，0）.（2）抛物线，对称轴为，经过点A（3，0），解得.抛物线的解析式为.B点的坐标为（0，3）.OB=1，OC=3.设点P的坐标为(p,p2+2p-3)，则.，解得.当时；当时，点P的坐标为（4，21）或（4，5）.设直线AC的解析式为，将点A，C的坐标代入，得：，解得：.直线AC的解析式为.点Q在线段AC上，设点Q的坐标为(q,-q-3).又QDx轴交抛物线于点D，点D的坐标为(q,q2+2q-3).，线段QD长度的最大值为.2如图，已知抛物线经过A（3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，ADF的面积为S求S与m的函数关系式；S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由【答案】（1）.（2）.（3）.当m=2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（2，2）.【解析】【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可.【详解】解：（1）抛物线经过A（3，0），B（1，0），可设抛物线交点式为.又抛物线经过C（0，3），.抛物线的解析式为：，即.（2）PBC的周长为：PB+PC+BC，且BC是定值.当PB+PC最小时，PBC的周长最小.点A、点B关于对称轴I对称，连接AC交l于点P，即点P为所求的点.AP=BP，PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.A（3，0），B（1，0），C（0，3），AC=3，BC=.PBC的周长最小是：.（3）抛物线顶点D的坐标为（1，4），A（3，0），直线AD的解析式为y=2x+6点E的横坐标为m，E（m，2m+6），F（m，）.S与m的函数关系式为.，当m=2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（2，2）.3如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHx轴于点H，与BC交于点M，连接PC求线段PM的最大值；当PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标【答案】（1）二次函数的表达式y=x22x3；（2）PM最大=；P（2，3）或（3-，24）【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案【详解】（1）将A，B，C代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式y=x22x3；（2）设BC的解析式为y=kx+b，将B，C的坐标代入函数解析式，得，解得，BC的解析式为y=x3，设M（n，n3），P（n，n22n3），PM=（n3）（n22n3）=n2+3n=（n）2+，当n=时，PM最大=；当PM=PC时，（n2+3n）2=n2+（n22n3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=2，n22n3=-3，P（2，-3）；当PM=MC时，（n2+3n）2=n2+（n3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3+（不符合题意，舍），n3=3-，n22n3=2-4，P（3-，2-4）；综上所述：P（2，3）或（3-，24）【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.4如图1，抛物线C1：y=ax22ax+c（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C已知点A的坐标为（1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A、B，顶点为G，当ABG是等边三角形时，求k的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=x2+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；（3）M1（，0）、N1（，1）；M2（，0）、N2（1，1）；M3（4，0）、N3（10，1）；M4（4，0）、N4（2，1）【解析】【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=x2+2x+3k，即y=（x1）2+4k，作GDx轴于点D，设BD=m，由等边三角形性质知点B的坐标为（m+1，0），点G的坐标为（1，m），代入所设解析式求解可得；（3）设M（x，0），则P（x，x2+2x+3）、Q（x，x2+2x+2），根据PQ=OA=1且AOQ、PQN均为钝角知AOQPQN，延长PQ交直线y=1于点H，证OQMQNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可【详解】（1）点A的坐标为（1，0），OA=1，OC=3OA，点C的坐标为（0，3），将A、C坐标代入y=ax22ax+c，得：，解得：，抛物线C1的解析式为y=x2+2x+3=（x1）2+4，所以点G的坐标为（1，4）；（2）设抛物线C2的解析式为y=x2+2x+3k，即y=（x1）2+4k，过点G作GDx轴于点D，设BD=m，ABG为等边三角形，GD=BD=m，则点B的坐标为（m+1，0），点G的坐标为（1，m），将点B、G的坐标代入y=（x1）2+4k，得：，解得：（舍），k=1；（3）设M（x，0），则P（x，x2+2x+3）、Q（x，x2+2x+2），PQ=OA=1，AOQ、PQN均为钝角，AOQPQN，如图2，延长PQ交直线y=1于点H，则QHN=OMQ=90，又AOQPQN，OQ=QN，AOQ=PQN，MOQ=HQN，OQMQNH（AAS），OM=QH，即x=x2+2x+2+1，解得：x=（负值舍去），当x=时，HN=QM=x2+2x+2=，点M（，0），点N坐标为（+，1），即（，1）；或（，1），即（1，1）；如图3，同理可得OQMPNH，OM=PH，即x=（x2+2x+2）1，解得：x=1（舍）或x=4，当x=4时，点M的坐标为（4，0），HN=QM=（x2+2x+2）=6，点N的坐标为（4+6，1）即（10，1），或（46，1）即（2，1）；综上点M1（，0）、N1（，1）；M2（，0）、N2（1，1）；M3（4，0）、N3（10，1）；M4（4，0）、N4（2，1）【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.5如图，已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，过点M作MNy轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标。【答案】（1）（2）（3）P的坐标为（1，12）或（6，5）或（2，3）或（3，4）【解析】【分析】（1）由B（5，0），C（0，5），应用待定系数法即可求直线BC与抛物线的解析式。（2）构造MN关于点M横坐标的函数关系式，应用二次函数最值原理求解。（3）根据S1=6S2求得BC与PQ的距离h，从而求得PQ由BC平移的距离，根据平移的性质求得PQ的解析式，与抛物线联立，即可求得点P的坐标。【详解】解：（1）设直线BC的解析式为，将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。直线BC的解析式为。将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。抛物线的解析式。（2）点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，设M。点N是直线BC上与点M横坐标相同的点，N。当点M在抛物线在x轴下方时，N的纵坐标总大于M的纵坐标。MN的最大值是。（3）当MN取得最大值时，N。的对称轴是，B（5，0），A（1，0）。AB=4。由勾股定理可得，。设BC与PQ的距离为h，则由S1=6S2得：，即。如图，过点B作平行四边形CBPQ的高BH，过点H作x轴的垂线交点E ，则BH=，EH是直线BC沿y轴方向平移的距离。易得，BEH是等腰直角三角形，EH=。直线BC沿y轴方向平移6个单位得PQ的解析式：或。当时，与联立，得，解得或。此时，点P的坐标为（1，12）或（6，5）。当时，与联立，得，解得或。此时，点P的坐标为（2，3）或（3，4）。综上所述，点P的坐标为（1，12）或（6，5）或（2，3）或（3，4）。6如图，抛物线的图象过点.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及PAC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，点，周长为：；（3）存在，点M坐标为【解析】【分析】（1）由于条件给出抛物线与x轴的交点，故可设交点式，把点C代入即求得a的值，减小计算量（2）由于点A、B关于对称轴：直线对称，故有，则，所以当C、P、B在同一直线上时，最小利用点A、B、C的坐标求AC、CB的长，求直线BC解析式，把代入即求得点P纵坐标（3）由可得，当两三角形以PA为底时，高相等，即点C和点M到直线PA距离相等又因为M在x轴上方，故有由点A、P坐标求直线AP解析式，即得到直线CM解析式把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标【详解】解：（1）抛物线与x轴交于点 可设交点式 把点代入得：抛物线解析式为（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得的周长最小如图1，连接PB、BC点P在抛物线对称轴直线上，点A、B关于对称轴对称当C、P、B在同一直线上时，最小最小设直线BC解析式为把点B代入得：，解得：直线BC：点使的周长最小，最小值为（3）存在满足条件的点M，使得SPAMSPAC当以PA为底时，两三角形等高点C和点M到直线PA距离相等M在x轴上方，设直线AP解析式为 解得：直线直线CM解析式为：解得：（即点C），点M坐标为【点睛】考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法其中第（3）题条件给出点M在x轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单7如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，对称轴为直线，点是线段的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点的坐标并求直线的表达式；（3）设动点，分别在抛物线和对称轴l上，当以，为顶点的四边形是平行四边形时，求，两点的坐标.【答案】（1）；（2），；（3）点、的坐标分别为或、或【解析】【分析】（1）函数表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解； （2）、，则点，设直线的表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解； （3）分当是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可.【详解】解：（1）函数表达式为：，将点坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：；（2）、，则点，设直线的表达式为：，将点坐标代入上式得：，解得：，故直线的表达式为：；（3）设点、点，当是平行四边形的一条边时，点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，同样点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，即：，解得：，故点、的坐标分别为、；当是平行四边形的对角线时，由中点定理得：，解得：，故点、的坐标分别为、；故点、的坐标分别为，或、，或【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏.8如图，抛物线y=（x1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（1，0）（1）求点B，C的坐标；（2）判断CDB的形状并说明理由；（3）将COB沿x轴向右平移t个单位长度（0t3）得到QPEQPE与CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围【答案】()B(3，0)；C(0，3)；()为直角三角形；().【解析】【分析】（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B，C的坐标（2）分别求出CDB三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定CDB为直角三角形（3）COB沿x轴向右平移过程中，分两个阶段：当0t时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；当t3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形【详解】解：()点在抛物线上，得抛物线解析式为：，令，得，；令，得或，.()为直角三角形.理由如下：由抛物线解析式，得顶点的坐标为.如答图1所示，过点作轴于点M，则，.过点作于点，则，.在中，由勾股定理得：；在中，由勾股定理得：；在中，由勾股定理得：.，为直角三角形. ()设直线的解析式为，解得，直线是直线向右平移个单位得到，直线的解析式为：；设直线的解析式为，解得：，.连续并延长，射线交交于，则.在向右平移的过程中：(1)当时，如答图2所示：设与交于点，可得，.设与的交点为，则：.解得，.(2)当时，如答图3所示：设分别与交于点、点.，.直线解析式为，令，得，.综上所述，与的函数关系式为：.9如图，抛物线经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为求抛物线的解析式点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动设运动时间为t秒，求t为何值时，PBE的面积最大并求出最大值过点A作于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标【答案】；当时，PBE的面积最大，最大值为；点N的横坐标为：4或或【解析】【分析】点B、C在直线为上，则B（n，0）、C（0，n），点A（1，0）在抛物线上，所以，解得，因此抛物线解析式：；先求出点P到BC的高h为，于是，当时，PBE的面积最大，最大值为；由知，BC所在直线为：，所以点A到直线BC的距离，过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H设，则、，易证PQN为等腰直角三角形，即，所以解得（舍去），解得，（舍去），解得（舍去），【详解】解：点B、C在直线为上，B（n，0）、C（0，n），点A（1，0）在抛物线上，抛物线解析式：；由题意，得，由知，点P到BC的高h为，当时，PBE的面积最大，最大值为；由知，BC所在直线为：，点A到直线BC的距离，过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H设，则、，易证PQN为等腰直角三角形，即，解得，点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，；，解得，点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，解得，点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，综上所述，若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，点N的横坐标为：4或或【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键10如图甲，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0x3时，在抛物线上求一点E，使CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）【答案】（1）y=x24x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，1+2）或（2，12）；（3）E点坐标为（，）时，CBE的面积最大【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；（3）过E作EFx轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标试题解析：（1）直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x24x+3；（2）y=x24x+3=（x2）21，抛物线对称轴为x=2，P（2，1），设M（2，t），且C（0，3），MC=，MP=|t+1|，PC=，CPM为等腰三角形，有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；当MC=PC时，则有=2，解得t=1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=1+2或t=12，此时M（2，1+2）或（2，12）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，1+2）或（2，12）；（3）如图，过E作EFx轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x24x+3），则F（x，x+3），0x3，EF=x+3（x24x+3）=x2+3x，SCBE=SEFC+SEFB=EFOD+EFBD=EFOB=3（x2+3x）=（x）2+，当x=时，CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），即当E点坐标为（，）时，CBE的面积最大考点：二次函数综合题11复习课中，教师给出关于x的函数（k是实数）.教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：存在函数，其图像经过（1,0）点；函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数；教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学方法.【答案】真，假，假，真，理由和所用的数学方法见解析.【解析】试题分析：根据方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想对各结论进行判断.试题解析：真，假，假，真.理由如下：将（1,0）代入，得，解得.存在函数，其图像经过（1,0）点.结论为真.举反例如，当时，函数的图象与坐标轴只有两个不同的交点.结论为假.当时，二次函数（k是实数）的对称轴为，可举反例如，当时，二次函数为，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.结论为假.当时，二次函数的最值为，当时，有最小值，最小值为负；当时，有最大值，最大值为正.结论为真.解决问题时所用的数学方法有方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想考点：1.曲线上点的坐标与方程的关系；2.二次函数的性质；3.方程思想、特殊元素法、反证思想和分类思想的应用.12如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0t10）（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PEBC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，PBE=OCD？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PMBQ，交CQ于点M，作PNCQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值【答案】（1）B（10，4），C（0，4），；（2）3；（3）或 .【解析】试题分析：（1）由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设P（t，4），则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE的长，由条件可证得PBEOCD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）当四边形PMQN为正方形时，则可证得COQQAB，利用相似三角形的性质可求得CQ的长，在RtBCQ中可求得BQ、CQ，则可用t分别表示出PM和PN，可得到关于t的方程，可求得t的值试题解析：解：（1）在yax2bx4中，令x0可得y4，C（0，4），四边形OABC为矩形，且A（10，0），B（10，4），把B、D坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为yx2x4；（2）由题意可设P（t，4），则E（t，t2t4），PB10t，PEt2t44t2t，BPECOD90，当PBEOCD时，则PBEOCD，即BPODCOPE，2（10t）4（t2t），解得t3或t10（不合题意，舍去），当t3时，PBEOCD； 当PBECDO时，则PBEODC，即BPOCDOPE，4（10t）2（t2t），解得t12或t10（均不合题意，舍去）综上所述当t3时，PBEOCD；（3）当四边形PMQN为正方形时，则PMCPNBCQB90，PMPN，CQOAQB90，CQOOCQ90，OCQAQB，RtCOQRtQAB，即OQAQCOAB，设OQm，则AQ10m，m（10m）44，解得m2或m8，当m2时，CQ，BQ，sinBCQ，sinCBQ，PMPCsinPCQt，PNPBsinCBQ（10t），t （10t），解得t，当m8时，同理可求得t，当四边形PMQN为正方形时，t的值为或点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识在（1）中注意利用矩形的性质求得B点坐标是解题的关键，在（2）中证得PBEOCD是解题的关键，在（3）中利用RtCOQRtQAB求得CQ的长是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大13某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示销售量p（件）P=50x销售单价q（元/件）当1x20时，当21x40时，（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件（2）（3）这40天中该网店第21天获得的利润最大？最大利润是725元【解析】【分析】（1）分别将q=35代入销售单价关于x的函数关系式，求出x即可（2）应用利润=销售收入销售成本列式即可（3）应用二次函数和反比例函数的性质，分别求出最大值比较即得所求【详解】解：（1）当1x20时，令，解得；当21x40时，令，解得；第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件（2）当1x20时，；当21x40时，y关于x的函数关系式为（3）当1x20时，当x=15时，y有最大值y1，且y1=612.5当21x40时，262500，随着x的增大而减小，当x=21时，有最大值y2，且y1y2，这40天中该网店第21天获得的利润最大？最大利润是725元14抛物线，若a，b，c满足b=a+c，则称抛物线为“恒定”抛物线（1）求证：“恒定”抛物线必过x轴上的一个定点A；（2）已知“恒定”抛物线的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见试题解析；（2），或【解析】试题分析：（1）由“恒定”抛物线的定义，即可得出抛物线恒过定点（1，0）；（2）求出抛物线的顶点坐标和B的坐标，由题意得出PACQ，PA=CQ；存在两种情况：作QMAC于M，则QM=OP=，证明RtQMCRtPOA，MC=OA=1，得出点Q的坐标，设抛物线的解析式为，把点A坐标代入求出a的值即可；顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合；证明OQCOPA，得出OQ=OP=，得出点Q坐标，设抛物线的解析式为，把点C坐标代入求出a的值即可试题解析：（1）由“恒定”抛物线，得：b=a+c，即ab+c=0，抛物线，当x=1时，y=0，“恒定”抛物线必过x轴上的一个定点A（1，0）；（2）存在；理由如下：“恒定”抛物线，当y=0时，解得：x=1，A（1，0），B（1，0）；x=0时，y=，顶点P的坐标为（0，），以PA，CQ为边的平行四边形，PA、CQ是对边，PACQ，PA=CQ，存在两种情况：如图1所示：作QMAC于M，则QM=OP=，QMC=90=POA，在RtQMC和RtPOA中，CQ=PA，QM=OP，RtQMCRtPOA（HL），MC=OA=1，OM=2，点A和点C是抛物线上的对称点，AM=MC=1，点Q的坐标为（2，），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为，把点A（1，0）代入得：a=，抛物线的解析式为：，即；如图2所示：顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合，点C坐标为（1，0），CQPA，OQC=OPA，在OQC和OPA中，OQC=OPA，COQ=AOP，CQ=PA，OQCOPA（AAS），OQ=OP=，点Q坐标为（0，），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为，把点C（1，0）代入得：a=，抛物线的解析式为：；综上所述：存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形，抛物线的解析式为：，或考点：1二次函数综合题；2压轴题；3新定义；4存在型；5分类讨论15已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（4，）两点（1）求b，c的值（2）二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况【答案】（1）；（2）公共点的坐标是（2，0）或（8，0）【解析】【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值；（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点，由题意得到方程+3=0，通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标【详解】（1）把A（0，3），B（4，）分别代入y=x2+bx+c，得，解得；（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=x2+x+3，=（）24（）3=0，所以二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴有公共点，x2+x+3=0的解为：x1=2，x2=8，公共点的坐标是（2，0）或（8，0）【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系