2019年上海市静安区高考数学一模试卷.doc

WORD文档2019 年上海市静安区高考数学一模试卷一、填空题21（ 3 分）函数 ylog2 （4x）的定义域是 2（ 3 分）已知向量 （ 1，2）， （ 3， 5），则向量 的坐标是 23（ 3 分）在二项式（ x）54的展开式中，含 x的项的系数是 2 2 7a+3） x+（a9）y+3 0 与 x 轴平行，则 a 的值是 4（ 3 分）若直线（ 2a25（ 3 分）若 ， 是一二次方程 2x +x+30 的两根，则 6（ 3 分）在数列 an 中， a11，且 an 是公比为 的等比数列，设 Tna1+a3+a5+ +a2n1，则 Tn （nN* ）7（3 分）某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加 7%作为新一年的月工资收入 假设某员工自2004 年一月以来一直在该单位供职， 且同一年内月工资收入相同， 2004 年的月工资收入为 5000 元，则 2019 年一月该员工的月工资收入为 元（结果保留两位小数）8（ 3 分）已知 cos（ ） ，则 cos（ ） 9（ 3 分）以两条直线 11：2x+y0l2：x+3y+50 的交点为圆心，并且与直线 x+3 y+150相切的圆的方程是 10（3 分）已知球的半径为 24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于3圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是 cm25tx+1 0 ，若 AB A，则实 11（3 分）集合 A y|ylog xx，1 x 2 ，B x|x数 t 的取值范围是12（3 分）若定义在实数集 R 上的奇函数 yf（x）的图象关于直线 x1 对称，且当0 x 1 时，f（x）x ，则方程 f（x） 在区间（4，10）内的所有实根之和为 二、选择题13（3 分）电视台在电视剧开播前连续播放 6 个不同的广告，其中 4 个商业广告 2 个公益广告，现要求2 个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）第 1 页（共21 页）专业资料A A ?A BC ?CCA ?A DC ?C14（3 分）已知椭圆的标准方程为 1（m0），焦点在 x 轴上，则其焦距为 （ ）A 2 B2 C2 D215（3 分）已知下列 4 个命题： 若复数 z1，z2 的模相等，则 z1，z2 是共轭复数 z1，z2 都是复数，若 z1+z2 是虚数，则 z1 不是 z2 的共轭复数 复数 z是实数的充要条件是 z （ 是 z 的共轭复数） 已知复数 z11+2i， z21i，z332i（ i 是虚数单位） ，它们对应的点分别为 A，B，C， O 为坐标原点，若 x +y （x，yR），则 x+ y1则其中正确命题的个数为（ ）A 1 个 B2 个 C3 个 D4 个16（3 分）设表示平面向量， | |，| |都是小于 9 的正整数，且满足（ | |+| |）（| |+3|） 105，（ + ）（ +3 ） 33，则 和 的夹角大小为（ ）A B C D三、解答题17如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆 BC 的长度已知车厢的最大仰角为 60，油泵顶点 B 与车厢支点 A 之间的距离为 1.95 米， AB 与水平线之间的夹角为 620，AC 的长为 1.40 米，计算BC 的长（结果保留3 个有效数字， 单位：米）18如图， 在四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 是菱形， PA平面 ABCD ，PAAC AB，E、第 2 页（共 21 页）F 分别是 CD、PD 的中点（1）求证： CD 平面 PAE；（2）求异面直线AF 与 PE 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 2 2 6a+13x， 19设 f（x） sin x+2 acosx+ a（1）求函数 f（x）的最大值 M；（2）对（ 1）中的 M，是否存在常数 b（b0 且 b1），使得当 a1 时， ylogbM 有意义，且 y 的最大值是？若存在，求出 b 的值；若不存在，说明理由2 2 2 2y m20设 m0，椭圆： 1 与双曲线C：m x的焦点相同（1）求椭圆与双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 的右顶点作两条斜率分别为 k1，k2 的直线l1，l 2，分别交双曲线C 于点P，Q（ P，Q 不同于右顶点） ，若 k1?k21，求证：直线PQ 的倾斜角为定值，并求出此定值；（3）设点 T（0，2），若对于直线l：yx+ b，椭圆上总存在不同的两点 A 与 B 关于直线l 对称，且 94 10，求实数 b 的取值范围21将 n 个数 a1，a2， ， an 的连乘积a1?a2? ? an记为 ai，将 n 个数 a1，a2， ， an的和 a1+a2+ +an记为 ，nN*）（1）若数列 xn 满足x11， xn+1x +xn， nN*，设 Pn ，Sn 求 P5+S5；（2）用 x表示不超过 x 的最大整数，例如 2 2，3.4 3，1.82若数列 xn第 3 页（共21 页）满足 x11，xn+1x +xn，nN* ，求 的值；（3）设定义在正整数集N*上的函数 f（n）满足， 当 n （ mN*）时，f（n） m，问是否存在正整数 n，使得 2019？若存在，求出 n 的值；若不存在，说明理由（已知 ）第 4 页（共21 页）2019 年上海市静安区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题2 ）的定义域是 （ 2，2） 1（3 分）函数 ylog2 （4x【考点】 33：函数的定义域及其求法【专题】 33：函数思想； 4O：定义法； 51：函数的性质及应用【分析】 根据对数函数的性质转化为不等式进行求解即可2【解答】 解：要使函数有意义， 4x 0，2得 x 4，得 2x2，即函数的定义域为（ 2，2），故答案为：（2，2）【点评】 本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件比较基础2（3 分）已知向量 （1，2）， （3，5），则向量 的坐标是 （2，3） 【考点】 9J：平面向量的坐标运算【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 41：向量法； 5A ：平面向量及应用【分析】 根据 即可求出向量 的坐标【解答】 解： 故答案为：（2，3）【点评】 考查向量减法的几何意义，以及向量坐标的减法运算23（3 分）在二项式（ x ）54的展开式中，含 x的项的系数是 10 【考点】 DA ：二项式定理【专题】 11：计算题【分析】 根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第 r+1 项，整理成最简形式，令 x 的指数为 4 求得 r，再代入系数求出结果【解答】 解：根据所给的二项式写出展开式的通项，4要求 x的项的系数第 5 页（共 21 页）103r4，r2，4x2的项的系数是 C5 （1）210故答案为： 10【点评】 本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具2 2 7a+3）x+（a 9）y+30 与 x 轴平行，则 a 的值是 4（3 分）若直线（ 2a【考点】 I3：直线的斜率； II ：直线的一般式方程与直线的平行关系【专题】 11：计算题； 38：对应思想； 4O：定义法； 5B ：直线与圆2 2【分析】 直线（ 2a 7a+3）x+（a 9）y+30 与 x 轴平行，则 ，解得即可2 2【解答】 解：直线（ 2a 7a+3）x+（a 9）y+30 与 x 轴平行，则 ，解得 a ，故答案为：【点评】 本题给出两条直线互相平行，求参数 a 的值着重考查了两条直线平行的条件及其应用的知识，属于基础题25（3 分）若 ， 是一二次方程 2x +x+30 的两根，则 【考点】 3V ：二次函数的性质与图象【专题】 51：函数的性质及应用【分析】 由已知结合韦达定理，可得 + ，? ，进而根据 代入可得答案2【解答】 解： ， 是一二次方程 2x +x+30 的两根，+ ，? ， ，第 6 页（共 21 页）故答案为：【点评】 本题考查的知识点是根与系数的关系（韦达定理） ，难度不大，属于基础题6（ 3 分）在数列 an 中， a11，且 an 是公比为 的等比数列，设 Tna1+a3+a5+ +a2n1，则Tn （ nN*）【考点】 8E：数列的求和； 8J：数列的极限【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 49：综合法； 54：等差数列与等比数列； 55：点列、递归数列与数学归纳法【分析】 利用等比数列，求出数列的和，然后求解数列的极限即可【解答】 解：数列 an中， a11，且 an 是公比为 的等比数列，Tna1+a3+a5+ +a2n1 则 Tn 故答案为： 【点评】 本题考查数列求和以及数列的极限的求法，考查转化思想以及计算能力7（3 分）某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加 7%作为新一年的月工资收入 假设某员工自2004 年一月以来一直在该单位供职， 且同一年内月工资收入相同， 2004 年的月工资收入为 5000 元，则2019 年一月该员工的月工资收入为 13795.16 元（结果保留两位小数）【考点】 5C：根据实际问题选择函数类型【专题】 11：计算题； 38：对应思想； 4A ：数学模型法； 54：等差数列与等比数列【分析】 本题实质为一个等比数列求某一项题，建模，得知 b20045000，q0.07，计算b2019，即可【解答】 解： b20045000， q0.07，15b2019b2004q 5000?（0.07）15 13795.16，第 7 页（共21 页）故答案为： 13795.16【点评】 本题考查了实际问题的在实际生活中的应用，考查了等比数列的应用，属于基础题8（3 分）已知 cos（ ） ，则 cos（ ） 【考点】 GS：二倍角的三角函数【专题】 35：转化思想； 49：综合法； 56：三角函数的求值【分析】利用诱导公式求得 sin（ ） ，再利用二倍角的余弦公式求得 co（s ）的值【解答】 解：已知 cos（ ） sin（ ） ，则 cos（ ）1212? ，故答案为： 【点评】 本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题9（3 分）以两条直线 11：2x+y0l2：x+3y+50 的交点为圆心，并且与直线 x+3 y+150相切的圆的方程是 （x1）2 210 +（y+2）【考点】 JE：直线和圆的方程的应用【专题】 11：计算题； 34：方程思想； 35：转化思想； 5B：直线与圆【分析】 根据题意，联立直线的方程分析可得圆心的坐标，又由直线与圆的位置关系可得 r ，由圆的标准方程分析可得答案【解答】 解：根据题意， ，解可得： ，即圆心的坐标为（ 1，2）；又由圆与直线 x+3y+150 相切，则 r ，2即要求圆的方程为（ x1）+（y+2）210；故答案为：（x1）2+（y+2）210【点评】 本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线的交点，属于基础题10（3 分）已知球的半径为 24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于3圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是 12288 cm【考点】 L5 ：旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【专题】 11：计算题； 5F：空间位置关系与距离； 5Q：立体几何第 8 页（共 21 页）【分析】 设圆锥的底面半径为 r，结合已知可得圆锥的表面积 Sr（r+ ）4224，求出底面半径，代入圆锥体积公式，可得答案【解答】 解：球的半径为 24cm，圆锥的高等于这个球的直径，圆锥的高 h48cm，设圆锥的底面半径为 r，则圆锥的母线长为： cm，2 2故圆锥的表面积 Sr（r+ ） 424cm ，解得： r16 cm，3故圆锥的体积 V 12288cm ，故答案为： 12288【点评】 本题考查的知识点是旋转体，圆锥的几何特征，球的表面积公式，难度中档25tx+1 0 ，若 AB A，则实 11（3 分）集合 A y|ylog xx，1 x 2 ，B x|x数 t 的取值范围是 t 【考点】 1E：交集及其运算【专题】 11：计算题； 34：方程思想； 35：转化思想； 51：函数的性质及应用； 5J：集合【分析】 根据题意，先分析集合 A， 是减函数，结合 x 的取值范围分析可得25tx +1，则函数 f y 的取值范围，即可得集合 A；又 ABA，则 A? B，设 f（x） x（x）与 x 轴有2 个交点，设两个交点的坐标为（ x1，0）、（x2，0），且 x1x2；进而可得x13，x21，结合二次函数的性质可得 ，解可得 t 的取值范围，即可得答案【解答】 解：根据题意，对于集合 A， 是减函数，且 1 x 2；则3 y1，故 A 3，1；又 ABA，则 A? B，B 不能为空集，2设 f（x） x5tx+1，则函数 f（ x）与 x 轴有2 个交点，设两个交点的坐标为（ x1，0）、（x2，0），且 x1x2；2则 B x|x5tx+1 0 x|x1x x2 ，若 ABA，则有x13，x21，第 9 页（共21 页）则有 ，解可得 t ；故答案为： t 【点评】 本题考查集合的包含关系的应用，涉及二次函数的性质，注意借助二次函数的性质分析集合 B，属于基础题12（3 分）若定义在实数集 R 上的奇函数 yf（x）的图象关于直线x1 对称，且当 0 x 1 时，f（x）x ，则方程 f（x） 在区间（ 4，10）内的所有实根之和为 24 【考点】 57：函数与方程的综合运用【专题】 31：数形结合； 4R：转化法； 51：函数的性质及应用【分析】 根据函数对称性和奇偶性求出函数的周期性， 判断函数在一个周期内方程 f（x） 根的个数以及对称关系进行求解即可【解答】 解：奇函数 yf（ x）的图象关于直线x1 对称，即 f（1x） f（1+ x） f（x1），即 f（x+2） f（x），则 f（x+4） f（x+2） f（x），即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，若 1 x 0，则 1 x 0，则 f（ x）（ x） f（x），即 f（x）（ x） ，当 0 x 1 时， f（x） x ，0 f（x） 1，此时 f（x） 在区间（ 0，1）内只有一个根，则 f（x）在 1，1内 f（ x） 只有一个根，又 f（x）图象关于直线x1 对称，在一个周期内 f（ x） 有有两个根，且这两个根关于对称轴对称， （图象为草图只代表单调性）在（ 4，10）内函数的对称轴为 x 3，x1，x5，x9，第 10 页（共21 页）即方程 f（x） 在区间（ 4，10）内有 8 个根，它们两两关于对称轴对称，设 8 个根分别为 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，则 x1+x22 （ 3） 6，x3+x42 12，x5+x62 510，x7，x82 918，则所以根之和为 6+2+10+18 24，故答案为： 24【点评】 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数的周期性，利用函数的周期性和对称，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度二、选择题13（3 分）电视台在电视剧开播前连续播放 6 个不同的广告，其中 4 个商业广告 2 个公益广告，现要求 2 个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）A A ?A BC ?CCA ?A DC ?C【考点】 D9：排列、组合及简单计数问题【专题】 35：转化思想； 49：综合法； 5O：排列组合【分析】 先把 4 个商业广告排好顺序，再用插空法求得 2 个公益广告不能连续播放的方法数【解答】 解：先把 4 个商业广告排好顺序，共有 种方法，再把 2 个公益广告插入 5 个空（包括两头）中，根据分布计数原理，共有 ? 种方法，故选： A【点评】 本题主要考查排列组合的应用，分布计数原理，不相邻问题采用插空法，属于第 11 页（共 21 页）中档题14（3 分）已知椭圆的标准方程为 1（m0），焦点在 x 轴上，则其焦距为 （ ）A 2 B2 C2 D2【考点】 K4 ：椭圆的性质【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 49：综合法； 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】 利用椭圆的焦点坐标所在的 x 轴，推出焦距即可【解答】 解：椭圆的标准方程为 1（m0），焦点在 x 轴上，可得 c ，可得焦距： 2 故选： B【点评】 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力15（3 分）已知下列 4 个命题： 若复数 z1，z2 的模相等，则 z1，z2 是共轭复数 z1，z2 都是复数，若 z1+z2 是虚数，则 z1 不是 z2 的共轭复数 复数 z是实数的充要条件是 z （ 是 z 的共轭复数） 已知复数 z11+2i， z21i，z332i（ i 是虚数单位） ，它们对应的点分别为 A，B，C， O 为坐标原点，若 x +y （x，yR），则 x+ y1则其中正确命题的个数为（ ）A 1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点】 2K ：命题的真假判断与应用【专题】 38：对应思想； 48：分析法； 5A ：平面向量及应用； 5N：数系的扩充和复数【分析】 由复数的模和共轭复数的概念可判断 ；由虚数和共轭复数的概念可判断 ；由复数为实数的条件可判断 ；由复数的几何意义和向量的坐标表示， 解方程可判断 【解答】 解： ，若复数 z1，z2 的模相等，比如 z11+3 i，z23i，则 z1，z2 不是共轭复数，故 错； ，z1，z2 都是复数，若 z1+z2 是虚数，则 z1 不是 z2 的共轭复数，反之z1，z2 是共轭复第 12 页（共 21 页）数可得其和为实数，故 对； ，复数 z 是实数的充要条件是 z （ 是 z 的共轭复数） ，故 对； ，已知复数 z11+2i， z2 1i，z332i （i 是虚数单位） ，它们对应的点分别为 A，B，C，O 为坐标原点，若 x +y （x，yR），即有 3x+y，22xy，解得 x1，y4，则x+y5，故 错故选： B【点评】 本题考查复数的概念，主要是复数的模和实数、虚数和共轭复数的概念，考查判断能力和运算能力，属于基础题16（3 分）设表示平面向量， | |，| |都是小于 9 的正整数，且满足（ | |+| |）（| |+3|） 105，（ + ）（ +3 ） 33，则和 的夹角大小为（ ）A B C D【考点】 9S：数量积表示两个向量的夹角【专题】 11：计算题；5A ：平面向量及应用【分析】 解不定方程 +4| |?| |+3 105，由 105 35 7，又因为 | |，| |都是小于 9 的正整数，则| |3， | |4，由数量积表示两个向量的夹角及 （ + ）（? +3 ） 33，得 cos 又 0，所以 ，【解答】 解：由（ | |+| |）（| |+3| |） 105，得： +4| |?| |+3 105，由 105357，又因为 | |，| |都是小于 9 的正整数，则| |3，| | 4，又（ + ）（? +3 ） 33，所以 +4 ? +3 33，所以 ? 6，第 13 页（共 21 页）cos 又 0， 所以 ，故选： C【点评】 本题考了不定方程求解及数量积表示两个向量的夹角，属中档题三、解答题17如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度已知车厢的最大仰角为60，油泵顶点 B 与车厢支点 A 之间的距离为1.95 米， AB 与水平线之间的夹角为620，AC 的长为1.40 米，计算BC 的长（结果保留3 个有效数字， 单位： 米）【考点】 HR ：余弦定理； HU：解三角形【专题】 58：解三角形【分析】由题意，ABC 中，已知 ABC 两边AB1.95m，AC1.40m，夹角 A66 20，求 BC2 2 2 2 2【解答】 解：由余弦定理，得 BC AB2ABAC cosA1.9521.95+AC +1.401.40 cos66 20 3.568，所以 BC 1.89（m）答：顶杆BC约长 1.89m【点评】 本题考查了利用余弦定理解决实际中的线段长度；关键是将所求抽象为数学问题解答18如图， 在四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 是菱形， PA平面 ABCD ，PAAC AB，E、F 分别是 CD、PD 的中点（1）求证： CD 平面 PAE；第 14 页（共21 页）（2）求异面直线 AF 与 PE 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 【考点】 LM ：异面直线及其所成的角； LW ：直线与平面垂直【专题】 14：证明题； 31：数形结合； 41：向量法； 5F：空间位置关系与距离； 5G：空间角【分析】（1）推导出 CD PA，CDAE，由此能证明 CD平面 PAE（2）以 A 为原点， AB 为 x 轴，AE 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 AF 与 PE 所成角的大小【解答】 证明：（1）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形， PA平面 ABCD ，PAACAB，E、F 分别是 CD 、PD 的中点CD PA，CD AE，PAAEA，CD平面 PAE解：（2）以 A 为原点， AB 为 x 轴， AE 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 PAACAB2，则 A（0，0，0），D（1， ，0），P（0，0，2），F（ ， ，1），E（0， ），（ ，1）， （0， ），设异面直线 AF 与 PE 所成角的大小为 ，则 cos 异面直线 AF 与 PE 所成角的大小为 arccos 第 15 页（共 21 页）【点评】 本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题2 2 6a+13x ， 19设f（x） sin x+2 acosx+ a（1）求函数 f（x）的最大值 M；（2）对（ 1）中的 M，是否存在常数 b（b0 且 b1），使得当 a1 时， ylogbM 有意义，且 y 的最大值是 ？若存在，求出 b 的值；若不存在，说明理由【考点】 HW ：三角函数的最值【专题】 11：计算题； 33：函数思想； 4R：转化法； 51：函数的性质及应用【分析】（1）设cosxt，则 0 t 1，可得 f（t）（ ta）2 26a+14，0 t 1，+2a分段讨论，即可求出，2 2（2）当 a1 时， Ma 4a+13（ a2） +9 9 恒成立，则可得 logb9 ，解得即可2 2 2 2【解答】解：（1）（f x）sin 6a+13 cos 6a+14，x ，x+2 acosx+a x+2 acosx+a，设cosxt，则 0 t 1，2 2 2 2f（t） t 6a+14（ t a） 6a+14，0 t 1，+2at+a +2a2当 a0 时， f（ t）max f（0） a 6a+14，2当 0 a 1 时， f（t）maxf（a） 2a 6a+142当 a1 时吗， f（t）maxf（1） a 4a+13，第 16 页（共21 页）故 M ；2（2）当 a1 时， Ma4a+13（ a2）2+9 9 恒成立，当 a1 时， ylogbM 有意义，且y 的最大值是 ，0b1，logb9，b 9，b【点评】 本题考查了三角函数的化简以及性质和二次函数的性质，以及对数的意义，属于中档题2 2 2 2y m20设 m0，椭圆： 1 与双曲线 C：m x的焦点相同（1）求椭圆与双曲线 C 的方程；（2）过双曲线 C 的右顶点作两条斜率分别为 k1，k2 的直线 l1，l 2，分别交双曲线 C 于点P，Q（ P，Q 不同于右顶点） ，若 k1?k21，求证：直线 PQ 的倾斜角为定值，并求出此定值；（3）设点 T（0，2），若对于直线 l：yx+ b，椭圆上总存在不同的两点 A 与 B 关于直线 l 对称，且94 10，求实数 b 的取值范围【考点】 KL ：直线与椭圆的综合【专题】 15：综合题； 38：对应思想； 4R：转化法； 5E：圆锥曲线中的最值与范围问题2 2 2 2【分析】（1）根据椭圆： 1 与双曲线 C：my mx的焦点相同，即可求出 m 的值，（2）设 l1，l2 的方程分别为 yk1（x1），yk2（ x1），分别联立方程组，即可求出点 P，Q 的坐标，根据斜率公式计算即可，第 17 页（共21 页）（3）由题意设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 AB 方程为： yx+t联立消 y 整理可得：2 26tx+3t 30，由 0 解得 t 的范围再由根与系数的关系结合中点坐标公式求 4x得直线 AB 之中点坐标，代入直线 AB，再由点 P 在直线 l 上求得 b 和 t 的关系，再根据向量的数量积公式求出 t 的范围，即可即可求得 b 的取值范围2 2 2 2【解答】 解：（1）椭圆： 1 与双曲线 C：m y mx2即 x 1 的焦点相同，23mm1+m ，且 m0，解得 m1，2 2 2椭圆的方程为 +y 1，双曲线 C 的方程为 x y 1，证明：（2）由（ 1）可知，双曲线的右顶点为（ 1，0），设 l1，l2 的方程分别为 yk1（x1），yk2（x1），分别联立方程组 ， ，解得 ， ，即 P（ ， ），Q（ ， ），k1?k21，kPQ 0，直线 PQ 的倾斜角为 0 ，故直线 PQ 的倾斜角为定值，为 0 ，（3）设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 AB 方程为： yx+ t，2 2 2 2由 ，消 y 整理可得： 4x 6tx+3t 30，消 x 整理可得 4y 2ty+t 30，第 18 页（共 21 页）由（6t）2 2 216（3t3） 4t 0，解得2t22 2x1+x2 ， x1x2 （t1），y1+y2 ，y1y2 （t3），设直线 AB 之中点为P（x0，y0），则x0 （x1+x2）由点 P 在直线 AB 上得： y0x0+b ，又点 P 在直线 l 上， +b，则bt又 （ x1，y12）， （ x2，y22），2 2 ? x1x2+y1y22（y1+y2） +4 （t1）+ （t3）t+4，24 ? 4t4t+10，94 10，294t4t+1010，2（ 2t1） 0，t（ t1） 0解得 0t1，且 tbt（，）（，0）【点评】本题考查椭圆双曲线的简单性质，考查直线与双曲线椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题21将 n 个数 a1，a2， ， an 的连乘积a1?a2? ? an记为 ai，将 n 个数 a1，a2， ， an的和 a1+a2+ +an记为 ，nN*）（1）若数列 xn 满足 x11， xn+1x +xn， nN*，设 Pn ，Sn 求 P5+S5；（2）用 x表示不超过x 的最大整数，例如 2 2，3.4 3，1.82若数列 xn满足 x11，xn+1x +xn，nN* ，求 的值；（3）设定义在正整数集N*上的函数 f（n）满足， 当 n （ mN*）时，第 19 页（共21 页）f（n） m，问是否存在正整数 n，使得 2019？若存在，求出 n 的值；若不存在，说明理由（已知 ）【考点】 8E：数列的求和【专题】 35：转化思想； 48：分析法； 55：点列、递归数列与数学归纳法【分析】（ 1）由题意可得 ， ，即有 ，由累乘法和裂项相消求和即可得到所求和；（2）由 1 1（ ），运用裂项相消求和和 x 表示的含义，即可得到所求值；（3）求得 f（n）的解析式，结合自然数的平方和公式，计算即可得到所求值【解答】解：（1）数列 xn 满足x11，xn+1x +xn，nN* ，设Pn ，Sn ，可得 xn+1x +xnxn（ 1+xn），即有 ， ，即有 ，可得 P5+S5 ? + + + + + +1 1；（2）x11，xn+1x +xn，nN*，可得 1 1（ ），可得 2009（ + + + ）第 20 页（共21 页）20191+ 2018+ ，由 x11，xn+1x +xn1，可得 （0，1），即有 2018；（3）设定义在正整数集N*上的函数 f（n）满足，当 n （ mN*）时， f（n） m，当 m1 时， 0n 1，可得 f（ 1） 1；当 m2 时， 1n 3 时， f（2） f（3） 2；当 m3 时， 3n 6 时， f（4） f（5） f（6） 3， ， mk 时，可得 f（n） k（k 个 k），可得 1+（2+2）+（3+3+3）+（4+4+4+4 ）+ +（k+ k+ +k） +2 2 2 21+2+3 +4 + +k + ，2 2 2 2 2由 1 2109， +2 +3 +4 + +18由 2109902019，90185，可得当 n 18（ 18+1）5166 时，满足 2019【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和和公式法求和，考查运算能力和推理能力，属于难题第 21 页（共21 页）