一类具有转点的二阶半线性奇摄动边值问题_赵敏.pdf

文章编号：1000-5641(2023)02-0026-08一类具有转点的二阶半线性奇摄动边值问题赵敏,倪明康（华东师范大学 数学科学学院,上海200241）摘要:研究了一类具有转点的二阶半线性奇摄动问题解的渐近性.首先,给出了在转点附近发生稳定性交替的若干判别准则.其次,通过修正退化问题的正则化方程,提高了原问题渐近解的精度,并利用 Nagumo定理证明了光滑解的存在性.最后,通过一个算例验证了结果的正确性.关键词:奇摄动;边值问题;转点;稳定性交替;渐近解中图分类号:O175.14文献标志码:ADOI:10.3969/j.issn.1000-5641.2023.02.005A class of second-order semilinear singularly perturbedboundary value problems with turning pointsZHAO Min,NI Mingkang（School of Mathematical Sciences,East China Normal University,Shanghai200241,China）Abstract:The dynamical behavior of a class of second-order semilinear singularly perturbed Neumannboundary value problems with a turning point are studied.Firstly,we establish sufficient conditions for theexchange of stabilities near the turning point.By correcting the regularized equation of the degenerateproblem,the accuracy of the asymptotic solution to the original problem is improved.Secondly,theNagumo theorem is used to prove the existence of a smooth solution.Finally,a specific example is used toverify the validity of the results.Keywords:singular perturbation;boundary value problems;turning point;exchange of stabilities;asymptotic solution 0 引言奇摄动理论及方法一直受到国内外专家学者的广泛关注1-6.经典的奇摄动方法在临界流形法向双曲的情况下有着非常成功的应用和大量的研究成果,但是对于临界流形具有非法向双曲点的问题有一定的局限性.时至今日,转点问题作为奇摄动研究的一个重要分支,也是奇摄动理论发展进程中的重点和难点,其显著特征是在转点附近具有非法向双曲性,此时,传统的 Vasileva 边界层函数法不再适用.近年来,许多学者开始对转点问题进行研究.Howes7推广了 OMalley8 的工作,讨论了一类二阶非线性奇摄动转点问题.在此基础上,张祥9研究了一类更加一般化的非线性奇摄动转点问题.Wang10研究了一类带有转点的奇摄动两点边值问题,得到了不同情况下的极限渐近解.Kumar11提出了一类具有转点的奇摄动时滞微分方程,从理论上证明了转点的存在会导致边界层或内部层的出 收稿日期:2021-04-21基金项目:国家自然科学基金(11871217);上海市科学技术委员会基金(18dz2271000)通信作者:倪明康,男,教授,研究方向为奇摄动理论和方法.E-mail: 第 2 期华东师范大学学报(自然科学版)No.22023 年 3 月Journal of East China Normal University(Natural Science)Mar.2023现,这一理论结果对地球物理学模型的研究具有十分重要的意义.Shen 等12研究了一类有转点的奇摄动捕食模型,通过几何奇摄动理论和方法进行动力学分析,发现转点的存在会促使松弛震荡的出现.Butuzov 等13首次系统性地提出了低阶奇摄动转点问题的解决方法,给出了相关的理论证明.尽管不少学者14-15在此基础上进行了一定的研究,但是,对于文献 13 所提出的带有转点的奇摄动Neumann 边值问题,目前尚无提高其零次近似精度的研究.而在许多工程类领域,精度的提高有助于更准确地解决实际问题.因此,对低阶奇摄动转点问题提高零次近似精度的研究具有一定的理论意义和潜在的应用价值.本文将研究一类临界流形上存在转点的二阶半线性奇摄动 Neumann 边值问题,基于 Butuzov 理论13,通过改进正则化方程,提高渐近解的精度,并利用 Nagumo 定理证明解的存在性.1 问题的提出考虑如下具有 Neumann 边值条件的奇摄动问题2u=F(x,u,),0 x 1,u(0,)=0,u(1,)=0.(1)0 0,x 0,1.式(2)中:在 上二阶偏导数连续;在 上具有连续的二阶导数;根据条件 1,系统(1)的退化方程为h(x)(u 1(x)(u 2(x)=0.(3)显然,方程(3)有如下的两个退化根u=1(x),u=2(x).x0(0,1)条件 2假设存在 使得下面关系式成立1(x)2(x),0 x x0,(4)1(x)=2(x),x=x0,(5)1(x)2(x),x0 x 1.(6)根据条件 2,构造如下分段退化解 u(x)=1(x),0 x x0,2(x),x0 0.x=x0当 时,类似地,可以得到Fu(x)=Fu(x,u,0)=0,第 2 期赵 敏,等:一类具有转点的二阶半线性奇摄动边值问题27x=x0 x=x0即在 处发生了稳定性交替的现象,也称在 处系统(1)存在转点.F1(x):=F1(x,u,0)0条件 3假设 .u(x)0,1x=x0Fu(x0)=0由式(7)可知,是区间 上的连续函数,但在 处不可导,且 .显然,Tikhonov 定理中的稳定性条件不满足,也就是说,经典 Vasileva 边界层函数法不再适用,故无法按照经典方法来构造原问题的形式渐近解.文献 13 将退化方程(3)修正为如下形式的正则化方程h(x)(u 1(x)(u 2(x)F1(x,u,0)=0.(8)uu将 作为参数,易知方程(8)关于 至少为二次方程.不失一般性,不妨设其中较大的实根为(x,)=12(1(x)+2(x)+(1(x)2(x)2+4H)1/2).H=h1(x)F1(x,0)(x,)1=(x,)|x 0,1,0 0上式中:.显然,是区域 上的充分光滑函数.(x,)u(x),u(x)接下来,用光滑函数 替换 并利用上下解方法,证明系统(1)存在解 ,且满足下述零次近似表达式u(x,)=u(x)+O(),x I,u(x)+O(),x 0,1I.(9)Ix0式(9)中:是以 为中心,为半径的小区间;是不依赖于 的任意小的正数.IO()Iu(x,)u(x)=O()但是,由式(9)可知,在 上零次近似的精度仅为 .往下,将通过修正正则化方程(8),提高零次近似在 内的精度,使得 .2 零次近似精度的提高I为了提高在 内系统(1)渐近解的精度,将在方程(8)的基础上进一步修正退化方程,将其替换为h(x)(u 1(x)(u 2(x)nF1(x,u,0)=0,(10)n?(x,)即对退化方程(3)增加 量阶项.经计算可得,方程(10)有两个不同的光滑实根,记其中较大的实根为 (图 1),则有?(x,)=12(1(x)+2(x)+(1(x)2(x)2+4nH)1/2).(11)H=h1(x)F1(x,?,0)?(x,)式(11)中:.显然,是光滑函数.u (x,)u(x)x0 x0+x01xO u(x)?(x,)图 1 与 的示意图 u(x)?(x,)Fig.1 The illustration of and 28华东师范大学学报(自然科学版)2023 年x IH(x,?(x,)c1 0c10?(x,)u(x)c2n/2x 0,1I|1(x)2(x)|c 0c根据式(7)和式(11),经简单计算可得:当 时,(是常数),此时,;当 时,总有 ,其中 仅依赖于 .此时,|?(x,)u(x)|=2n|H|(1(x)2(x)2+42H)1/2+|1(x)2(x)|)1=O(n).?(x,)u(x)这说明对充分小的 ,光滑根 与分段退化解 足够接近,即可用下式描述?(x,)u(x)=O(n/2),x I,O(n),x 0,1I.(12)?(x,)u(x)由式(12)知,可选用 代替 构造上下解.0u(x,)引理 1若条件 13 成立,则对于充分小的 ,奇摄动问题(1)存在解 ,并且它有渐近表达式u(x,)=?(x,)+O(),x 0,1.(13)证明构造上下解U=?(x,)(A+Z(x,),(14)U=?(x,)+(A+Z(x,).(15)A上式中:为正常数;Z(x,)=exp(kx)+exp(k(x 1),其中 k 为正常数.A,k 0 显然,当 时,U(x,)U(x,),x 0,1U(x,)U(x,)即当 时,恒成立.对充分小的 ,有?(x,)=O(1),x 0,1,于是,对充分大的 k 和充分小的 ,有U(0,)=?(0,)+k+O(exp(k)0,U(0,)0,x 0,1,m1 0,m1c1 0其中 为常数.经简单计算得,存在常数 ,使得h(2?1 2)=h(1(x)2(x)2+4nH1/2 2m1c1n/2,则对充分小的 和 ,有Fu(x,?,0)m1c1n/2:=Nn/2,x I,(16)N 0其中 为常数.x 0,1I当 时,可以得到h(2?1 2)m1c+O(n),c 0N 0其中 为常数,故存在 ,使得Fu(x,?(x,),0)N,x 0,1I.(17)结合式(16)和式(17)可得Fu(x,?(x,),0)0,x 0,1.由此立得LU=2U F(x,U,)=2?(x,)k2Z(x,)F(x,?(x,)(A+Z(x,),)=O(2)k2Z(x,)(F(x,?(x,),0)F1(x,?(x,),0)+O(2)+Fu(x,?(x,),0)(A+Z(x,)=O(2)+(Fu(x,?(x,),0)(A+Z(x,)k2Z(x,)+(n)F1(x,?(x,),0).n1 n1 0Z=O(n)A对任意正整数 及充分小的 ,显然有 ,.对充分大的 和充分小的 ,经简单计算可得LU 0,x 0,1.类似地LU 0u(x,)定理 1若条件 13 成立,则对充分小的 ,问题(1)的解 存在且具有渐近表达式30华东师范大学学报(自然科学版)2023 年u(x,)=u(x)+O(),0 x 1,u(x)其中 由式(7)表示.定理 2若条件 13 成立,则有lim0u(x,)=u(x),x 0,1.3 举例考虑 Neumann 边值问题2u=u(u x+12),u(0,)=0,u(1,)=0.(18)0 0,F(x,u,0)=u(u x+12).(19)系统(18)的退化方程为u(u x+12)=0,(20)由此可得方程(20)有两解:u(x)=1(x)=0,u(x)=2(x)=x 12.1(x)2(x)(12,0)显然,与 相交于点 ,即在该点处出现了稳定性交替现象.构造分段退化解 u(x)=|0,0 x 12,x 12,12 0.x=12当 时,简单计算可得Fu(x)=Fu(x,u,0)=0.u(x)0,1x=12易知,虽然在区间 上是连续函数,但在 处不可导.根据第 2 章的讨论,不妨将其退化方程(20)修正为u(u x+12)2=0.(22)?(x,)显然,方程(22)有两个不同的光滑实根,记其中较大实根为 ,则有?(x,)=12x 12+(x 12)2+42.第 2 期赵 敏,等:一类具有转点的二阶半线性奇摄动边值问题31 u(x)?(x,)?(x,)u(x)根据 与 的关系图(图 2)可知,当 充分小时,是接近于原分段退化解 的光滑函数.0.50.40.30.20.100.20.40.60.81.0u (x,),=0.1 (x,),=0.01 (x,),=0.001xu(x)?(x,)u(x)图 2 取不同 值时 与 的关系?(x,)u(x)Fig.2 The relationship between and when takes different values 经计算?(x,)u(x)=O(),x I,O(2),x 0,1I,?(x,)u(x)故可选用 代替 构造上下解.综上所述,系统(18)满足条件 13.系统(18)的上下解和其数值解关系如图 3 所示.0.50.60.40.30.20.10.1000.2 0.30.10.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0u(x,)x数值解下解上解图 3 原系统数值解与上下解Fig.3 The original systems numerical solution and upper and lower solutions u(x,)根据定理 1,系统(18)的解 存在且有渐近表达式u(x,)=u(x)+O(),0 x 1.根据定理 2,有lim0u(x,)=u(x),x 0,1.4 总结针对具有转点的二阶半线性奇摄动 Neumann 边值问题式(1),在一定条件下,通过改进正则化方程,提高了渐近解的精度并证明了解的存在性.精度的提高有助于更准确地解决工程问题.32华东师范大学学报(自然科学版)2023 年 参考文献 LIAN W,BAI Z.A class of fourth order nonlinear boundary value problem with singular perturbation J.Applied MathematicsLetters,2021,115:106965.1 CARDIN P T,TEIXEIRA M A.Geometric 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