人教版高数选修2-2第2讲：导数的计算(学生版).doc

导数的计算

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1、能够用定义求四个常用函数的导数，并熟悉求导数的三个步骤。
2、使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式；并能运用这四个公式正确求函数的导数．

一、几个常用函数的导数：
1．函数的导数

函数
导数

2．函数的导数
函数
导数

3．函数的导数
函数
导数

4．函数的导数
函数
导数

（2）推广：若，则
二、基本初等函数的导数公式：

函数
导数

2.（1）记忆导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点
导数运算法则
1．

2．

3．
推论：

类型一：利用公式及运算法则求导数
例1．求下列函数的导数：
（1）； （2）
（3）； （4）y=2x3―3x2+5x＋4

举一反三：
【变式】求下列函数的导数：
（1）；
（2）
（3）y=6x3―4x2+9x―6

例2．求下列各函数的导函数
（1）； （2）y=x2sinx;
（３）y=； （４）y=

举一反三：
【变式1】函数在处的导数等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4

【变式3】求下列函数的导数.
（1） ；（2）；（3）.

类型二：复合函数的求导
例3．求下列函数导数.
（1）； （2）；
（3）； （4）.

举一反三：
【变式1】求下列函数的导数：
(1)； （2）
（3） y=ln（x＋）； （4）

类型三：求曲线的切线方程
例8．求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.

举一反三：
【变式1】求曲线在点处的切线的斜率，并写出切线方程.

【变式2】已知，是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是________.

【变式3】已知曲线.
（1）求曲线上横坐标为1的点处的切线的方程；
（2）第（1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？

例9．已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且.
（1）求直线的方程；
（2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.

举一反三：
【变式1】如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程

【变式2】曲线在点（1，1）处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为________.
【变式3】曲线在（0，1）处的切线与的距离为，求的方程.

1．下列求导过程中
①′＝－；②()′＝；③(logax)′＝′＝；
④(ax)′＝(eln ax)′＝(exln a)′＝exln aln a＝axln a
其中正确的个数是(　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(　　)．
A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
3．(2011·湖南)曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)．
A．－ B. C．－ D.
4．(2011·江西)若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为(　　)．
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
5．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝______；＝________(用数字作答)．

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基础巩固
1．[2011·江西卷] 若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1，0)
2．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝2x－3 D．y＝－2x－2
3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
4．y＝的导数是(　　)
A．y′＝
B．y′＝
C．y′＝
D．y′＝

5．[2012·沈阳模拟] 若函数y＝－x2＋1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是(　　)
A. B. C. D.
6．若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
7．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝(　　)
A．26 B．29 C．212 D．215
8．若曲线y＝x－在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝(　　)
A．64 B．32 C．16 D．8
9．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
10．[2012·深圳模拟] 已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，则x0的值为________．
11．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝________．
12．曲线y＝x2过点4，的切线方程是________．
13．已知f(x)＝，则f′(0)＝________．
14．(10分)求下列函数的导数：
(1)y＝sin＋cos；
(2)y＝e1－2x＋ln(3－x)；
(3)y＝ln.

15．(13分)设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：函数y＝f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
(3)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．

16．(12分)用导数方法求和：1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1(x≠0，1，n∈N*)．

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