九年级《三角函数》知识点、经典例题.doc

九年级《三角函数》知识点、例题、中考真题

1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。
2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：

定 义
表达式
取值范围
关 系
正弦

(∠A为锐角)

余弦

(∠A为锐角)
正切

(∠A为锐角)

(倒数)

余切

(∠A为锐角)

对边
邻边
斜边
A
C
B

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°

0

1

1

0

0

1

-

-

1

0
6、正弦、余弦的增减性：
当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：
当0°<<90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。
8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)
9、应用举例：
(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

(2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。
把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。
10、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。
11、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向），
南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。

12、解斜三角形所根据的定理 (在△ABC中)
① 正弦定理：　=2R. 　(R是△ABC外接圆半径).
②　余弦定理：　c2=a2+b2－2abCosC； b2=c2+a2－2ca CosB； a2=c2+b2－2cbCosA.
③　互补的两个角的三角函数的关系：
Sin(180－A)= sinA， Cos(180－A)= － cosA ，
tan(180－A)=－cotA， cotA(180－A)=－tanA.
④　S△ABC＝absinC=bcsinA=casinB.

三角函数中考试题分类例题解说
图1
一、三角函数的定义
例1：（滨州市） 如图1，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡
C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关
分析：由锐角的正切、正弦和余弦的定义可知：锐角的正切、正弦值越大，梯子越陡，余弦值越小，梯子越陡。因此选A。
二、利用特殊角的三角函数值计算
例4：（辽宁省十二市） 计算：
解：
图3

点评：熟记特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键。
三、求线段的长度
例5：（云南省） 已知：如图3，在ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6。
求BC的长（结果保留根号）．

图5

分析：解决此类问题需要根据题意构造直角三角形，在直角三角形中加以研究。如图4，过点A作AD⊥BC于点D。 在RtABD中，∠B =45°，则AD = BD。不妨设AD = x，又AB = 6，所以有x 2　＋ x 2 = 62，解得x =，即AD = BD =。在RtACD中，由∠ACD = 60°得∠CAD =
图4

30°而tan30°=，即，解得CD =。因此BC = BD + DC =+。

下面也是2007年关于锐角三角函数的中考题，请自己完成。
1、（江西省） 如图5，在中，，分别是的对边，若，则 ．
2、（大连市）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，sinA＝，则BC的长为___cm。
3、（丽水市） 如图6，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离=3米，，则梯子的长度为 米。
图6
A
B
C
4、（天津市） 的值等于（ ）
A. B. C. D. 1
5、（连云港市）计算：
6、（岳阳市）计算：＋|2-3|＋sin245°
图7
A
C
B
7、（眉山市） 计算： sin450＋cos300·tan600—
8、（中山市） 如图7，Rt△ABC的斜边AB＝5，cosA＝。
(1)用尺规作图作线段AC的垂直平分线l(保留作图痕迹，不要求写作法、证明)；
(2)若直线l与AB、AC分别相交于D、E两点，求DE的长。
答案：1、。 2、8。 3、4。 4、A。 5、2。 6、 。
7、- 。 8、2。

一、选择题
1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则的值是（ ）

A． B． C． D．
2.（2008·威海中考）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB＝（ ）
A．　　 B． C． D．
3.（2009·湖州中考）如图，在中，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．　　B．　 C．　 　 　D．
A
C
B
D

3 题 4题 5题
4.（2008·温州中考）如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5（2007·泰安中考）如图，在中，，于，若，，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
6.（2009·梧州中考）在△ABC中，∠C＝90°， BC＝6 cm，，则AB的长是 cm．
7.（2009·孝感中考）如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则 ．

7题 8题
8.（2009·庆阳中考）如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，，则这个菱形的面积= cm2．
三、解答题
9.（2008·宁夏中考）如图，在△中，∠=90°，sin=，=15，求△的周长和tan的值．

10.（2007·芜湖中考）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，，

(1) 求证：AC=BD；
(2)若，BC=12，求AD的长．
一、选择题
2.（2009·长春中考）．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
3.(2009·定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（　　）
A．8米 B．米 C．米 D．米
4.（2008·宿迁中考）已知为锐角，且，则等于（ ）
Ａ．　　 Ｂ．　 　Ｃ．　 　Ｄ．
5.（2008·毕节中考） A（cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A1的坐标是（ ）
A． B． C． 　D．

6.（2007·襄樊中考）计算：等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
7. （2009·荆门中考）=______．
8.（2009·百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点C的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是 米．（结果保留根号）．

10.（2007·济宁中考）计算的值是 。
三、解答题
11.（2009·黄石中考）计算：3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°
12.（2009·崇左中考）计算：．
要点三、解直角三角形在实际问题中的运用
一、选择题
1.（2009·白银中考）某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（　　）
A．8米 B．米 C．米 D．米
2.（2009·衢州中考）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角α的正切值是（ ）
A． B．4 C． D．
3.（2009·益阳中考）如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A. B. C. D.
α
5米
A
B

1题 2题 3题
4.（2009·兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m

4题 5题
5.(2009·潍坊中考)如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得，在C点测得，又测得米，则小岛B到公路l的距离为（ ）米．
A．25 B． C． D．
二、填空题
6.（2009·沈阳中考）如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为，则坡面AC的长度为 m．
7. （2009·南宁中考）如图，一艘海轮位于灯塔的东北方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，则海轮行驶的路程为 _____________海里（结果保留根号）．

6题 7题 8题 9题
8.(2008·庆阳中考)如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离=3米，，则梯子长AB = 米.
9.（2007·湖州中考）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道_______________m．（结果保留三个有效数字，参考数据：sin15°≈26，cos15°≈0.97）
三、解答题
10.（2009·郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为1.5米，测得仰角为，点B到电灯杆底端N的距离BN为10米，求路灯的高度MN是多少米？（取=1.414，=1.732，结果保留两位小数）