资源描述
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．命题“若a＝0, 则ab＝0”的逆否命题是(D)
A．若ab＝0，则a＝0 B．若a≠0，则ab≠0
C．若ab＝0，则a≠0 D．若ab≠0，则a≠0
解析：“若a＝0，则ab＝0”的逆否命题为“若ab≠0，则a≠0”．
2．(2014·广州海珠综测)“a＝ －1”是“直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直”的(A)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a＝－1时，可得直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直；当直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直时，可得a＝ －1或a＝，故“a＝ －1”是“直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直”的充分不必要条件，故选A.
3．(2014·湛江调研)“x＞2”是“(x－1)2＞1”的(B)
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由“x＞2”可得“(x－1)2＞1”由“(x－1)2＞1”可得“x＞2或x＜0”，则“x＞2”是“(x－1)2＞1”的充分不必要条件，故选B.
4．(2013·广州二模)命题“∃x∈R，x2＋4x＋5≤0”的否定是(C)
A．∃x∈R，x2＋4x＋5＞0
B．∃x∈R，x2＋4x＋5≤0
C．∀x∈R，x2＋4x＋5＞0
D．∀x∈R，x2＋4x＋5≤0
5．命题“若a＜0时，则一元二次方程x2＋x＋a＝0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是(B)
A．0 B．2 C．4 D．不确定
解析：当a＜0时，Δ＝1 － 4a＞0，所以方程x2＋x＋a＝0有实根，故原命题为真；根据原命题与逆否命题真假一致，可知其逆否命题为真；逆命题为：“若方程x2＋x＋a＝0有实根，则a＜0”，因为方程有实根，所以判别式Δ＝1 － 4a≥0，所以a≤，显然a＜0不一定成立，故逆命题为假；根据否命题与逆命题真假一致，可知否命题为假．故正确的命题有2个．
6．已知命题p：∀b∈[0，＋∞)，f(x)＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上为增函数，命题q：∃ x0∈{x|x∈Z}，使log2x0＞0，则下列结论判断为真的是(C)
A．綈p∨綈q B．綈p∧綈q
C．p∨綈q D．p∧綈q
7．命题“2x2－5x－3<0”的一个必要不充分条件是(B)
A．－<x<3 B．－3<x<3
C．－<x<2 D．0<x<6
8．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是(B)
A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2
C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2
9．(2014·佛山质检)下列说法中正确的有(C)
(1)命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”；
(2)“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件；
(3)若p∧q为假命题，则p、q均为假命题；
(4)对于命题p：∃x∈R，x2＋x＋1＜0，则綈p：∀x∈R，x2＋x＋1≥0.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：对于(3)，若p∧q为假命题，则p、q中至少有一个为假命题，(3)错误．(1)(2)(4)正确，故选C.
10．(2014·东北三省二模)已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，那么k的取值范围是(B)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]
解析：q：＜1⇒－1＜0⇒＜0⇒(x－2)·(x＋1)＞0⇒x＜－1或x＞2.
因为p是q的充分不必要条件，所以k＞2，故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜2}；则“x∈A或x∈B”是“x∈A∩B”的__________条件．
答案：必要不充分
12．已知命题p：∃x0∈R，x＋2ax0＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：因为p是假命题，所以綈p是真命题，即对任意的x都有x2＋2ax＋a>0，所以有(2a)2－4a<0，解之得a∈.
答案：
13．“直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点”的充要条件是________．
解析：“直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点”等价于＜，解得k∈(－1，3)．
答案：－1＜k＜3
14．下列四种说法：
①命题“∀x∈R，都有x2－2＜3x”的否定是“∃x∈R，使得x2－2≥3x”；
②若a，b∈R，则2a＜2b是loga＞logb的必要不充分条件；
③把函数y＝sin(－3x)(x∈R)的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数y＝sin
(x∈R)的图象；
④若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝.
其中正确的说法是______．
解析：①正确．
②若2a＜2b，则a＜b，当a或b为负数时，loga＞logb不成立，若loga＞logb，∴0＜a＜b，∴2a＜2b.故②正确．
③把y＝sin(－3x)的图象上所有点向右平移，得到y＝sin＝sin，故③不正确．
④由题可知，a·b＝1×2 cos＝－1，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝3，∴|a＋b|＝，故④正确．
答案：①②④
三、解答题(本大题共6小题，共80分)
15．(12分)写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)q：∀x∈R，x不是5x－12＝0的根；
(2)r：有些质数是奇数；
(3)s：∃x∈R，|x|＞0.
解析：(1)綈q：∃x0∈R，x0是5x－12＝0的根，真命题．
(2)綈r：每一个质数都不是奇数，假命题．
(3)綈s：∀x∈R，|x|≤0，假命题．
16．(12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)平面内，凸多边形的外角和等于360°；
(2)有一些奇函数的图象过原点；
(3)∃x0∈R，2x＋x0＋1＜0；
(4)∀x∈R，sin x＋cos x≤.
解析：(1)可以改写为“平面内，所有凸多边形的外角和等于360°”，故是全称命题，且为真命题．
(2)“有一些”是存在量词，故该命题为特称命题，显然是真命题．
(3)是特称命题．∵2x＋x0＋1＝2＋＞0，∴不存在x0∈R，使2x＋x0＋1＜0，故该命题为假命题．
(4)是全称命题．∵sin x＋cos x＝sin≤恒成立，∴对任意的实数x，sin x＋cos x≤都成立，故该命题是真命题．
17．(14分)已知集合A＝{x|x2＋mx＝5mx－2m－6}，B＝{x|x＜0}，若“∃x∈R，使得x∈A∩B”成立，求实数m的取值范围．
解析：A＝{x|x2＋mx＝5mx－2m－6}＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}“∃x∈R，使得x∈A∩B”成立，所以A∩B≠∅.设全集∪＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，
则∪＝.
假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，则有
⇒⇒m≥.
又集合关于全集∪的补集是{m|m≤－1}，所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}．
18．(14分)已知p：－2≤x≤10；q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)．若綈p是綈q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．
解析：綈p：x＜－2，或x＞10，
A＝{x|x＜－2，或x＞10}．
綈q：x2－2x＋1－m2＞0，x＜1－m，或x＞1＋m，
B＝{x|x＜1－m，或x＞1＋m}．
∵綈p是綈q的必要非充分条件，
∴B?A，即⇒m≥9.
∴实数m的取值范围是[9，＋∞)．
19．(14分)设0＜a，b，c＜1，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不同时大于.
证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于，即(1－a)b＞，(1－b)c＞，(1－c)a＞，而≥＞，≥＞，≥＞，
得＋＋＞，
即＞，属于自相矛盾，所以假设不成立，原命题成立．
20．(14分)已知命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立；q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．
解析：设g(x)＝x2＋2ax＋4.由于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，∴函数g(x)的图象开口向上，且与x的轴没有交点，故Δ＝4a2－16＜0.
∴－2＜a＜2，∴命题p：－2＜a＜2.
∵函数f(x)＝－(5－2a)2是减函数，
则有5－2a＞1，即a＜2.∴命题q：a＜2.
又由于p∨q为真p∧q为假，可知p和q一真一假．
(1)若p真q假，则此不等式组无解．
(2)若p假q真，则
∴a≤－2.
综上可知，所求实数a的取值范围为{a|a≤－2}．
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下列语句中是命题的是(B)
A．周期函数的和是周期函数吗？ B．sin 45°＝1
C．x2＋2x－1＞0 D．梯形是不是平面图形呢？
解析：可以判断真假的陈述句．
2．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是(D)
A．都真 B．都假 C．否命题真 D．逆否命题真
解析：原命题是真命题，所以其逆否命题也为真命题．
3．有下述说法：①a＞b＞0是a2＞b2的充要条件；②a＞b＞0是＜的充要条件；③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．则其中正确的说法有(A)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：①a＞b＞0⇒a2＞b2，仅仅是充分条件；
②a＞b＞0⇒＜，仅仅是充分条件；
③a＞b＞0⇒a3＞b3，仅仅是充分条件．
4．下列说法中正确的是(D)
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a＞b”与“a＋c＞b＋c”不等价
C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0, 则a2＋b2≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
解析：否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性．
5．(2013·广州一模)“m<2”是“一元二次不等式x2＋mx＋1>0的解集为R”的(B)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：一元二次不等式x2＋mx＋1>0的解为m∈(－2，2)，则m<2只是其必要不充分条件．
6．已知条件p：|x＋1|＞2，条件q：5x－6＞x2，则綈p是綈q的(A)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：綈p：|x＋1|≤2，－3≤x≤1，
綈q：5x－6≤x2，x2－5x＋6≥0，x≥3或x≤2，綈p⇒綈q，充分不必要条件．
7．有下列四个命题：
①“若x＋y＝0, 则x，y互为相反数”的逆否命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题．
其中真命题为(C)
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
解析：若x＋y＝0，则x，y互为相反数，为真命题，则逆否命题也为真；“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等” 为假命题；若q≤1⇒4－4q≥0，即Δ＝4－4q≥0，则x2＋2x＋q＝0有实根，为真命题．“不等边三角形的三个内角相等”逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，为假命题．
8．已知命题p：若x∈N*，则x∈z.命题q：∃x0∈R，＝0.则下列命题为真命题的是(D)
A．綈p B．p∧q C．綈p∨q D．綈p∨綈q
解析： 显然命题p为真；因为对∀x∈R，都有＞0，所以命题q为假，所以綈q为真，由“或”“且”“非”命题的真值表知D正确．
9．(2014·江西卷)下列叙述中正确的是(D)
A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”
C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”
D．l是一条直线，a，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
解析：由于“若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≥0”是假命题，所以“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件不是“b2－4ac≤0”，A错；∵ab2＞cb2，且b2＞0，∴a＞c.而a＞c时，若b2＝0，则ab2＞cb2不成立，由此知“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分不必要条件，B错；“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2＜0”，C错；由l⊥α，l⊥β，则a∥β，可得α∥β，理由是：垂直于同一条直线的两个平面平行，D正确．
10．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是(A)
A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1 D．－2≤a≤1
解析：∀x∈[1，2]，x2－a≥0，即a≤x2，
当x∈[1，2]时恒成立，∴a≤1.
∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0，
即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0，∴a≤－2，或a≥1.
又p∧q为真，故p，q都为真，∴
∴a≤－2或a＝1.
11．下列命题中的假命题是(C)
A．∀x>0且x≠1，都有x＋>2
B．∀a∈R，直线ax＋y＝a恒过定点(1，0)
C．∀φ∈R，函数y＝sin(x＋φ)都不是偶函数
D．∀m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减
解析：当x>0时，x＋≥2＝2，∵x≠1，∴x＋>2，故A为真命题；将(1，0)代入直线ax＋y＝a成立，B为真命题；当φ＝时，函数y＝sin是偶函数，C为假命题；当m＝2时，f(x)＝x－1是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，∴D为真命题，故选C.
12．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是(A)
A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1 D．－2≤a≤1
解析：∀x∈[1，2]，x2－a≥0，即a≤x2，
当x∈[1，2]时恒成立，∴a≤1.
∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0，
即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0，∴a≤－2，或a≥1.
又p∧q为真，故p，q都为真，∴
∴a≤－2，或a＝1.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)
13．命题：“若a·b不为零，则a，b都不为零”的逆否命题是________________________________________________________________________．
答案：若a，b至少有一个为零，则a·b为零
14．用“充分、必要、充要”填空：
①p∨q为真命题是p∧q为真命题的__________条件；
②綈p为假命题是p∨q为真命题的__________条件；
③A：|x－2|＜3，B：x2－4x－15＜0，则A是B的________条件．
答案：①必要 ②充分 ③充分
15．命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是__________．
解析：ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；
当a≠0时，
得－3≤a＜0.∴－3≤a≤0.
答案：[－3，0]
16．若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为______．
解析：由x2＞1得x＜－1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，知由“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.
答案：－1
三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)对于下述命题p，写出“綈p”形式的命题，并判断“p”与“綈p”的真假：
(1)p：91∈(A∩B)(其中全集U＝N*，A＝{x|x是质数}，B＝{x|x是正奇数})；
(2)p：有一个素数是偶数；
(3)p：任意正整数都是质数或合数；
(4)p：三角形有且仅有一个外接圆．
解析：(1)綈p：91∉A，或91∉B；p真，綈p假．
(2)綈p：每一个素数都不是偶数；p真，綈p假．
(3)綈p：存在一个正整数不是质数且不是合数；p假，綈p真．
(4)綈p：存在一个三角形有两个及其以上的外接圆或没有外接圆；p真，綈p假．
18．(12分)写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题，并判断其真假．
解析：逆命题为：“已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集”．
由a2≥4b知，Δ＝a2－4b≥0.这说明抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴有交点，那么x2＋ax＋b≤0必有非空解集．故逆命题是真命题．
19．(12分)已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
解析：令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，方程有两个大于1的实数根⇔
即k＜－2，所以其充要条件为k＜－2.
20．(12分)若a2＋b2＝c2，求证a，b，c不可能都是奇数．
证明：假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，得a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2，与a2＋b2＝c2矛盾，所以假设不成立，原命题成立．
21．(12分)已知a＞0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减，q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．
解析：对于命题p：当0＜a＜1时，函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减．
当a＞1时，函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递增，所以如果p为真命题，那么0＜a＜1.
如果p为假命题，那么a＞1.
对于命题q：如果函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点，
那么Δ＝(2a－3)2－4＞0，
即4a2－12a＋5＞0⇔a＜，或a＞.
又∵a＞0，所以如果q为真命题，
那么0＜a＜或a＞.
∴a的取值范围是∪.
22．(12分)设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解析：(1)由x2－4ax＋3a2＜0，的(x－3a)(x－a)＜0.
又a＞0，所以a＜x＜3a，
当a＝1时，1＜x＜3，即p为真命题时，1＜x＜3.
由
解得
即2＜x≤3.
所以q为真时，2＜x≤3.
若p∧q为真，则⇔2＜x＜3，
所以实数x的取值范围是(2，3)．
(2)∵綈p是綈q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，则有(2，3]?(a，3a)．于是满足解得1＜a≤2，故所求a的取值范围是(1，2]．
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