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混凝土搅拌车筒体非等变角圆锥螺旋线的探讨 郑招 强 ( 青岛中汽特种汽车有限公司) 摘要： 推导搅拌车筒体非等变角螺旋线方程， 并讨论其变化规律。 推导得出的非等变角螺旋线可以在螺 旋线的起点和终点的螺旋角卢 和 9 2 一定的情况下， 在适当的范围内， 通过改变参数 k或 的取值来调整螺 旋线的疏密， 控制螺旋线的长度， 为螺旋叶片的优化设计提供一种值得探讨的思路 ， 另外， 该螺旋线也可以通 过给定的 臼 一值调整 3 和 3 的取值 ， 得到不同的曲线。 关键词： 混凝土搅拌车； 螺旋线； 非等变角 搅拌筒 叶片型线 的形式对 叶片的拟合 以及整 车搅拌和卸料性能有着重要 的影响。目前搅拌车锥 筒的叶片型线多用对数螺旋线， 文献 1 提出了在罐 体锥段采用非等角螺旋线的概念， 并指出非等角螺 旋线可分为等变角螺旋线和非等变角螺旋线。文献 【 2 推导 了以搅拌车搅拌筒参数表达的对数螺旋线 方程和等变角螺旋线等方程 ， 其方程分别如下 ： 对数螺旋线方程 ： f x = p c o s O s i n y = ps i n O s i n cp = ( d 1 2 s i n ) e x p O s i n o d t a n 3 日 一t a n 3 1 n ( d 2 d 1 ) m ax s i n 等变角螺旋线方程 ： x = pc o s O s i n O L y = ps i n 0 s i n COS p =( d l 2 s i n ) ( s i n 3 s i n B 1 ) m s i n o J ( 2 1 ) O re = = 螺旋角随螺旋转角呈线性变化 ， 变化 函数为 = 卢 + 。本文仅讨论非等变角圆锥螺旋线。 1 非等变 角 圆锥螺旋线 的推导 非等变角可 以认 为是螺旋角 随转角 的变化为 非线性关 系 ， 借鉴文献【 3 】 的非等变角螺线的推导方 法 ， 设 ： c o t B = A0 B ( 1 ) 式中： A、 为常数。 则 ： fl = a r c c o t ( A + ) ( 2 ) 按图 1 所示 的几何关系 ， 有 ： y = c ；d 2 _ r dO；r n 则 ： = c 。 t 3 ( 3 ) 将式( 1 ) 代人式( 3 ) ， 可得 ： = s i n ( A + B) d O 口 。 积分得 ： 1n p = n ( 柏) + c ( 4 ) 设螺旋线起点和终点的螺旋角分别为 3 。 和 3 ， 最 大螺 旋转 角 为 利 用边 界条件 可 求 出 系数 、 作者简介 ： 郑招强( 1 9 8 ) ， 男， 山东邹平人， 助理工程师， 学士， 研究方向： 专用汽车设计。 一 25 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m B。 ： 当卢 。 时 ， 将 0 = 0代人式( 1 ) ， 得 ： B = c o t 口 1 ( 5 ) 当卢 时 ， 将 和式( 5 ) 代人式 ( 1 ) ， 可得 ： A ： 下c o t fi e - c o t 1 3 1 ( 6 ) 当p = p 时 ， 将 0 = 0代人式( 4 ) ， 可得 ： C = l n p 1 ( 7 ) 将式( 5 ) 、 ( 6 ) 、 ( 7 ) 代入式( 4 ) ， 可得： p- ol e x p a ( ) 卢 。 】 ) ( 8 ) 则用 圆锥 台参 数表示 的非 等变角螺旋线 三维 坐标方程为 ： x = ps i n 0 cc 0 s 0 y = ps i nas i n 0 z = pc o s O t P= e x p( in P p I 咖 I c o t13 2 一 c o t13 1 一 k + l 1 ) + c o t13 J j ( 9) 式( 9 ) 中 k和 两个参数待定 ， 当 p = p 时 ， 将 = 一 代人式( 8 ) ， 可得 ： 一 O m ( c o t 3 2 一 c o t 13 1 ) s i n 1 一 一 I n ( P 2 P 1 ) - 0 , s i n a c o t 13 1 一 一 一 0 , s i n a c o t 13 2 - l n ( d 2 d 1 ) ( 1 0 ) I n ( d 2 d 1 ) - O re s i n o c o t 13 1 或者 ： 疗t Z： ： m ax f c o t 13 2 -c o t fl + 。 。 t 卢 1 in k +l l J ! 2 一 ( c o t 13 2 - c o t 13 11 + 。 t JB ) in + 。 c o t + k c o t 13 s i n O ( ) 、 一 因此， 当k和 其中的一个值可以给定时， 根 据式 ( 9 ) 便可以得到相应 的螺旋线 。 2 k和 的取值 k和 的值并不能任意给定 ， 有一定 的取值 范围。 2 1 k的取值 将式( 5 ) 、 ( 6 ) 代入式( 1 ) ， 可得 ： 一 2 6一 c 。 t 13 = ( c 。 t 13 2 - C O t 13 。 ) ( ) + c 0 t 3 。( 1 2 ) 则 ： k = l o g 0 ( c o t 13 一 c o t 13 - ) ( c o t 一 c o t fl ) ( 1 3 ) 式 ( 1 3 ) 中 和 的值 域均 是 0 1。 根 据 对 数 的 性 质 ， 当 杀 (。 ， 11 ， ( 0 ， 1 ) 时 ， 式( 1 3 ) 有意义 ， 则 k I0 。 当 k = O时 ， 由式 ( 1 2 ) 得 c o t 13 = c o t ： ， 式( 9 ) 成为 如下 形 式 ： x = ps i n 0 c 0 s 0 y = ps i nas i n0 COS O p ： e x p O s i n c o t 13 2 p 盂 e x p 即式 ( 9 ) 成 为螺旋角为 的对数螺旋线方 程 。 而 当 + 时 ， 式 ( 1 2 ) 中 ， c o t 13 = c o t 。 ， 式 ( 9 ) 是螺 旋角为 的对数螺旋线方程。因此当 k 0时 ， 式( 9 ) 是非等变角螺旋线 。 2 2 一 的取值 由式( 1 1 ) 可得 ， 当 = 0 t ff, O m = I n ( d 2 d l )； 当 k - - - * + 时 ， 一 = ，所 以 的取值介 于 和 等 之 间 。 2 3 数值验证 取 d 1 = 1 0 0 0 ， d 2 = 2 1 0 0 ， h = l 7 0 0 ， 1 = 8 0 。 ， 13 2 = 7 0 。 ， 对上述推导进行数值验证 。为了直观起见 ， 引入对 数螺旋线和等变角螺旋线进行对 比。 图 2中， 曲线 1 是等变角螺旋线 ； 曲线 2 6是 k 分别等于 1 ， 0 5 ， 0 3 3 3 ， 0 2 ， 0时的非等变角螺旋线 ； 曲线 7是 13 = 7 o 。 的对数螺旋线 ； 曲线 8 1 1 是 k分别 等于 2 ， 3 ， 4 ， 1 0 0 0 0的非等变角螺旋线 ；曲线 1 2是 13 = 8 o 。 的对数螺旋线 。从 图 2可 以看出 ， 曲线 6和 7 完全重合 ， 曲线 1 1 ， 1 2几乎是重合的 ， 曲线 1 1的终 点附近有突变。当然 ， 也可以在其值域内取不 同 的值来得到类似图 2的一系列 曲线 。 的变化情况通过曲线表达也更为直观。由式 ( 1 2 ) 可得 ： f 3 = a rc c 。 t l (c o t 13 2 - c 。 t 13 。 ) ( ) + C O t 13 l( 1 4 ) 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 7 6 5 图 2 k取不 同值 时螺旋线图 图 3中， 线 a为直线 ， 是 口的线性变化曲线 ； b 是 k分别等于 1 ， 0 5 ， 0 3 3 3 ， 0 2 ， 0 1 ， 0 0 5 ， 0时 的 变化 曲线 ； n是 k分别 等于 2 ， 3 ， 4 ， 1 0 ， 2 O ， 1 0 0 0 0 时的 变化 曲线 。 图 3 k值不同时 ， J B随 0的变化 曲线 图 可得 出的结论是 ：当 k = l时， JB接近线性变化 ， 随着 k与 1的差值增大 ， 其对 的影响会加剧 ， k与 1 的差值大到一定程度时 ， 会 出现突变。 由图 2 ， 当曲线 2和 曲线 1的终点重合时 ， 两条 曲线能否重合 ， 即此 时的非等变角螺旋线能否为等 变角螺旋线?令非等变角螺旋线 的最大螺旋转角等 于等变角螺旋线的最大螺旋转角 ， 即式 ( 1 1 ) 成为 ： 0： f 1 s、 “ s i na l n ( s i n s i n ) = 将 式 ( 1 5 ) 或( 1 6 ) 代 入式 ( 9 ) ， 可得 到 图 2中的 曲线 l 3 ， 该 曲线起 点和终点与 曲线 1 重合 ， 其他部 分在 曲线 1的上方 ， 与曲线 1 不重合 ， 但非常接近。 对JB的变化进行数值验证， 得到图3中的曲线 P， 该 曲线是 S形 ， 起点和终点与线 a重合 ， 前半段在 线 a的上面 ， 后半段在线 0的下面 ， 与线 a 在中间有 一 个交点， 即 的变化仍是非线性的， 但该曲线与 线 a 非常接近。所以， 尽管此时式( 9 ) 得到的曲线与 等变角螺旋线不重合，但最接近等变角螺旋线， 在 实际的工程设计中可以代替等变角螺旋线。 3 结束语 在搅 拌车螺旋叶片的设计 中 ，从成本 角度考 虑 ， 在满足性能 的前提下 ， 叶片型线的长度越短越 好。而对数螺旋线和等变角螺旋线 ， 当起点和终点 的螺旋角给定后 ， 其最大螺旋转角是定值 ， 即螺旋 线的长度是定值 。因此 ， 这种情况下一般是通过调 整螺旋角 ， 达到控制螺距和螺旋线长度的 目的。 本文推导 的非等变角螺旋 线可以在 和 一 定的情况下 ，在适 当的范围内通过改变 k或 的 值 ， 调整螺旋线的疏密 ， 控制螺旋线的长度 。这为螺 旋 叶片 的优化设计提供 了另外一种值 得探讨 的思 路 另外， 该螺旋线也可以给定 值 ， 通过调整 和 的取值 ， 得到不同的曲线 ， 但这种情 况需要考 虑 的因素会更多 ， 本文未 予以讨论 ， 在实 际设计 中 的应用也有待进一步论证。 参考文献 1 】 邢普 ， 仪垂杰 ， 郭健翔， 等 非等角对数螺旋线搅拌叶片 的设计研究 J 工程机械， 2 0 0 6 ( 4 ) ： 2 9 3 2 2 】郑招强， 卢泽杰， 李子君 混凝土搅拌车筒体非等角对 数螺旋线的探讨【 J 1 建筑机械， 2 0 0 9 ( 6 ) ： 6 5 6 7 【 3 】董志豪，钱志峰 三种圆柱形叶片型线方程比较 J 】 排 灌机械 ， 1 9 9 8 ( 1 ) ： 1 6 1 8 通信地址 ： 山东省青 岛市城阳 区棋 阳路 1 号青 岛中汽特种 汽车有限公司技术研发部( 2 6 6 1 0 9 ) ( 收稿日期 ： 2 0 1 1 - 0 6 2 5 ) 一 2 7 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m