参数方程专题训练28道真题带答案.doc

选修4-4 坐标系与参数方程专题训练（带答案）

1.（2013年乌鲁木齐二模 第23题）
已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C的极坐标方程为，直线l过点
（Ⅰ）化曲线C的方程为普通方程。
（Ⅱ）求直线l和曲线C的两个交点到点A的距离之积．
解：
（Ⅰ）由，得，即，
∴圆的直角坐标方程为． …5分
（Ⅱ）过点的参数方程为（为参数），
将其代入圆的方程，得．
∴，故．

2. （2012届高考数学仿真模拟卷——新课标版）
已知直线过点，且倾斜角为，圆方程为。
（1）求直线的参数方程；
（2）设直线与圆交与M、N两点，求的值。

解：1）为参数）
（2）

把的参数方程带入圆的普通方程，得
∴，故=

3.自创题
在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线的直角坐标方程为x+y-2=0.

(1)若在圆上有一点M ，过M作x轴的垂线，垂足为N，则求线段MN的重点轨迹方程。
(2)求曲线到直线的最小距离。

解：(1) 圆： （为参数）上的点，垂足
：（为参数），的轨迹是焦点在x轴的椭圆。
(2)设曲线上有动点，则P到直线x+y-2=0.的距离为，最小距离为。

4.(2011·福建高考题)
在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解：
(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标系，得P(0,4)．
因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cosα，sinα)从而点Q到直线l的距离为：

d＝＝
＝cos＋2，
由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.

5.自创题
已知曲线:（为参数）,:的参数方程（为参数）
(1)化,的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线.
(2)若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线:
（为参数）距离的最小值.

解：(1) ： 表示圆心为)
3
,
4
(
-

，半径为1的圆
： 表示焦点在x 轴的椭圆

(2) )
4
,
4
(
-
P
, 为上的动点,设
中点
的普通方程为
点M到直线的距离
可知到直线距离的最小值为。

6. 2013年高考课标Ⅰ卷（文）
已知曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)把的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求与交点的极坐标().
解:(1)将,消去参数t,化学普通方程,
即 ,
将
;
所以极坐标方程为
.

(2)的普通方程为,

所以交点的极坐标为.

7.（2014哈尔滨市高考复习质量检测（天利38套））
在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C的方程为
(1)求曲线C的直角坐标方程
(2)设曲线C与直线l交于A,B两点，若点P的坐标为（2,1）,求
解：
(1)由得即

(2)将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得，
由于>0,故可设是上述方程的两个实根，所以
又直线l过点P，故由上式及参数t的几何意义得

8.(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学第一次联考)
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.
(1)若直线l的斜率为－1，求直线l与曲线C交点的极坐标；
(2)若直线l与曲线C的相交弦长为2，求直线l的参数方程．
解：(1)直线l的普通方程为y－1＝－1(x＋1)，即
y＝－x， ①
曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0. ②
①代入②得：2x2－4x＝0，解得x＝0或x＝2.
∴A(0,0)，B(2，－2)，极坐标为A(0,0)，B.
(2)由题意可得圆心C(2,0)到相交弦的距离为＝1，设直线l的斜率为k，则l的方程为y－1＝k(x＋1)，则y＝kx＋k＋1，
∴＝1，∴k＝0或k＝－.
∴l：(t为参数)或(t为参数)．

9. （2014太原市高三模拟考试一（天利38套））
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知曲线C：，过点P(-2，-4)的直线l：（t为参数）与曲线C相交于M,N两点。
(1) 曲线C和直线l的普通方程；
(2) 若成等比数列，求实数a的值。

[解]　
(1) 把代入得
消去t得
故曲线C和直线l的普通方程分别为，

(2)把代入中，整理得则

10. (2011辽宁高考卷)
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2的参数方程为(a>b>0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．
(1)分别说明C1，C1是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
解：
(1)C1是圆，C2是椭圆．
当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.
当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.
(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1，
当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标为x′＝.
当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．
故四边形A1A2B2B1的面积为＝.

11.(2011全国卷Ⅱ第23题)

在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为
（为参数）
M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2的方程
(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.
解：
（I）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以
即
从而的参数方程为（为参数）
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。
射线与的交点的极径为，
射线与的交点的极径为。
所以

12.(2012全国卷Ⅱ第23题)
已知曲线的参数方程是为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为。
（Ⅰ）求点的直角坐标；
（Ⅱ）设为上任意一点，求|的取值范围。

解：
【解析】（1）点的极坐标为
点的直角坐标为
（2）设；则

13.(2013全国卷Ⅱ第23题)
已知动点都在曲线为参数上,对应参数分别为与,为的中点.
(Ⅰ)求的轨迹的参数方程;
(Ⅱ)将到坐标原点的距离表示为的函数,并判断的轨迹是否过坐标原点.

解：

14. (2014全国卷Ⅱ第23题)

所以D点坐标为或。

15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 
与 的交点的极坐标为______．
【解】．
由极坐标方程与普通方程的互化式知，这两条曲线的普通方程分别为．
解得由,得．
由及得交点的极坐标为．

　16.在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)。在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为。
(Ⅰ) 求圆的直角坐标方程；
(Ⅱ) 设圆与直线交于点．若点的坐标为)，求．
【解】(Ⅰ) 由得，
化为直角坐标方程为．
　　即．
　(Ⅱ) 直线的一般方程为,即，
容易知道点在直线上，
又，所以点在圆外，联立圆与直线方程
可以得到，
所以，
，
于是．

17．（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程
已知直线: （t为参数），圆: (为参数)，
　　（Ⅰ) 当=时，求与的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点作的垂线，垂足为，为的中点，当变化时，求点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
【解】（Ⅰ) 当=时，的普通方程为．的普通方程为．
由方程组解得与的交点坐标为和．
（Ⅱ）的普通方程为，
因为是的垂线，则的方程满足，
解解得，，
于是点的坐标为．
故当变化时，点轨迹的参数方程为
（为参数）．
点轨迹的普通方程为．
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．

C选修4－4参数方程与极坐标
　18. 在极坐标系中，圆与直线相切，求实数的值
【解】将圆和直线的极坐标方程化为直角坐标的普通方程为
圆的方程,即和直线方程,
因为圆与直线相切,则，
即，或．

选修4-4：坐标系与参数方程
19.在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为

(Ⅰ)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(Ⅱ)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．
【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ) ．
【解析】
试题分析：(Ⅰ)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得 ，利用，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)利用点到直线距离公式求解．
试题解析：(Ⅰ)消去参数t，得到圆的普通方程为,
由，得,
所以直线l的直角坐标方程为.
(Ⅱ)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即
解得
考点：1、参数方程和普通方程的互化；2、极坐标方程和直角坐标方程的互化；3、点到直线距离公式．

20．(坐标系与参数方程选做题)已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为
，则点到直线的距离为
【解析】依题已知直线：和点可化为：和，所以点与直线的距离为，故应填入．

21．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线的极坐标方程为，曲线C的参数方程为 ( t为参数) ，与C相交于AB两点，则.
【答案】

22.（Ⅱ）已知直线（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1） 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2） 设点M的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为A，B，求的值.
【答案】（1）；（2）.

考点：1.极坐标与直角坐标的互相转化；2.直线与圆的位置关系.[来源:学.科.网Z.X.X.K]

23.C（选修4—4：坐标系与参数方程）
已知圆C的极坐标方程为，求圆C的半径.
【答案】
考点：圆的极坐标方程，极坐标与之间坐标互化

24．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴
建立极坐标系，的极坐标方程为．
（I）写出的直角坐标方程；
（II）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．
【答案】（I）；（II）．
【解析】
试题分析：（I）先将两边同乘以可得，再利用，可得的直角坐标方程；（II）先设的坐标，则，再利用二次函数的性质可得的最小值，进而可得的直角坐标．
试题解析：（I）由，
从而有.
(II)设,则，
故当t=0时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为（3，0）.
考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质.

（25）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（I） 求，的极坐标方程；
（II） 若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积
【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得，的极坐标方程；（Ⅱ）将将代入即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出的面积.
试题解析：（Ⅰ）因为，
∴的极坐标方程为，的极坐标方程为.……5分
（Ⅱ）将代入，得，解得=，=，|MN|=－=，
因为的半径为1，则的面积=.
考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系

26. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线 （t为参数,且 ）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
（I）求与交点的直角坐标；
（II）若与 相交于点A,与相交于点B,求最大值.
【答案】（I）；（II）4.
【解析】试题分析：（I）把与的方程化为直角坐标方程分别为,,联立解

27．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为_______.
【答案】
【解析】
试题分析：直线的普通方程为，由得，直角坐标方程为
，把代入双曲线方程解得，因此交点.为，其极坐标为.
考点：参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化.
28．若函数f（x）=|x+1|+2|x-a|的最小值为5，则实数a=_______.
【答案】或
考点：绝对值的性质，分段函数.