2019年上海市静安区高考数学一模试卷.doc

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2019 年上海市静安区高考数学一模试卷
一、填空题
2
1．（ 3 分）函数 y＝log2 （4﹣x
）的定义域是 ．
2．（ 3 分）已知向量 ＝（ 1，2）， ＝（ 3， 5），则向量 的坐标是 ．
2
3．（ 3 分）在二项式（ x﹣）

5

4
的展开式中，含 x

的项的系数是 ．
2 2
﹣7a+3） x+（a﹣9）y+3＝ 0 与 x 轴平行，则 a 的值是 ．
4．（ 3 分）若直线（ 2a
2
5．（ 3 分）若 α， β是一二次方程 2x +x+3＝0 的两根，则 ＝ ．
6．（ 3 分）在数列 { an} 中， a1＝1，且 { an} 是公比为 的等比数列，设 Tn＝a1+a3+a5+⋯ +a2n
﹣
1，则 Tn＝ ．（n∈N* ）
7．（3 分）某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从
下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加 7%作为新一年的月工资收入． 假
设某员工自2004 年一月以来一直在该单位供职， 且同一年内月工资收入相同， 2004 年的
月工资收入为 5000 元，则 2019 年一月该员工的月工资收入为 元．（结果保留两
位小数）
8．（ 3 分）已知 cos（ ）＝ ，则 cos（ ）＝ ．
9．（ 3 分）以两条直线 11：2x+y＝0．l2：x+3y+5＝0 的交点为圆心，并且与直线 x+3 y+15＝0
相切的圆的方程是 ．
10．（3 分）已知球的半径为 24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于
3
圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是 cm
．
2
﹣5tx+1≤ 0} ，若 A∩B＝ A，则实 11．（3 分）集合 A＝{ y|y＝log x﹣x，1≤ x≤ 2} ，B＝{ x|x
数 t 的取值范围是
12．（3 分）若定义在实数集 R 上的奇函数 y＝f（x）的图象关于直线 x＝1 对称，且当0≤ x
≤ 1 时，f（x）＝x ，则方程 f（x）＝ 在区间（﹣4，10）内的所有实根之和为 ．
二、选择题
13．（3 分）电视台在电视剧开播前连续播放 6 个不同的广告，其中 4 个商业广告 2 个公益
广告，现要求2 个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）
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专业资料
A ．A ?A B．C ?C
C．A ?A D．C ?C
14．（3 分）已知椭圆的标准方程为 ＝1（m＞0），焦点在 x 轴上，则其焦距为 （ ）
A ．2 B．2 C．2 D．2
15．（3 分）已知下列 4 个命题：
① 若复数 z1，z2 的模相等，则 z1，z2 是共轭复数
② z1，z2 都是复数，若 z1+z2 是虚数，则 z1 不是 z2 的共轭复数
③ 复数 z是实数的充要条件是 z＝ ．（ 是 z 的共轭复数） ．
④ 已知复数 z1＝﹣1+2i， z2＝1﹣i，z3＝3﹣2i（ i 是虚数单位） ，它们对应的点分别为 A，
B，C， O 为坐标原点，若 ＝x +y （x，y∈R），则 x+ y＝1．
则其中正确命题的个数为（ ）
A ．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
16．（3 分）设表示平面向量， | |，| |都是小于 9 的正整数，且满足（ | |+| |）（| |+3|
|）＝ 105，（ + ）（ +3 ）＝ 33，则 和 的夹角大小为（ ）
A ． B． C． D．
三、解答题
17．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆 BC 的长度．已知车厢的
最大仰角为 60°，油泵顶点 B 与车厢支点 A 之间的距离为 1.95 米， AB 与水平线之间的
夹角为 6°20′，AC 的长为 1.40 米，计算BC 的长（结果保留3 个有效数字， 单位：米）
18．如图， 在四棱锥P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是菱形， PA⊥平面 ABCD ，PA＝AC＝ AB，E、
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F 分别是 CD、PD 的中点．
（1）求证： CD ⊥平面 PAE；
（2）求异面直线AF 与 PE 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） ．
2 2
﹣6a+13．x∈[﹣， ]．
19．设 f（x）＝ sin x+2 acosx+ a
（1）求函数 f（x）的最大值 M；
（2）对（ 1）中的 M，是否存在常数 b（b＞0 且 b≠1），使得当 a＞1 时， y＝logbM 有意
义，且 y 的最大值是﹣？若存在，求出 b 的值；若不存在，说明理由．
2 2 2 2
﹣y ＝m
20．设 m＞0，椭圆Γ： ＝1 与双曲线C：m x

的焦点相同．
（1）求椭圆Γ与双曲线C 的方程；
（2）过双曲线C 的右顶点作两条斜率分别为 k1，k2 的直线l1，l 2，分别交双曲线C 于点
P，Q（ P，Q 不同于右顶点） ，若 k1?k2＝﹣1，求证：直线PQ 的倾斜角为定值，并求出
此定值；
（3）设点 T（0，2），若对于直线l：y＝x+ b，椭圆Γ上总存在不同的两点 A 与 B 关于直
线l 对称，且 9＜4 ＜10，求实数 b 的取值范围．
21．将 n 个数 a1，a2，⋯ ， an 的连乘积a1?a2?⋯ ? an记为 ai，将 n 个数 a1，a2，⋯ ， an
的和 a1+a2+⋯ +an记为 ，n∈N*）
（1）若数列 { xn} 满足x1＝1， xn+1＝x +xn， n∈N*，设 Pn＝ ，Sn＝ ．
求 P5+S5；
（2）用 [ x]表示不超过 x 的最大整数，例如 [2] ＝2，[3.4] ＝3，[﹣1.8]＝﹣2．若数列 {xn}
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满足 x1＝1，xn+1＝x +xn，n∈N* ，求 [ ]的值；
（3）设定义在正整数集N*上的函数 f（n）满足， 当 ＜ n≤ （ m∈N*）时，
f（n）＝ m，问是否存在正整数 n，使得 ＝2019？若存在，求出 n 的值；若不存
在，说明理由（已知＝ ）．
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2019 年上海市静安区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
2
）的定义域是 （﹣ 2，2） ．
1．（3 分）函数 y＝log2 （4﹣x
【考点】 33：函数的定义域及其求法．
【专题】 33：函数思想； 4O：定义法； 51：函数的性质及应用．
【分析】 根据对数函数的性质转化为不等式进行求解即可．
2
【解答】 解：要使函数有意义， 4﹣x ＞0，
2
得 x ＜4，得﹣ 2＜x＜2，
即函数的定义域为（﹣ 2，2），
故答案为：（﹣2，2）
【点评】 本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．比较
基础．
2．（3 分）已知向量 ＝（1，2）， ＝（3，5），则向量 的坐标是 （2，3） ．
【考点】 9J：平面向量的坐标运算．
【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 41：向量法； 5A ：平面向量及应用．
【分析】 根据 即可求出向量 的坐标．
【解答】 解： ．
故答案为：（2，3）．
【点评】 考查向量减法的几何意义，以及向量坐标的减法运算．
2
3．（3 分）在二项式（ x
﹣ ）

5

4
的展开式中，含 x

的项的系数是 10 ．
【考点】 DA ：二项式定理．
【专题】 11：计算题．
【分析】 根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第 r+1 项，整理成最简形
式，令 x 的指数为 4 求得 r，再代入系数求出结果．
【解答】 解：根据所给的二项式写出展开式的通项，
，

4
要求 x

的项的系数
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∴10﹣3r＝4，
∴r＝2，

4
∴x

2
的项的系数是 C5 （﹣1）

2
＝10
故答案为： 10
【点评】 本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，
在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
2 2
﹣7a+3）x+（a ﹣9）y+3＝0 与 x 轴平行，则 a 的值是 ．
4．（3 分）若直线（ 2a
【考点】 I3：直线的斜率； II ：直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】 11：计算题； 38：对应思想； 4O：定义法； 5B ：直线与圆．
2 2
【分析】 直线（ 2a ﹣7a+3）x+（a ﹣9）y+3＝0 与 x 轴平行，则 ，解得
即可．
2 2
【解答】 解：直线（ 2a ﹣7a+3）x+（a ﹣9）y+3＝0 与 x 轴平行，则 ，
解得 a＝ ，
故答案为：
【点评】 本题给出两条直线互相平行，求参数 a 的值．着重考查了两条直线平行的条件
及其应用的知识，属于基础题．
2
5．（3 分）若 α， β是一二次方程 2x +x+3＝0 的两根，则 ＝ ﹣ ．
【考点】 3V ：二次函数的性质与图象．
【专题】 51：函数的性质及应用．
【分析】 由已知结合韦达定理，可得 α+β＝﹣ ，α?β＝ ，进而根据 ＝
代入可得答案．
2
【解答】 解：∵ α， β是一二次方程 2x
+x+3＝0 的两根，
∴α+β＝﹣ ，α?β＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝﹣ ，
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故答案为：﹣
【点评】 本题考查的知识点是根与系数的关系（韦达定理） ，难度不大，属于基础题．
6．（ 3 分）在数列 { an} 中， a1＝1，且 { an} 是公比为 的等比数列，设 Tn＝a1+a3+a5+⋯ +a2n
﹣
1，则Tn＝ ．（ n∈N*）
【考点】 8E：数列的求和； 8J：数列的极限．
【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 49：综合法； 54：等差数列与等比数列； 55：点
列、递归数列与数学归纳法．
【分析】 利用等比数列，求出数列的和，然后求解数列的极限即可．
【解答】 解：数列 { an}中， a1＝1，且 { an} 是公比为 的等比数列，
Tn＝a1+a3+a5+⋯ +a2n﹣1＝ ＝ ．
则 Tn＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】 本题考查数列求和以及数列的极限的求法，考查转化思想以及计算能力．
7．（3 分）某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从
下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加 7%作为新一年的月工资收入． 假
设某员工自2004 年一月以来一直在该单位供职， 且同一年内月工资收入相同， 2004 年的
月工资收入为 5000 元，则2019 年一月该员工的月工资收入为 13795.16 元．（结果保
留两位小数）
【考点】 5C：根据实际问题选择函数类型．
【专题】 11：计算题； 38：对应思想； 4A ：数学模型法； 54：等差数列与等比数列．
【分析】 本题实质为一个等比数列求某一项题，建模，得知 b2004＝5000，q＝0.07，计算
b2019，即可
【解答】 解： b2004＝5000， q＝0.07，

15
∴b2019＝b2004q ＝5000?（0.07）

15
≈ 13795.16，
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故答案为： 13795.16．
【点评】 本题考查了实际问题的在实际生活中的应用，考查了等比数列的应用，属于基
础题
8．（3 分）已知 cos（ ）＝ ，则 cos（ ）＝ ．
【考点】 GS：二倍角的三角函数．
【专题】 35：转化思想； 49：综合法； 56：三角函数的求值．
【分析】利用诱导公式求得 sin（ ﹣ α）＝ ，再利用二倍角的余弦公式求得 co（s ）
的值．
【解答】 解：∵已知 cos（ ）＝ sin（ ﹣ α）＝ ，则 cos（ ）＝1﹣2
＝1﹣2? ＝ ，
故答案为： ．
【点评】 本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
9．（3 分）以两条直线 11：2x+y＝0．l2：x+3y+5＝0 的交点为圆心，并且与直线 x+3 y+15＝0

相切的圆的方程是 （x﹣1）

2 2
＝10 ．
+（y+2）
【考点】 JE：直线和圆的方程的应用．
【专题】 11：计算题； 34：方程思想； 35：转化思想； 5B：直线与圆．
【分析】 根据题意，联立直线的方程分析可得圆心的坐标，又由直线与圆的位置关系可
得 r＝ ＝ ，由圆的标准方程分析可得答案．
【解答】 解：根据题意， ，解可得： ，即圆心的坐标为（ 1，﹣2）；
又由圆与直线 x+3y+15＝0 相切，则 r＝ ＝ ，

2
即要求圆的方程为（ x﹣1）
+（y+2）

2
＝10；

故答案为：（x﹣1）

2
+（y+2）

2
＝10．
【点评】 本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线的交点，属于基础题．
10．（3 分）已知球的半径为 24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于
3
圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是 12288π cm
．
【考点】 L5 ：旋转体（圆柱、圆锥、圆台） ．
【专题】 11：计算题； 5F：空间位置关系与距离； 5Q：立体几何．
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【分析】 设圆锥的底面半径为 r，结合已知可得圆锥的表面积 S＝πr（r+ ）＝4π
2
×24
，求出底面半径，代入圆锥体积公式，可得答案．
【解答】 解：∵球的半径为 24cm，圆锥的高等于这个球的直径，
∴圆锥的高 h＝48cm，
设圆锥的底面半径为 r，则圆锥的母线长为： cm，
2 2
故圆锥的表面积 S＝πr（r+ ）＝ 4π×24
cm ，
解得： r＝16 cm，
3
故圆锥的体积 V＝ ＝12288πcm ，
故答案为： 12288π
【点评】 本题考查的知识点是旋转体，圆锥的几何特征，球的表面积公式，难度中档．
2
﹣5tx+1≤ 0} ，若 A∩B＝ A，则实 11．（3 分）集合 A＝{ y|y＝log x﹣x，1≤ x≤ 2} ，B＝{ x|x
数 t 的取值范围是 t≤ ﹣
【考点】 1E：交集及其运算．
【专题】 11：计算题； 34：方程思想； 35：转化思想； 51：函数的性质及应用； 5J：集
合．
【分析】 根据题意，先分析集合 A， 是减函数，结合 x 的取值范围分析可得
2
﹣5tx +1，则函数 f y 的取值范围，即可得集合 A；又 A∩B＝A，则 A? B，设 f（x）＝ x
（x）与 x 轴有2 个交点，设两个交点的坐标为（ x1，0）、（x2，0），且 x1＜x2；进而可得
x1≤﹣3，x2≥﹣1，结合二次函数的性质可得 ，解可得 t 的取值范
围，即可得答案．
【解答】 解：根据题意，对于集合 A， 是减函数，且 1≤ x≤ 2；
则﹣3≤ y≤﹣1，故 A＝ [﹣3，﹣1]；
又 A∩B＝A，则 A? B，B 不能为空集，
2
设 f（x）＝ x﹣5tx+1，则函数 f（ x）与 x 轴有2 个交点，设两个交点的坐标为（ x1，0）、
（x2，0），且 x1＜x2；
2
则 B＝{ x|x
﹣5tx+1≤ 0} ＝ { x|x1＜x＜ x2} ，
若 A∩B＝A，则有x1≤﹣3，x2≥﹣1，
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则有 ，解可得 t≤ ﹣ ；
故答案为： t≤ ﹣ ．
【点评】 本题考查集合的包含关系的应用，涉及二次函数的性质，注意借助二次函数的
性质分析集合 B，属于基础题．
12．（3 分）若定义在实数集 R 上的奇函数 y＝f（x）的图象关于直线x＝1 对称，且当 0≤ x
≤ 1 时，f（x）＝x ，则方程 f（x）＝ 在区间（﹣ 4，10）内的所有实根之和为 24 ．
【考点】 57：函数与方程的综合运用．
【专题】 31：数形结合； 4R：转化法； 51：函数的性质及应用．
【分析】 根据函数对称性和奇偶性求出函数的周期性， 判断函数在一个周期内方程 f（x）
＝ 根的个数以及对称关系进行求解即可．
【解答】 解：奇函数 y＝f（ x）的图象关于直线x＝1 对称，
即 f（1﹣x）＝ f（1+ x）＝﹣ f（x﹣1），
即 f（x+2）＝﹣ f（x），
则 f（x+4）＝﹣ f（x+2）＝ f（x），
即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，
若﹣ 1≤ x≤ 0，则﹣ 1≤ ﹣ x≤ 0，
则 f（﹣ x）＝（﹣ x） ＝﹣ f（x），
即 f（x）＝﹣（﹣ x） ，
∵当 0≤ x≤ 1 时， f（x）＝ x ，
∴0≤ f（x）≤ 1，
此时 f（x）＝ 在区间（ 0，1）内只有一个根，
则 f（x）在 [﹣1，1]内 f（ x）＝ 只有一个根，
又 f（x）图象关于直线x＝1 对称，
∴在一个周期内 f（ x）＝ 有有两个根，且这两个根关于对称轴对称， （图象为草图只代
表单调性）
∵在（﹣ 4，10）内函数的对称轴为 x＝﹣ 3，x＝1，x＝5，x＝9，
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即方程 f（x）＝ 在区间（﹣ 4，10）内有 8 个根，它们两两关于对称轴对称，
设 8 个根分别为 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，
则 x1+x2＝2× （﹣ 3）＝﹣ 6，x3+x4＝2× 1＝2，x5+x6＝2× 5＝10，x7，x8＝2× 9＝18，
则所以根之和为﹣ 6+2+10+18 ＝24，
故答案为： 24．
【点评】 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数的周期性，利用函数的周
期性和对称，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．
二、选择题
13．（3 分）电视台在电视剧开播前连续播放 6 个不同的广告，其中 4 个商业广告 2 个公益
广告，现要求 2 个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）
A ．A ?A B．C ?C
C．A ?A D．C ?C
【考点】 D9：排列、组合及简单计数问题．
【专题】 35：转化思想； 49：综合法； 5O：排列组合．
【分析】 先把 4 个商业广告排好顺序，再用插空法求得 2 个公益广告不能连续播放的方
法数．
【解答】 解：先把 4 个商业广告排好顺序，共有 种方法，再把 2 个公益广告插入 5 个
空（包括两头）中，
根据分布计数原理，共有 ? 种方法，
故选： A．
【点评】 本题主要考查排列组合的应用，分布计数原理，不相邻问题采用插空法，属于
第 11 页（共 21 页）
中档题．
14．（3 分）已知椭圆的标准方程为 ＝1（m＞0），焦点在 x 轴上，则其焦距为 （ ）
A ．2 B．2 C．2 D．2
【考点】 K4 ：椭圆的性质．
【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 49：综合法； 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】 利用椭圆的焦点坐标所在的 x 轴，推出焦距即可．
【解答】 解：椭圆的标准方程为 ＝1（m＞0），焦点在 x 轴上，
可得 c＝ ，
可得焦距： 2 ．
故选： B．
【点评】 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
15．（3 分）已知下列 4 个命题：
① 若复数 z1，z2 的模相等，则 z1，z2 是共轭复数
② z1，z2 都是复数，若 z1+z2 是虚数，则 z1 不是 z2 的共轭复数
③ 复数 z是实数的充要条件是 z＝ ．（ 是 z 的共轭复数） ．
④ 已知复数 z1＝﹣1+2i， z2＝1﹣i，z3＝3﹣2i（ i 是虚数单位） ，它们对应的点分别为 A，
B，C， O 为坐标原点，若 ＝x +y （x，y∈R），则 x+ y＝1．
则其中正确命题的个数为（ ）
A ．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【考点】 2K ：命题的真假判断与应用．
【专题】 38：对应思想； 48：分析法； 5A ：平面向量及应用； 5N：数系的扩充和复数．
【分析】 由复数的模和共轭复数的概念可判断 ① ；由虚数和共轭复数的概念可判断 ② ；
由复数为实数的条件可判断 ③ ；由复数的几何意义和向量的坐标表示， 解方程可判断 ④ ．
【解答】 解： ① ，若复数 z1，z2 的模相等，比如 z1＝1+3 i，z2＝3﹣i，则 z1，z2 不是共轭
复数，故 ① 错；
② ，z1，z2 都是复数，若 z1+z2 是虚数，则 z1 不是 z2 的共轭复数，反之z1，z2 是共轭复
第 12 页（共 21 页）
数
可得其和为实数，故 ② 对；
③ ，复数 z 是实数的充要条件是 z＝ ．（ 是 z 的共轭复数） ，故 ③ 对；
④ ，已知复数 z1＝﹣1+2i， z2＝ 1﹣i，z3＝3﹣2i （i 是虚数单位） ，
它们对应的点分别为 A，B，C，O 为坐标原点，
若 ＝ x +y （x，y∈R），即有 3＝﹣x+y，﹣2＝2x﹣y，解得 x＝1，y＝4，
则x+y＝5，故 ④ 错．
故选： B．
【点评】 本题考查复数的概念，主要是复数的模和实数、虚数和共轭复数的概念，考查
判断能力和运算能力，属于基础题．
16．（3 分）设表示平面向量， | |，| |都是小于 9 的正整数，且满足（ | |+| |）（| |+3|
|）＝ 105，（ + ）（ +3 ）＝ 33，则和 的夹角大小为（ ）
A ． B． C． D．
【考点】 9S：数量积表示两个向量的夹角．
【专题】 11：计算题；5A ：平面向量及应用．
【分析】 解不定方程 +4| |?| |+3 ＝ 105，由 105＝ 3×5× 7，又因为 | |，| |
都是小于 9 的正整数，则| |＝3， | |＝4，
由数量积表示两个向量的夹角及 （ + ）（? +3 ）＝ 33，得 cosθ＝ ＝﹣又 θ∈[0，
π]，所以 θ＝ ，
【解答】 解：由（ | |+| |）（| |+3| |）＝ 105，得： +4| |?| |+3 ＝105，
由 105＝3×5×7，又因为 | |，| |都是小于 9 的正整数，
则| |＝3，| |＝ 4，
又（ + ）（? +3 ）＝ 33，
所以 +4 ? +3 ＝33，
所以 ? ＝﹣6，
第 13 页（共 21 页）
cosθ＝ ＝﹣
又 θ∈[0， π]
所以 θ＝ ，
故选： C．
【点评】 本题考了不定方程求解及数量积表示两个向量的夹角，属中档题．
三、解答题
17．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度．已知车厢的
最大仰角为60°，油泵顶点 B 与车厢支点 A 之间的距离为1.95 米， AB 与水平线之间的
夹角为6°20′，AC 的长为1.40 米，计算BC 的长（结果保留3 个有效数字， 单位： 米）
【考点】 HR ：余弦定理； HU：解三角形．
【专题】 58：解三角形．
【分析】由题意，△ABC 中，已知△ ABC 两边AB＝1.95m，AC＝1.40m，夹角 A＝66° 20′，
求 BC．
2 2 2 2 2
【解答】 解：由余弦定理，得 BC ＝AB﹣2AB×AC cosA＝1.95﹣2×1.95×
+AC +1.40
1.40 cos66° 20′＝ 3.568，
所以 BC≈ 1.89（m）
答：顶杆BC约长 1.89m．
【点评】 本题考查了利用余弦定理解决实际中的线段长度；关键是将所求抽象为数学问
题解答．
18．如图， 在四棱锥P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是菱形， PA⊥平面 ABCD ，PA＝AC＝ AB，E、
F 分别是 CD、PD 的中点．
（1）求证： CD ⊥平面 PAE；
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（2）求异面直线 AF 与 PE 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） ．
【考点】 LM ：异面直线及其所成的角； LW ：直线与平面垂直．
【专题】 14：证明题； 31：数形结合； 41：向量法； 5F：空间位置关系与距离； 5G：空
间角．
【分析】（1）推导出 CD ⊥PA，CD⊥AE，由此能证明 CD⊥平面 PAE．
（2）以 A 为原点， AB 为 x 轴，AE 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向
量法能求出异面直线 AF 与 PE 所成角的大小．
【解答】 证明：（1）∵在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是菱形， PA⊥平面 ABCD ，
PA＝AC＝AB，
E、F 分别是 CD 、PD 的中点．
∴CD ⊥PA，CD ⊥AE，
∵PA∩AE＝A，∴CD⊥平面 PAE．
解：（2）以 A 为原点， AB 为 x 轴， AE 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
设 PA＝AC＝AB＝2，
则 A（0，0，0），D（﹣1， ，0），P（0，0，2），F（﹣ ， ，1），E（0， ），
＝（﹣ ，1）， ＝（0， ），
设异面直线 AF 与 PE 所成角的大小为 θ，
则 cosθ＝ ＝ ＝ ．
∴异面直线 AF 与 PE 所成角的大小为 arccos ．
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【点评】 本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线
线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
2 2
﹣6a+13．x∈[﹣ ， ]．
19．设f（x）＝ sin x+2 acosx+ a
（1）求函数 f（x）的最大值 M；
（2）对（ 1）中的 M，是否存在常数 b（b＞0 且 b≠1），使得当 a＞1 时， y＝logbM 有意
义，且 y 的最大值是﹣ ？若存在，求出 b 的值；若不存在，说明理由．
【考点】 HW ：三角函数的最值．
【专题】 11：计算题； 33：函数思想； 4R：转化法； 51：函数的性质及应用．

【分析】（1）设cosx＝t，则 0≤ t≤ 1，可得 f（t）＝﹣（ t﹣a）

2 2
﹣6a+14，0≤ t≤ 1，
+2a
分段讨论，即可求出，
2 2
（2）当 a＞1 时， M＝a ﹣4a+13＝（ a﹣2）
+9≥ 9 恒成立，则可得 logb9＝﹣ ，解得
即可．
2 2 2 2
【解答】解：（1）（f x）＝sin ﹣6a+13＝﹣ cos ﹣6a+14，x∈[ ﹣ ，
x+2 acosx+a x+2 acosx+a
]，
设cosx＝t，则 0≤ t≤ 1，
2 2 2 2
∴f（t）＝﹣ t ﹣6a+14＝﹣（ t﹣ a） ﹣6a+14，0≤ t≤ 1，
+2at+a +2a
2
当 a＜0 时， f（ t）max＝ f（0）＝ a ﹣6a+14，
2
当 0≤ a≤ 1 时， f（t）max＝f（a）＝ 2a ﹣6a+14
2
当 a＞1 时吗， f（t）max＝f（1）＝ a ﹣4a+13，
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故 M＝ ；

2
（2）当 a＞1 时， M＝a﹣4a+13＝（ a﹣2）

2
+9≥ 9 恒成立，
∵当 a＞1 时， y＝logbM 有意义，且y 的最大值是﹣ ，
∴0＜b＜1，
∴logb9＝﹣，
∴b ＝9，
∴b＝
【点评】 本题考查了三角函数的化简以及性质和二次函数的性质，以及对数的意义，属
于中档题
2 2 2 2
﹣y ＝m
20．设 m＞0，椭圆Γ： ＝1 与双曲线 C：m x

的焦点相同．
（1）求椭圆Γ与双曲线 C 的方程；
（2）过双曲线 C 的右顶点作两条斜率分别为 k1，k2 的直线 l1，l 2，分别交双曲线 C 于点
P，Q（ P，Q 不同于右顶点） ，若 k1?k2＝﹣1，求证：直线 PQ 的倾斜角为定值，并求出
此定值；
（3）设点 T（0，2），若对于直线 l：y＝x+ b，椭圆Γ上总存在不同的两点 A 与 B 关于直
线 l 对称，且9＜4 ＜10，求实数 b 的取值范围．
【考点】 KL ：直线与椭圆的综合．
【专题】 15：综合题； 38：对应思想； 4R：转化法； 5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．

2 2 2 2
【分析】（1）根据椭圆Γ： ＝1 与双曲线 C：m﹣y ＝m
x

的焦点相同，即可求
出 m 的值，
（2）设 l1，l2 的方程分别为 y＝k1（x﹣1），y＝k2（ x﹣1），分别联立方程组，
，即可求出点 P，Q 的坐标，根据斜率公式计算即可，
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（3）由题意设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 AB 方程为： y＝﹣x+t．联立消 y 整理可得：
2 2
﹣6tx+3t ﹣3＝0，由△＞ 0 解得 t 的范围．再由根与系数的关系结合中点坐标公式求 4x
得直线 AB 之中点坐标，代入直线 AB，再由点 P 在直线 l 上求得 b 和 t 的关系，再根据
向量的数量积公式求出 t 的范围，即可即可求得 b 的取值范围．
2 2 2 2
【解答】 解：（1）∵椭圆Γ： ＝1 与双曲线 C：m ﹣y ＝m
x

2
即 x ﹣ ＝1 的
焦点相同，
2
∴3m﹣m＝1+m ，且 m＞0，
解得 m＝1，
2 2 2
∴椭圆Γ的方程为 +y ＝1，双曲线 C 的方程为 x ﹣y ＝1，
证明：（2）由（ 1）可知，双曲线的右顶点为（ 1，0），
设 l1，l2 的方程分别为 y＝k1（x﹣1），y＝k2（x﹣1），
分别联立方程组 ， ，
解得 ， ，
即 P（ ， ），Q（ ， ），
∵k1?k2＝﹣1，
∴kPQ＝ ＝ ＝
0，
∴直线 PQ 的倾斜角为 0° ，
故直线 PQ 的倾斜角为定值，为 0° ，
（3）设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 AB 方程为： y＝﹣x+ t，
2 2 2 2
由 ，消 y 整理可得： 4x ﹣6tx+3t ﹣3＝0，消 x 整理可得 4y ﹣2ty+t ﹣3＝0，
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由△＝（﹣6t）

2 2 2
﹣16（3t﹣3）＝ 4﹣t ＞0，解得﹣2＜t＜2．
2 2
∴x1+x2＝ ， x1x2＝ （t﹣1），y1+y2＝ ，y1y2＝ （t
﹣3），
设直线 AB 之中点为P（x0，y0），则x0＝ （x1+x2）＝
由点 P 在直线 AB 上得： y0＝﹣x0+b＝ ，
又点 P 在直线 l 上，∴ ＝ +b，则b＝﹣t．
又∵ ＝（ x1，y1﹣2）， ＝（ x2，y2﹣2），
2 2
∴ ? ＝ x1x2+y1y2﹣2（y1+y2） +4＝ （t
﹣1）+ （t﹣3）﹣t+4，
2
∴4 ? ＝4t﹣4t+10，
∵9＜4 ＜10，
2
∴9＜4t﹣4t+10＜10，
2
∴（ 2t﹣1） ＞0，t（ t﹣1）＜ 0
解得 0＜t＜1，且 t≠
∴b＝﹣t∈（﹣，﹣）∪（﹣，0）．
【点评】本题考查椭圆双曲线的简单性质，考查直线与双曲线椭圆位置关系的应用，训
练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．
21．将 n 个数 a1，a2，⋯ ， an 的连乘积a1?a2?⋯ ? an记为 ai，将 n 个数 a1，a2，⋯ ， an
的和 a1+a2+⋯ +an记为 ，n∈N*）
（1）若数列 { xn} 满足 x1＝1， xn+1＝x +xn， n∈N*，设 Pn＝ ，Sn＝ ．
求 P5+S5；
（2）用 [ x]表示不超过x 的最大整数，例如 [2] ＝2，[3.4] ＝3，[﹣1.8]＝﹣2．若数列 {xn}
满足 x1＝1，xn+1＝x +xn，n∈N* ，求 [ ]的值；
（3）设定义在正整数集N*上的函数 f（n）满足， 当 ＜ n≤ （ m∈N*）时，
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f（n）＝ m，问是否存在正整数 n，使得 ＝2019？若存在，求出 n 的值；若不存
在，说明理由（已知＝ ）．
【考点】 8E：数列的求和．
【专题】 35：转化思想； 48：分析法； 55：点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】（ 1）由题意可得 ＝ ， ＝ ＝ ﹣ ，即有
＝ ﹣ ，由累乘法和裂项相消求和即可得到所求和；
（2）由 ＝1﹣ ＝1﹣（ ﹣ ），运用裂项相消求和和 [x] 表示的含义，
即可得到所求值；
（3）求得 f（n）的解析式，结合自然数的平方和公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：（1）数列 { xn} 满足x1＝1，xn+1＝x +xn，n∈N* ，设Pn＝ ，Sn＝ ，
可得 xn+1＝x +xn＝xn（ 1+xn），
即有 ＝ ，
＝ ＝ ﹣ ，
即有 ＝ ﹣ ，
可得 P5+S5＝ ? ⋯ + ﹣ + ﹣ +⋯ + ﹣ ＝ + ﹣
＝ +1﹣ ＝1；
（2）x1＝1，xn+1＝x +xn，n∈N*，可得 ＝1﹣ ＝1﹣（ ﹣ ），
可得 ＝2009﹣（ ﹣ + ﹣ +⋯ + ﹣ ）
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＝2019﹣1+ ＝2018+ ，
由 x1＝1，xn+1＝x +xn＞1，可得 ∈（0，1），
即有 [ ]＝2018；
（3）设定义在正整数集N*上的函数 f（n）满足，
当 ＜n≤ （ m∈N*）时， f（n）＝ m，
当 m＝1 时， 0＜n≤ 1，可得 f（ 1）＝ 1；
当 m＝2 时， 1＜n≤ 3 时， f（2）＝ f（3）＝ 2；
当 m＝3 时， 3＜n≤ 6 时， f（4）＝ f（5）＝ f（6）＝ 3，
⋯ ， m＝k 时，可得 f（n）＝ k（k 个 k），
可得 ＝1+（2+2）+（3+3+3）+（4+4+4+4 ）+⋯ +（k+ k+⋯ +k） +⋯
2 2 2 2
＝1+2
+3 +4 +⋯ +k +⋯ ，
2 2 2 2 2
由 1 ＝ ＝2109，
+2 +3 +4 +⋯ +18
由 2109﹣90＝2019，90÷18＝5，
可得当 n＝ ×18×（ 18+1）﹣5＝166 时，满足 ＝2019．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和和公式法
求和，考查运算能力和推理能力，属于难题．
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