数值计算方法教学大纲.doc

附件1 理论课程教学大纲编写模版

《数值计算方法》教学大纲
课程英文名称：Methods of Numerical Computation
课程编号： 学时：72
一、 课程教学对象：全日制本科信息与计算科学专业
二、课程性质、目的和任务：
科学计算技术是计算机应用的一个重要方面，数值计算方法又叫数值分析，主要介绍在计算机上求解数值问题的计算方法的建立、理论及应用。通过教学使学生具备数值分析的基础知识与技能，为以后进一步从事科学计算方面的学习、研究和应用打下基础。要求学生牢固掌握基本概念、基本理论和方法建立的原理，掌握科学与工程计算中常用计算方法的构造及误差分析，讨论方法的稳定性、复杂性等，并将算法设计与计算机的实现紧密相结合，提高在计算机上解题的技巧与能力。本课程主要向学生介绍数值分析的基本方法以及数值分析研究中的一些较新的成果。包含解线性代数方程组的直接法、解线性代数方程组的迭代法、解非线性方程的迭代法、矩阵特征值与特征向量的计算、代数插值、函数逼近、数值积分与数值微分、常微分方程初值问题的数值解法等基本内容。通过教学使学生掌握各种常用数值算法的构造原理和过程分析，提高算法设计和理论分析能力。为能在计算机上解决科学计算问题打好基础。
三、 对先修课的要求
学生在学习本课之前，应先修课程：数学分析，高等代数，常微分方程，数学软件
四、 课程的主要内容、基本要求和学时分配建议（总学时数: 72=62+10）
第1章 绪论及基本概念 2学时
介绍数值分析的研究对象与特点，算法分析与误差分析的主要内容，明确学习和掌握数值分析的基本理论在科学计算中的重要性和必要性。
（一）基本要求
1. 了解数值分析研究的对象及其特点；
2． 了解误差的来源及分类；
3． 掌握误差与有效数字的概念；
4． 掌握数值运算的误差估计方法；
5． 了解算法数值稳定性的概念；
6． 了解避免误差危害的若干原则。
（二）重点
1．有效数字的概念；
2． 绝对误差、相对误差的概念。
（三）难点
有效数字与误差的关系。
第2章 函数插值 8学时
（1）代数插值是函数逼近的重要方法，也是数值积分、数值微分及微分方程数值解法的基础。常用的插值法有适用于非等距节点的拉格朗日插值多项式、牛顿插值多项式，还有适用于等距节点的牛顿前差插值多项式和牛顿后差插值多项式；为了插值多项式能与被插函数较好地吻合，我们讨论了埃尔米特插值多项式，包括其公式的推导和误差分析；（2）鉴于高次插值的不稳定性，在插值点较多情况下，一般采用分段低次插值法，此类方法计算简单且具有良好的稳定性和收敛性，应用较广泛；样条插值函数也是分段插值函数，它可以保证分段插值函数在整个区间上具有连续的二阶导数，因此具有较好的光滑性，收敛性和稳定性；（3）增加函数插值的MATLAB编程及应用。
（一）基本要求
1. 了解插值函数及其相关定义；
2． 掌握Lagrange插值多项式及其函数的性质，了解插值余项与误差估计相关概念；
3． 掌握均差和Newton插值公式；
4． 掌握差分与等距节点插值公式；
5． 了解Hermite插值公式；
6． 了解分段低次插值法；
7. 掌握三次样条插值的定义及其三次样条插值函数的构造方法，了解三次样条插值函数的收敛性与误差估计。
（二）重点
1．Lagrange插值；
2．Newton插值；
3．Hermite插值。
（三）难点
三次样条插值。
第3章 函数逼近与曲线拟合 8学时
（1）函数逼近问题的是对于给定函数，在另一类较简单的函数类中找到一个函数，使与之差在某种度量意义下最小。最常用的度量标准有两种，即一致逼近和平方逼近。（2）曲线拟合的最小二乘法也是函数逼近的常用方法，即对于给定的一组数据，根据最小二乘原则在某一函数类中选择函数，使其拟合所给数据，在工程中具有广泛的应用。（3）增加函数逼近与曲线拟合的MATLAB编程及上机。
（一）基本要求
1. 掌握范数、内积、赋范线性空间和权函数的概念；
2． 掌握勒让德多项式、切比晓夫多项式的概念及其性质；
3． 理解最佳一致逼近多项式的基本概念，掌握最佳一次逼近多项式的求法；
4．理解最佳平方逼近多项式的基本概念，掌握最佳平方逼近多项式的求法；
5．理解最小二乘法、曲线拟合的基本概念，掌握最小二乘拟合多项式的求法。
（二）重点与难点
1．最佳一致逼近多项式的基本概念及其计算方法；
2．最佳平方逼近多项式的基本概念及其计算方法；
3．最小二乘拟合的基本概念及其计算方法。
第4章 数值积分与数值微分 8学时
（1）用插值多项式近似代替被积函数，从而导出积分与微分的近似计算公式是数值积分与数值微分的基本方法。对于数值积分，在等距节点下，可导出牛顿-柯特斯公式，此类公式构造方便，算法简单；在不等距节点下，可导出高斯求积公式，其精度较高，但节点没有规律，构造的技巧性较高。（2）对于数值微分，用插值多项式的导数近似代替原函数的导数是最常用的方法。外推法的基本思想即可用于数值积分，推导出精度较高，稳定性好的龙贝格算法，也可用于数值微分，得到外推算法，精密地求得导数值。（3）增加数值积分与数值微分的MATLAB编程及上机。
（一）基本要求
1. 掌握数值积分的基本思想，理解代数精度的概念；
2．理解插值型求积公式的基本概念，了解求积公式收敛性与稳定性的概念；
3．了解Newton-Cotes求积公式的构造方法；
4． 掌握梯形公式、Simpsen公式及其复化梯形公式、复化Simpsen公式和余项表示公式；
5． 掌握Guass型求积公式的一些基本特点，能利用正交多项式构造二点及三点Guass-Legndre、Guass-Chebyshev求积公式；
6．掌握数值微分的基本思想，会利用插值法构造数值微分公式，掌握二点及三点微分公式；
7. 会利用数值积分来构造数值微分公式。
（二）重点与难点
1．代数精度；
2．梯形公式、Simpsen公式及其复化梯形公式、复化Simpsen公式；
3．Guass型求积公式。
第5章 解线性代数方程组的直接法 6学时
（1）了解研究求解线性代数方程组的数值方法的必要性。算法的分类及直接法的应用范围。高斯消去法是解线性代数方程组的最常用的直接法，也是其它类型直接法的基础。在此方法基础上加以改进，可得选主元的高斯消去法，其数值稳定性更高。（2）矩阵的三角分解法是基于高斯消去法思想的另一种求解线性代数方程组的直接法。当线性代数方程组的系数矩阵为特殊的对称正定阵时，又有平方根法及其改进方法。在实际问题中经常回遇到系数矩阵为三对角阵的情况，求解此类线性代数方程组可用追赶法。（3）增加解线性代数方程组的直接法的MATLAB编程及上机。
（一）基本要求
1. 掌握Gauss消去法和Gauss主元素消去法；
2．熟练运用矩阵三角分解法解线性方程组；
3． 掌握追赶法和平方根法；
4． 理解向量和矩阵范数的定义，掌握基本性质、定理；
5． 了解矩阵的条件数，知道相关基本性质、定理；
6． 知道矩阵的QR分解。
（二）重点
1．Gauss消去法；
2．矩阵三角分解；
3．矩阵的算子范数。
（三）难点
矩阵三角分解，矩阵的算子范数。
第6章 解线性代数方程组的迭代法 8学时
（1）了解算法的分类及迭代法的应用范围及构造迭代法时必须考虑的收敛性和收敛速度问题。雅可比迭代法是最基本的迭代法，在此基础上加以改造即得高斯-塞德尔迭代法。SOR方法是高斯-塞德尔迭代法的加速方法。在SOR方法的迭代过程中改变分量的计算顺序即得SSOR方法。（2）在用同一种方法求解不同的线性代数方程组时，常会产生不同的效果。这涉及到所解线性代数方程组的性态。系数矩阵的条件数是度量线性代数方程组良态或病态的主要指标。迭代法的收敛性分析是研究解线性代数方程组的迭代法时必须考虑的问题。对于上述常用的迭代法，须掌握其收敛的条件。而对一般的迭代法，掌握其收敛性分析的基本方法和主要结果有助于我们进一步探究新的迭代法。（3）增加解线性代数方程组的迭代法的MATLAB编程及上机。
（一）基本要求
1. 理解迭代法的基本概念；
2．掌握Jacob迭代法、Gauss-Sedeil迭代法，知道SOR迭代法；
3．知道矩阵的谱半径的概念和严格对角占优矩阵的定义；
4． 理解迭代法的收敛性，掌握判别Jacob迭代法、Gauss-Sedeil迭代法收敛性的基本方法。
（二）重点
1．Jacob迭代法；
2．Gauss-Sedeil迭代法；
3．收敛性的判别方法。
（三）难点
收敛性的判别方法和收敛速度。
第7章 解非线性方程的迭代法 6学时
（1）了解研究解非线性方程的数值计算方法的必要性和主要研究内容。二分法是求单实根的有效方法。其优点是算法简单，收敛性可以得到保证。但不能用于求复根和偶数重根。迭代法是一种逐步逼近根的方法，它使用某个固定公式反复校正根的近似值，使之达到精度要求。研究迭代法必须考虑收敛性和收敛速度问题及其加速方法。牛顿法是用线性方程代替非线性方程作为其近似方程，用近似方程的根作为原方程根的近似值。牛顿法在单根附近具有局部收敛性，并且至少具有平方收敛速度。但对初始指的选取比较苛刻。此外，牛顿法可用于求重根及多项式方程的复根。弦截法是用差商代替牛顿迭代公式中的导数，分为单点弦截法和双点弦截法。双点弦截法具有超线性收敛速度，但其使用需给出两个初始值。（2）上述迭代法的基本思想也可用于非线性方程组的求解。相应地我们有求解非线性方程组的牛顿法。为了减少计算量，可用某个矩阵近似代替雅可比矩阵，从而引出牛顿法的各种变形算法。（3）增加解非线性代数方程迭代法的MATLAB编程及上机。
（一）基本要求
1. 了解非线性方程的一些基本概念，如：有根区间、代数基本定理、单根、重根、全局收敛、局部收敛、收敛阶；
2． 掌握二分法，了解其误差估计，知道二分法的优缺点；
3． 了解不动点迭代法的基本原理，掌握不动点的存在性与迭代法的收敛性、收敛阶的判定；
4． 熟练掌握Newton迭代法求根公式及其收敛性、收敛阶；掌握求重根的Newton迭代公式；
5． 知道弦截法和抛物线法的计算公式；
6． 了解非线性方程组的Newton迭代公式。
（二）重点
1．二分法；
2．不动点迭代法；
3．Newton迭代法。
（三）难点
各种迭代法收敛性定理的证明、收敛阶的估计。
第8章 矩阵特征值与特征向量的计算 8学时
（1）乘幂法是一种计算实矩阵的按模最大的特征值及其相应的特征向量的方法。其特点是不破坏原始矩阵，直接使用原矩阵进行计算。而反幂法常用于求按模最小的特征值及其相应的特征向量，其有效性依赖于特征值的分布情况。（2）雅可比方法、QR方法都属于变换法，经过正交相似变换，将原矩阵化为易于求特征值的特殊形式。优点是收敛速度快，稳定性好。（3）增加矩阵特征值与特征向量的计算的MATLAB编程及上机。
（一）基本要求
1. 了解Gerschgorin圆盘定理；
2． 掌握幂法与反幂法求解矩阵模最大特征值和最小特征值及相应的特征向量；
3． 掌握带原点位移的幂法与反幂法；
4． 了解计算矩阵特征值的QR方法。
（二）重点
1．Gerschgorin圆盘定理；
2．幂法与反幂法；
3．带原点位移的幂法与反幂法。
（三）难点
计算矩阵特征值的QR方法。
第9章 常微分方程初值问题的数值解 8学时
（1）对于常微分方程初值问题，最常用的龙格-库塔方法，它除了具有较高的精度，还有自动起步和便于调节步长的优点。线性多步法的计算量较少，但一般不能自行启动，需借助单步法提供初值。（2）收敛性和稳定性从两个不同的角度描述了数值方法的可靠性。本章着重讨论了单步法的收敛性和稳定性。鉴于数值稳定性的分析相当复杂，为了讨论简单起见，常用试验方程来检验常微分方程初值问题的数值解法的数值稳定性。（3）增加常微分方程初值问题数值解法的MATLAB编程及上机。
（一）基本要求
1. 熟练掌握欧拉方法及其变形公式，能用这些公式求解微分方程初值问题的数值解；
2．理解龙格-库塔法的基本思想，能用经典龙格-库塔公式求解微分方程初值问题的数值解；
3． 掌握单步法局部截误差及阶的定义，能求局部截误差来确定方法的阶；
4． 了解线性多步法的基本思想；
5． 了解绝对稳定的概念和绝对稳定区间的求法。
（二）重点
1．欧拉方法及其变形公式；
2．龙格-库塔法；
3．单步法局部截误差及阶的定义。
（三）难点
绝对稳定区间的求法。
五、 实验内容和实验要求
1. 基本要求
“数值计算方法”实验课程作为“数值计算方法”课程的必要实践环节，主要目的是让学生在学习了理论教学中关于典型数学问题的数值求解方法后，能够构造求解该类问题数值解的算法，并编程上机实现算法，在上机过程中加强对算法的理解，并应用算法去解决实际问题，另外通过编程练习提高学生的程序设计能力。该实验课程共有5个实验，每次实验都要求学生根据相应的实验要求设计算法、上机用Matlab编程实现算法并撰写实验报告。
2．实践教学安排
序号
实验项目
名称
内容提要
实验
学时
仪器
套数
每套
人数
实验
要求
实验
属性
1
函数的插值与数值逼近
编程求解特定问题的数值解并在计算机上验证、计算机
2
若干
1
必做
基础
2
数值积分
与数值微分
编程求解特定问题的数值解并在计算机上验证、计算机
2
若干
1
必做
基础
3
线性方程组求解的直接方法和迭代方法
编程求解特定问题的数值解并在计算机上验证、计算机
2
若干
1
必做
基础
4
非线性方程Newton迭代与矩阵特征值的幂法、反幂法
编程求解特定问题的数值解并在计算机上验证、计算机
2
若干
1
必做
基础
5
常微分方程初值问题初步
编程求解特定问题的数值解并在计算机上验证、计算机
2
若干
1
必做
基础

六、 教材及参考书
1．理论课教材：李庆扬, 王能超, 易大义. 数值分析[M].北京:清华大学出版社2003.6.
2. 实验课教材：薛毅. 数值分析与实验[M].北京:北京工业大学出版社2005.3.
3．主要参考文献
[1] 韩旭里，《数值计算方法》，复旦大学出版社，2009.5.
[2] 傅凯新, 黄云清, 舒适. 数值计算方法[M].长沙:湖南科学技术出版社2002.6.
[3] 王沫然.MATLAB6.0与科学计算[M].北京:电子工业出版社 2001.9.

本课程建议采用以多媒体教学手段为主，黑板板书为辅的教学形式，充分发挥多媒体教学手段信息量大、板书分析细致等特点
七、 考核方式
期末考试（闭卷）占70%，实验上机占20%，平时作业占10%。

执笔人：王奇生 编写日期：2010.05.15

审核人：_________ 日期：____________
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