中考数学压轴题之二次函数(中考题型整理-突破提升)及详细答案.doc

中考数学压轴题之二次函数(中考题型整理,突破提升)及详细答案一、二次函数1如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上。（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使POB与POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点，且ABQ为直角三角形，求点Q的坐标。【答案】解：（1）；（2）存在，P（，）；（3）Q点坐标为（0，-）或（0，）或（0，1）或（0，3）.【解析】【分析】（1）已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解.（2）首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在POB和POC中，已知的条件是公共边OP，若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC，那么还要满足的条件为：POC=POB，各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P在第二象限的限定条件.（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可.【详解】解：（1）把A（1，4）代入ykx6，得k2，y2x6，令y0，解得：x3，B的坐标是（3，0）A为顶点，设抛物线的解析为ya（x1）24，把B（3，0）代入得：4a40，解得a1，y（x1）24x22x3 （2）存在OBOC3，OPOP，当POBPOC时，POBPOC，此时PO平分第二象限，即PO的解析式为yx设P（m，m），则mm22m3，解得m（m0，舍），P（，） （3）如图，当Q1AB90时，DAQ1DOB，即=，DQ1，OQ1，即Q1（0，-）；如图，当Q2BA90时，BOQ2DOB，即，OQ2，即Q2（0，）；如图，当AQ3B90时，作AEy轴于E，则BOQ3Q3EA，即OQ324OQ3+30，OQ31或3，即Q3（0，1），Q4（0，3）综上，Q点坐标为（0，-）或（0，）或（0，1）或（0，3）2如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形？若存在请求出点P的坐标； （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，MNB面积最大，试求出最大面积【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x24x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+3）或（0，33）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，MNB面积最大，最大面积是1此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处【解析】【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：CP=CB；BP=BC；PB=PC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2t，SMNB=（2t）2t=t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得MNB最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处【详解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=4，c=3，二次函数的表达式为：y=x24x+3；（2）令y=0，则x24x+3=0，解得：x=1或x=3，B（3，0），BC=3，点P在y轴上，当PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，当CP=CB时，PC=3，OP=OC+PC=3+3或OP=PCOC=33P1（0，3+3），P2（0，33）；当PB=PC时，OP=OB=3，P3（0，-3）；当BP=BC时，OC=OB=3此时P与O重合，P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，33）或（3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2t，则DN=2t，SMNB=（2t）2t=t2+2t=（t1）2+1，当点M出发1秒到达D点时，MNB面积最大，最大面积是1此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处3如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=x+n与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+3(a0)过C、B两点，交x轴于另一点A，连接AC，且tanCAO=3(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，求出d与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；(3)在(2)的条件下，当点P在线段BC上时，设PH=e，已知d，e是以y为未知数的一元二次方程：y2(m+3)y+(5m22m+13)=0 (m为常数)的两个实数根，点M在抛物线上，连接MQ、MH、PM，且MP平分QMH，求出t值及点M的坐标【答案】(1) y=-x2+2x+3；(2)；（3）t=1，(1+，2)和(1，2).【解析】【分析】（1）当x=0时代入抛物线y=ax2+bx+3（a0）就可以求出y=3而得出C的坐标，就可以得出直线的解析式，就可以求出B的坐标，在直角三角形AOC中，由三角形函数值就可以求出OA的值，得出A的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论；（2）分两种情况讨论，当点P在线段CB上时，和如图3点P在射线BN上时，就有P点的坐标为（t，-t+3），Q点的坐标为（t，-t2+2t+3），就可以得出d与t之间的函数关系式而得出结论；（3）根据根的判别式就可以求出m的值，就可以求出方程的解而求得PQ和PH的值，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，就可以得出四边形LQMH是平行四边形，进而得出四边形LQMH是菱形，由菱形的性质就可以求出结论【详解】（1）当x=0，则y=-x+n=0+n=n，y=ax2+bx+3=3，OC=3=n当y=0，-x+3=0，x=3=OB，B（3，0）在AOC中，AOC90，tanCAO=，OA=1，A（-1，0）将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得，解得：抛物线的解析式：y=-x2+2x+3；(2) 如图1，P点的横坐标为t 且PQ垂直于x轴 P点的坐标为(t，t+3)，Q点的坐标为(t，t2+2t+3).PQ=|(t+3)(t2+2t+3)|=| t23t |；d，e是y2(m+3)y+(5m22m+13)=0（m为常数）的两个实数根，0，即=(m+3)24(5m22m+13)0整理得：= 4(m1)20，4(m1)20，=0，m=1， PQ与PH是y24y+4=0的两个实数根，解得y1=y2=2 PQ=PH=2，t+3=2，t=1, 此时Q是抛物线的顶点，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，LP=MP，PQ=PH，四边形LQMH是平行四边形，LHQM，1=3，1=2，2=3，LH=MH，平行四边形LQMH是菱形，PMQH，点M的纵坐标与P点纵坐标相同，都是2，在y=x2+2x+3令y=2，得x22x1=0，x1=1+，x2=1综上：t值为1，M点坐标为(1+，2)和(1，2).4如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0）、C（3, 0）、D（3, 4）以A为顶点的抛物线yax2bxc过点C动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒过点P作PEx轴交抛物线于点M，交AC于点N （1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）当t为何值时，ACM的面积最大？最大值为多少？（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？【答案】（1）A（1，4）；yx22x3；（2）当t时，AC面积的最大值为1；（3）或【解析】（1）由矩形的性质得到点A的坐标，由抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为ya（x1）24，把点C的坐标代入即可求得a的值；（2）由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标，由A、C的坐标得到直线AC的解析式，进而得到点N的坐标，即可用关于t的式子表示MN，然后根据ACM的面积是AMN和CMN的面积和列出用t表示的ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到当t时，AC面积的最大值为1；（3）当点在点上方时，由PCQ，PNCQ，得到四边形PNCQ为平行四边形，所以当PQCQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到，解得t值；当点在点下方时，NH=CQ=，NQCQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2CQ2，得：，解得t值解：（1）由矩形的性质可得点A（1，4），抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为ya（x1）24，代入点C（3, 0），可得a1y（x1）24x22x3（2）P（，），将代入抛物线的解析式，y（x1）24，M（，），设直线AC的解析式为，将A（,），C（,）代入，得：，将代入得，N（，），MN ，当t时，AC面积的最大值为1（3）如图，当点在点上方时，（，），P（，），P（）CQ，又PNCQ，四边形PNCQ为平行四边形，当PQCQ时，四边形FECQ为菱形，PQ2PD2+DQ2 ，整理，得解得，（舍去）；如图当点在点下方时，NH=CQ=，NQCQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2CQ2，得：整理，得所以，（舍去）“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.5如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图2，连接BC，PB，PC，设PBC的面积为S求S关于t的函数表达式；求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标【答案】（1）y=x2+2x+3（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t2时，不存在，理由见解析；（3）y=x+3；P点到直线BC的距离的最大值为，此时点P的坐标为（，）【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CEPE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）过点P作PFy轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论【详解】（1）将A（1，0）、B（3，0）代入y=x2+bx+c，得，解得：，抛物线的表达式为y=x2+2x+3；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，抛物线的表达式为y=x2+2x+3，点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），点M的坐标为（1，6）；当t2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，点P的横坐标t=120=2，又t2，不存在；（3）在图2中，过点P作PFy轴，交BC于点F设直线BC的解析式为y=mx+n（m0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，得，解得：，直线BC的解析式为y=x+3，点P的坐标为（t，t2+2t+3），点F的坐标为（t，t+3），PF=t2+2t+3（t+3）=t2+3t，S=PFOB=t2+t=（t）2+；0，当t=时，S取最大值，最大值为点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），线段BC=，P点到直线BC的距离的最大值为，此时点P的坐标为（，）【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t2两种情况考虑；（3）利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值6对于二次函数 y=ax2+（b+1）x+（b1），若存在实数 x0，使得当 x=x0，函数 y=x0，则称x0 为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值. 【答案】（1）1，3；（2）0a0，即b2-4ab+4a0，把b2-4ab+4a看作b的二次函数，由于对任意实数b，b2-4ab+4a0成立，则（4a）2-4.4a0，即b2-4ab+4a0，而对任意实数b，b2-4ab+4a0成立，所以（4a）2-4.4a0，解得0a1.（3）设A（x1，x1），B（x2，x2），则x1+x2 A，B的中点的坐标为（ ），即M（ ）A、B两点关于直线y=kx-2a+3对称，又A，B在直线y=x上，k=-1，A，B的中点M在直线y=kx-2a+3上.= -2a+3 得：b=2a2-3a所以当且仅当a= 时，b有最小值【点睛】本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.7如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点A、B，抛物线经过点A和点B，与x轴的另一个交点为C，动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向O点运动，同时动点E从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向A点运动，设运动的时间为t秒，0t5.（1）求抛物线的解析式；（2）当t为何值时，以A、D、E为顶点的三角形与AOB相似；（3）当ADE为等腰三角形时，求t的值；（4）抛物线上是否存在一点F，使得以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）t的值为或； （3）t的值为或或； （4）符合条件的点F存在，共有两个（4，8），-8）.【解析】（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用ADEAOB和AEDAOB即可求出t的值；（3）过E作EHx轴于点H，过D作DMAB于点M即可求出t的值；（4）分当AD为边时，当AD为对角线时符合条件的点F的坐标.解：(1)A（6,0），B（0,8），依题意知，解得，.(2) A（6,0），B（0,8），OA=6，OB=8，AB=10，AD=t，AE=10-2t，当ADEAOB时，；当AEDAOB时，；综上所述，t的值为或.(3) 当AD=AE时，t=10-2t，；当AE=DE时，过E作EHx轴于点H，则AD=2AH，由AEHABO得，AH=，；当AD=DE时，过D作DMAB于点M，则AE=2AM，由AMDAOB得，AM=，；综上所述，t的值为或或.(4) 当AD为边时，则BFx轴，求得x=4，F（4，8）；当AD为对角线时，则，解得，x0，.综上所述，符合条件的点F存在，共有两个（4，8），-8）.“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题8如图1，在矩形ABCD中，DB6，AD3，在RtPEF中，PEF90，EF3，PF6，PEF（点F和点A重合）的边EF和矩形的边AB在同一直线上现将RtPEF从A以每秒1个单位的速度向射线AB方向匀速平移，当点F与点B重合时停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：（1）如图1，连接PD，填空：PE ，PFD 度，四边形PEAD的面积是 ；（2）如图2，当PF经过点D时，求PEF运动时间t的值；（3）在运动的过程中，设PEF与ABD重叠部分面积为S，请直接写出S与t的函数关系式及相应的t的取值范围【答案】（1）300，；（2）；（3）见解析.【解析】分析：（1）根据锐角三角形函数可求出角的度数，然后根据勾股定理求出PE的长，再根据梯形的面积公式求解.（2）当PF经过点D时，PEDA，由EF=3，PF=6，可得EPD=ADF=30，用三角函数计算可得AF=t=；（3）根据题意，分三种情况：当0t时，t3时，3t6时，根据三角形、梯形的面积的求法，求出S与t的函数关系式即可.详解：（1）在RtPEF中，PEF=90，EF=3，PF=6sinP= P=30PEADPAD=300，根据勾股定理可得PE=3，所以S四边形PEAD=（3+3）3=； （2）当PF经过点D时，PEDA，由EF=3，PF=6，得EPF=ADF=30，在RtADF中，由AD=3，得AF=，所以t= ； （3）分三种情况讨论： 当0t时， PF交AD于Q，AF=t，AQ=t，S=tt=；当t3时，PF交BD于K，作KHAB于H，AF=t，BF=3-t，SABD=，FBK=FKB，FB=FK=3-t，KH=KFsin600=,S=SABDSFBK =当3t3时，PE与BD交O，PF交BD于K，AF=t，AE=t-3，BF=3-t,BE=3-t+3，OE=BEtan300=，S=点睛：此题主要考查了几何变换综合题，用到的知识点有直角三角形的性质，三角函数值，三角形的面积，图形的平移等，考查了分析推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，要熟练掌握，比较困难.9如图，菱形ABCD的边长为20cm，ABC120，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点A出发，以4cm/s的速度，沿AB的路线向点B运动；过点P作PQBD，与AC相交于点Q，设运动时间为t秒，0t5（1）设四边形PQCB的面积为S，求S与t的关系式；（2）若点Q关于O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N，当t为何值时，点P、M、N在一直线上？（3）直线PN与AC相交于H点，连接PM，NM，是否存在某一时刻t，使得直线PN平分四边形APMN的面积？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【答案】(1) S=2（0t5）； (2) ;(3)见解析.【解析】【分析】（1）如图1，根据S=SABC-SAPQ，代入可得S与t的关系式；（2）设PM=x，则AM=2x，可得AP=x=4t，计算x的值，根据直角三角形30度角的性质可得AM=2PM=，根据AM=AO+OM，列方程可得t的值；（3）存在，通过画图可知：N在CD上时，直线PN平分四边形APMN的面积，根据面积相等可得MG=AP，由AM=AO+OM，列式可得t的值【详解】解：（1）如图1，四边形ABCD是菱形，ABD=DBC=ABC=60，ACBD，OAB=30，AB=20，OB=10，AO=10，由题意得：AP=4t，PQ=2t，AQ=2t，S=SABCSAPQ，=，= ，=2t2+100（0t5）；（2）如图2，在RtAPM中，AP=4t，点Q关于O的对称点为M，OM=OQ，设PM=x，则AM=2x，AP=x=4t，x=，AM=2PM=，AM=AO+OM，=10+102t，t=；答：当t为秒时，点P、M、N在一直线上；（3）存在，如图3，直线PN平分四边形APMN的面积，SAPN=SPMN，过M作MGPN于G， ，MG=AP，易得APHMGH，AH=HM=t，AM=AO+OM，同理可知：OM=OQ=102t，t=10=102t，t=答：当t为秒时，使得直线PN平分四边形APMN的面积【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.10在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“衍生三角形”已知抛物线与其“衍生直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若AMN为该抛物线的“衍生三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（-2，）；（1,0）；（2）N点的坐标为（0，），（0，）；（3）E（-1，-）、F（0，）或E（-1，），F（-4，）【解析】【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a即可；（2）过A作ADy轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求出ON的长，可求出N点的坐标；（3）分别讨论当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E、F坐标即可【详解】（1），a=，则抛物线的“衍生直线”的解析式为；联立两解析式求交点，解得或，A（-2，），B（1,0）；（2）如图1，过A作ADy轴于点D，在中，令y=0可求得x= -3或x=1，C（-3,0），且A（-2，），AC=由翻折的性质可知AN=AC=，AMN为该抛物线的“衍生三角形”，N在y轴上，且AD=2，在RtAND中，由勾股定理可得DN=，OD=，ON=或ON=，N点的坐标为（0，），（0，）；（3）当AC为平行四边形的边时，如图2 ，过F作对称轴的垂线FH，过A作AKx轴于点K，则有ACEF且AC=EF， ACK= EFH，在 ACK和 EFH中 ACK EFH，FH=CK=1，HE=AK=，抛物线的对称轴为x=-1， F点的横坐标为0或-2，点F在直线AB上，当F点的横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，E到y轴的距离为EH-OF=-=，即E的纵坐标为-， E（-1，-）；当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；当AC为平行四边形的对角线时， C（-3,0），且A（-2，），线段AC的中点坐标为（-2.5， ），设E（-1，t），F（x，y），则x-1=2（-2.5），y+t=，x= -4，y=-t，-t=-（-4）+，解得t=，E（-1，），F（-4，）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-）、（0，）或E（-1，），F（-4，）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题11如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax3a（a0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E（1）当a=1时，求抛物线顶点D的坐标，OE等于多少；（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；（3）设DEO=，4560，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围【答案】（1）（1，4），3；（2）结论：OE的长与a值无关理由见解析；（3）a1；（4）n=m1（m1）【解析】【分析】(1)求出直线CD的解析式即可解决问题；(2)利用参数a，求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断；(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判断；(4)如图，作PM对称轴于M，PNAB于N两条全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解：(1)当a=1时，抛物线的解析式为y=x22x+3，顶点D(1，4)，C(0，3)，直线CD的解析式为y=x+3，E（3，0），OE=3，(2)结论：OE的长与a值无关理由：y=ax2+2ax3a，C(0，3a)，D(1，4a)，直线CD的解析式为y=ax3a，当y=0时，x=3，E（3，0），OE=3，OE的长与a值无关(3)当=45时，OC=OE=3，3a=3，a=1，当=60时，在RtOCE中，OC=OE=3，3a=3，a=，4560，a的取值范围为a1(4)如图，作PM对称轴于M，PNAB于NPD=PE，PMD=PNE=90，DPE=MPN=90，DPM=EPN，DPMEPN，PM=PN，PM=EN，D(1，4a)，E(3，0)，EN=4+n=3m，n=m1，当顶点D在x轴上时，P(1，2)，此时m的值1，抛物线的顶点在第二象限，m1n=m1(m1)故答案为：(1)(1，4)，3；(2)OE的长与a值无关；(3)a1；(4)n=m1（m1）【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质。12如图1，抛物线C1：y=ax22ax+c（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C已知点A的坐标为（1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A、B，顶点为G，当ABG是等边三角形时，求k的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=x2+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；（3）M1（，0）、N1（，1）；M2（，0）、N2（1，1）；M3（4，0）、N3（10，1）；M4（4，0）、N4（2，1）【解析】【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=x2+2x+3k，即y=（x1）2+4k，作GDx轴于点D，设BD=m，由等边三角形性质知点B的坐标为（m+1，0），点G的坐标为（1，m），代入所设解析式求解可得；（3）设M（x，0），则P（x，x2+2x+3）、Q（x，x2+2x+2），根据PQ=OA=1且AOQ、PQN均为钝角知AOQPQN，延长PQ交直线y=1于点H，证OQMQNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可【详解】（1）点A的坐标为（1，0），OA=1，OC=3OA，点C的坐标为（0，3），将A、C坐标代入y=ax22ax+c，得：，解得：，抛物线C1的解析式为y=x2+2x+3=（x1）2+4，所以点G的坐标为（1，4）；（2）设抛物线C2的解析式为y=x2+2x+3k，即y=（x1）2+4k，过点G作GDx轴于点D，设BD=m，ABG为等边三角形，GD=BD=m，则点B的坐标为（m+1，0），点G的坐标为（1，m），将点B、G的坐标代入y=（x1）2+4k，得：，解得：（舍），k=1；（3）设M（x，0），则P（x，x2+2x+3）、Q（x，x2+2x+2），PQ=OA=1，AOQ、PQN均为钝角，AOQPQN，如图2，延长PQ交直线y=1于点H，则QHN=OMQ=90，又AOQPQN，OQ=QN，AOQ=PQN，MOQ=HQN，OQMQNH（AAS），OM=QH，即x=x2+2x+2+1，解得：x=（负值舍去），当x=时，HN=QM=x2+2x+2=，点M（，0），点N坐标为（+，1），即（，1）；或（，1），即（1，1）；如图3，同理可得OQMPNH，OM=PH，即x=（x2+2x+2）1，解得：x=1（舍）或x=4，当x=4时，点M的坐标为（4，0），HN=QM=（x2+2x+2）=6，点N的坐标为（4+6，1）即（10，1），或（46，1）即（2，1）；综上点M1（，0）、N1（，1）；M2（，0）、N2（1，1）；M3（4，0）、N3（10，1）；M4（4，0）、N4（2，1）【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.13（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为m. （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高