北师版九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题.docx

九年级下册第一章 直角三角形的边角关系【知识要点】一、锐角三角函数： 正切：在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，即; 正弦：在RtABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即; 余弦：在RtABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即; 余切：在RtABC中，锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切，记作cotA，即;注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). （2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示A,习惯省去“”号； （3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均0,无单位. （4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与A的大小有关,而与直角三角形的边长无关. （5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.1、三角函数和角的关系 tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。 sinA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，sinA的值越大。 cosA的值越小，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，cosA的值越大。2、 三角函数之间的关系（1）互为余角的函数之间的关系030 45 60 90 sin01cos10tan01cot10若A为锐角，则； ； （2）同角的三角函数的关系利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在090间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小） 而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小) 而减小(或增大)。(2)0sin1，0cos1。 1)平方关系：sinA2cosA21 2)倒数关系：tanAcotA1 3)商的关系：tanA，cotA 二、解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有(1)三边之间的关系：a2+b2=c2； (2)两锐角的关系：AB=90； 解直角三角形的几种基本类型列表如下：(3)边与角之间的关系：(4)面积公式:(hc为C边上的高); (5)直角三角形的内切圆半径(6)直角三角形的外接圆半径图1三、解直角三角形的应用：1、当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角2、 如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45、135、225。图2hi=h:llABC指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30，南偏东45(东南方向)、南偏西为60，北偏西60。图3图4【基础训练】锐角三角函数定义一、填空题1如图所示，B、B是MAN的AN边上的任意两点，BCAM于C点，BCAM于C点，则BAC_，从而，又可得_，即在RtABC中(C90)，当A确定时，它的_与_的比是一个_值；_，即在RtABC中(C90)，当A确定时，它的_与_的比也是一个_；_，即在RtABC中(C90)，当A确定时，它的_与_的比还是一个_第1题图2如图所示，在RtABC中，C90 第2题图_，_；_，_；_，_3因为对于锐角a 的每一个确定的值，sina 、cosa 、tana 分别都有_与它_，所以sina 、cosa 、tana 都是_又称为a 的_4在RtABC中，C90，若a9，b12，则c_，sinA_，cosA_，tanA_，sinB_，cosB_，tanB_5在RtABC中，C90，若a1，b3，则c_，sinA_，cosA_，tanA_，sinB_，cosB_，tanB_6在RtABC中，B90，若a16，c30，则b_，sinA_，cosA_，tanA_，sinC_，cosC_，tanC_7在RtABC中，C90，若A30，则B_，sinA_，cosA_，tanA_，sinB_，cosB_，tanB_二、解答题8已知：如图，RtTNM中，TMN90，MRTN于R点，TN4，MN3求：sinTMR、cosTMR、tanTMR9已知RtABC中，求AC、AB和cosB综合、运用、诊断10已知：如图，RtABC中，C90D是AC边上一点，DEAB于E点DEAE12求：sinB、cosB、tanB11已知：如图，ABC中，AC12cm，AB16cm，(1)求AB边上的高CD；(2)求ABC的面积S；(3)求tanB12已知：如图，ABC中，AB9，BC6，ABC的面积等于9，求sinB拓展、探究、思考13已知：如图，RtABC中，C90，按要求填空：(1)_；(2)b_，c_；(3)a_，b_；(4)_，_；(5) _，_；(6)3，_，_正切：1、在RtABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100 倍,tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 2、已知A,B为锐角 (1)若A=B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则A B. 3、在ABC中，C=90，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.正弦和余弦：1已知中，3cosB=2， AC= ，则AB= 2.在Rt中，如果，那么的值是（ ）A. B. C. D.3.在中，分别是的对边，若，则 ABC4.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离=3米，则梯子的长度为 米5.如果是等腰直角三角形的一个锐角，则的值是（） 三角函数值的计算一、填空题1填表锐角a304560sinacosatana二、解答题 2求下列各式的值 (1) (2)tan30sin60sin30(3)cos453tan30cos302sin602tan45 (4)3求适合下列条件的锐角a (1) (2) (3) (4)综合、运用、诊断4已知：如图，在菱形ABCD中，DEAB于E，BE16cm，求此菱形的周长5已知：如图，在ABC中，BAC120，AB10，AC5求：sinACB的值6已知：如图，RtABC中，C90，BAC30，延长CA至D点，使ADAB求： (1)D及DBC； (2)tanD及tanDBC； (3)请用类似的方法，求tan22.57 已知：如图，RtABC中，C90，作DAC30，AD交CB于D点，求： (1)BAD；(2)sinBAD、cosBAD和tanBAD8已知：如图ABC中，D为BC中点，且BAD90，求：sinCAD、cosCAD、tanCAD拓展、探究、思考9已知：如图，AOB90，AOOB，C、D是上的两点，AODAOC，求证： (1)0sinAOCsinAOD1；(2)1cosAOCcosAOD0；(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而_；(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而_10 已知：如图，CAAO，E、F是AC上的两点，AOFAOE (1)求证：tanAOFtanAOE； (2)锐角的正切值随角度的增大而_11已知：如图，RtABC中，C90，求证：(1)sin2Acos2A1 (2)解直角三角形（一）一、填空题1在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：在RtABC中，C90，ACb，BCa，ABc，三边之间的等量关系：_两锐角之间的关系：_边与角之间的关系： _；_； 第1题图_；_直角三角形中成比例的线段(如图所示)第小题图在RtABC中，C90，CDAB于DCD2_；AC2_；BC2_；ACBC_直角三角形的主要线段(如图所示)第小题图直角三角形斜边上的中线等于斜边的_，斜边的中点是_若r是RtABC(C90)的内切圆半径，则r_直角三角形的面积公式在RtABC中，C90，SABC_(答案不唯一)2关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_(其中至少_)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_或斜边和_)及已知一边和一个锐角(_和一个锐角或_和一个锐角)3填写下表：已知条件解法一条边和斜边c和锐角AB_，a_，b_直角边a和锐角AB_，b_，c_两条边两条直角边a和bc_，由_求A，B_直角边a和斜边cb_，由_求A，B_二、解答题4在RtABC中，C90(1)已知：a35，求A、B，b；(2)已知：，求A、B，c；(3)已知：，求a、b；(4)已知：求a、c；(5)已知：A60，ABC的面积求a、b、c及B拓展、探究、思考8如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m，冬天太阳光与水平面的夹角为30(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米?(保留根号)(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层?9王英同学从A地沿北偏西60方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地多少距离?10已知：如图，在高2m，坡角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米?(保留整数)、解直角三角形（二）1已知：如图，ABC中，A30，B60，AC10cm求AB及BC的长2已知：如图，RtABC中，D90，B45，ACD60BC10cm，AD的长3已知：如图，ABC中，A30，B135，AC10cm求AB及BC长4已知：如图，RtABC中，A30，C90，BDC60，BC6cm求AD的长综合、运用、诊断5已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30，测得岸边点D的俯角为45，又知河宽CD为50m现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)三角函数的应用1、 船有触礁的危险吗 例1、已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，)练习1、如图，某货船以20海里时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里时的速度由A向北偏西60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响. (1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：1.4， 1.7)练习2、如图，一条小船从港口出发，沿北偏东方向航行海里后到达处，然后又沿北偏西方向航行海里后到达处问此时小船距港口多少海里？（结果精确到1海里）（以下数据可以选用：，)2、测量物体的高度(1) 例2、已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A沿坡角为30的山坡AB行走400m，到达一个景点B，再由B地沿山坡BC行走320米到达山顶C，如果在山顶C处观测到景点B的俯角为60求山高CD(精确到0.01米)练习1、已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点已知BAC60，DAE45点D到地面的垂直距离，求点B到地面的垂直距离BC练习2、已知：如图，小明准备测量学校旗杆AB的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC20m，斜坡坡面上的影长CD8m，太阳光线AD与水平地面成26角，斜坡CD与水平地面所成的锐角为30，求旗杆AB的高度(精确到1m) 3、测量物体的高度(2) 例3、某市为促进本地经济发展,计划修建跨河大桥,需要测出河的宽度AB, 在河边一座高度为300米的山顶观测点D处测得点A,点B的俯角分别为=30,=60, 求河的宽度(精确到0.1米)BADCH练习1、如图：某水坝的横断面为梯形，坝顶宽为米，坝高为米，斜坡的坡度，斜坡的坡角为求（1）斜坡的坡角；（2）坝底宽（精确到米）（参考数据：， ） 直角三角形的边角关系基础性测试卷 一、选择题1如图，在中，3，4，5,则的值是（）ABCD2在中，则等于（ ）ABC D 3如图，已知正方形的边长为2，如果将线段绕着点旋转后，点落在的延长线上的点处，那么等于（）A1BC D4如图.一个小球由地面沿着坡度=12的坡面向上前进了10，此时小球距离地面的高度为（）A5 B C D5如图，在某海岛的观察所A测得船只B的俯角是30.若观察所的标高（当水位为0m时的高度）是53m，当时的水位是3m，则观察所A和船只B的水平距离BC是（ ）A50 mB mC53 mDm 6如图，两条宽度均为40 m的国际公路相交成角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（ ）A（m2） B（m2） C1600sin（m2） D1600cos（m2）7某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（ ）A450a元B225a元C150a元D300a元8身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出线长分别为300米、350米、280米，线与地面的夹角分别为30、45、60（假设风筝线是拉直的），三人所放风筝（ ）A甲的最高B乙的最高C丙的最高D一样高二、 填空题1在中，若=2，则 2在中，则 3在中，则 4在中，则的面积为 5如图所示，在高2 m，坡角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 m6如图所示，从位于O处的某哨所发现在它的北偏东60的方向，相距600 m的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间，快艇到达哨所东南方向的B处，则A，B的距离为 m7如图，在高为h的山顶上，测得一建筑物顶端与底部的俯角分别为30和60，用h表示这个建筑物的高为 （第7题图）（第6题图）（第5题图） （第6题图） （第7题图）三、解答题1在等腰直角三角形中，是上一点，若，求的长2如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成的角为，如果梯子的底端固定不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子与地面所成的角为，求此保管室的宽度的长3如图，在中，14，求的值。4一人由山底爬到山顶，他先爬了的山坡200米，接着又爬了的山坡100米，到达山顶，求从山底到山顶的高度。（精确到）5如图，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要在小山的另一边同进施工，从AC上的点B取ABD135，BD1200米，BDE45，那么开挖点E离D多远（精确到0.1米）正好能使A、C、E成一条直线？直角三角形的边角关系提高性测试卷一、选择题1如图，在RtABC中，ACB90，CDAB，D为垂足若AC4，BC3，则sinACD的值为（ ）A B C D2已知AB90且cosA，则cosB的值为（ ）A B C D3已知tana，则锐角a满足（ ）A0a30 B30a45 C45a60 D60a904如图所示，在ABC中，ABAC5，BC8，则tanC（ ）A B C D5如图，从山顶A望到地面C，D两点，测得它们的俯角分别是45和30，已知CD100m，点C在BD上，则山高AB等于（ ）A100 m Bm Cm D50（）m 6已知楼房AB高50 m，如图，铁塔塔基距楼房房基间的水平距离BD50 m，塔高DC为（）m，下列结论中，正确的是（ ）A由楼顶望塔顶仰角为60B由楼顶望塔基俯角为60 C由楼顶望塔顶仰角为30D由楼顶望塔基俯角为307如图,水库大坝的横断面积为梯形,坝顶宽6米、坝高24米、斜坡AB的坡角为45，斜坡CD的坡度i12，则坝底AD的长为（ ）A42米B（）米C78米D（）米（第6题图）（第7题图）二、填空题1在ABC中，C90，ACAB，则cosB 2将cos21、cos37、sin41、cos46的值按由小到大的顺序排列是 3在RtABC中，C90，sinA，则方程tanAx22xtanB0的根为 4已知等腰梯形下底长4厘米，高是2厘米，下底的内角的正弦值是，则上底长为 厘米5.水库的横断面是梯形，如图，坝高，斜坡的坡度为，则斜坡的长为 。（精确到），坡角 .6.如图，太阳光线与地面成角，一棵倾斜的大树与地面成角，这时测得大树在地面上的影长为，则大树的长约为 m.(保留2位有效数字)三、解答题1如图，在坡度为12的山坡上种树，如果株距（相邻两树间的水平距离）是6米，求斜坡上相邻两树的坡面距离2如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于D， tanB，且BC9 cm ，求AC，AB及CD的长 3a、b、c分别是ABC中A、B、C的对边，a、b、c满足（2b）24（ca）（ca），且有5a3c0，求sinAsinB的值 4如图，在ABC中，B45，AC5，BC3，求sinA和AB 5如图，一艘油轮以的速度向正北方向航行，行驶到处测得一灯塔在它的北偏西的小岛上，油轮继续向北航行，后到达点，又测得灯塔在它的北偏西方向，根据有关资 料记载，在距灯塔为中心范围内有暗礁.试问：这艘油轮不改变前进方向继续行驶是否有触礁的危险？为什么？22