2年信号检测与估计考试试卷.doc

信号检测与估计试题答案
三、（15分）现有两个假设

其中观测样本为复信号，是复信号样本，是均值为零、方差为的复高斯白噪声，代价因子为，先验概率
（1）试写出两假设下的似然函数和，其中；（4分）
（2）采用贝叶斯准则进行检测，给出信号检测的判决规则表达式；（6分）
（3）在上题基础上，计算虚警概率。（5分）

解：
（1）观测样本在假设下的概率密度函数为

……..（2分）
由于样本间互相独立，则个观测样本的联合概率密度函数为

…….（1分）
同理可得，在假设下的似然函数为

…….（1分）
（2）首先计算似然比：

其中，。 ……..（2分）
然后，计算贝叶斯准则似然比门限为

………（2分）
因此，根据

化简可得最后的判决表达式：
……..（2分）
（3）在假设下，是均值为 、方差为的复高斯随机变量，因此，统计决策量 为高斯分布随机变量，其均值和方差分别为：
（1分）
（1分）
其中， 定义为两信号的相关系数。
因此，虚警概率为：
……（1分）
其中，
（1分）
式子中，，。 经化简，最终可得：
（1分）
其中，为误差补函数。

四、（18分）若观测方程为：

其中是非随机参量，是独立同分布的随机变量，其概率密度函数为

请问答以下问题：
（1）试计算参量和的最大似然估计和；（10分）
（2）最大似然估计和是无偏估计吗？为什么？（4分）
（3）和是均方一致估计吗？为什么？（4分）
解：
（1）因是高斯分布的随机变量，则也是高斯分布，其对应的均值和方差为

由均值和方差写出以参量和为条件的的似然函数为
----------------1分
由题设知是相互独立的。因此，的联合似然函数为
----------2分
两边取自然对数，并分别对和求偏导，并令其偏导等零
----------------2分

解以上的方程组可得：
------------------2分
------------------2分
（2）因，则是无偏估计。--------2分
因，则是有偏估计。------------2分
（3）因对估计的均方误差的极限

因此，是均方一致估计。------------------------2分
对估计的均方误差
------------2分
上式取极限得

因此，也是均方一致估计。--------------1分