资源描述
►基础梳理
1．极值的概念．
如果函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值；如果函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
2．求函数y＝f(x)的极值的一般方法．
解方程f′(x)＝0.当f′(x)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．,►自测自评
1．下面说法正确的是(B)
A．可导函数必有极值 B．函数在极值点一定有定义
C．函数的极小值不会超过极大值 D．函数在极值点处导数一定存在
2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值有(A)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．函数y＝1＋3x－x3有极小值________，极大值__________．
解析：∵y＝1＋3x－x3，∴y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1，且y′在区间(－∞，－1)，(－1，1)，(1，＋∞)上的正负性依次为－，＋，－.
∴当x＝－1时，y＝－1是极小值；
当x＝1时，y＝3是极大值．
答案：－1 3
1．函数y＝2x3－x2的极大值为(A)
A．0 B．－9
C．0， D.
解析：y′＝6x2－2x，令y′＞0，解得x＜0，x＞，
令y′＜0，解得0＜x＜，
∴当x＝0时，取得极大值0，故选A.
2．若函数y＝x3－2mx2＋m2x, 当x＝时， 函数取得极大值， 则m的值为(C)
A.或1 B.
C．1 D．都不对
3．若函数y＝x3＋x2＋ax在R上没有极值点，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝x2＋2x＋a，∵f(x)在R上没有极值点，∴Δ＝4－4a≤0，∴a≥1.
答案：a≥1
4．求函数f(x)＝－x(x－2)2的极值．
解析：函数f(x)的定义域为R.
f(x)＝－x(x2－4x＋4)＝－x3＋4x2－4x，
∴f′(x)＝－3x2＋8x－4＝－(x－2)(3x－2)，
令f′(x)＝0得x＝或x＝2.
列表：
从表中可以看出，
当x＝时，函数有极小值，
且f＝－＝－.
当x＝2时，函数有极大值，
且f(2)＝－2(2－2)2＝0.
5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值．求a、b的值与函数f(x)的单调区间．
解析：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，则
f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
依题意得，
解得
即f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)．函数f′(x)，f(x)的变化情况见下表：
所以函数f(x)的递增区间是与(1，＋∞)，递减区间是.
1．f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处有极值点的(C)
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件
解析：y＝f(x)在x＝x0处有极值点时不仅要f′(x0)＝0，而且还要x0左右的增减性相异．故f(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
2．已知函数y＝f(x)(x∈R)有唯一的极值，并且当x＝1时，f(x)存在极小值，则(C)
A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0
B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0
C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0
D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0
解析：考查函数极小值的概念，只不过换成了符号语言，抓住极小值的定义即可得出答案C.
3．函数y＝1＋3x－x3(D)
A．极小值－1，极大值1 B．极小值－2，极大值3
C．极小值－2，极大值2 D．极小值－1，极大值3
解析：y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1，
易判断当x＝1时，有极大值y＝3，
当x＝－1时，有极小值y＝－1.故选D.
4．已知函数y＝2x3－ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(B)
A．(2，3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
解析：y′＝6x2－2ax＋36，
∵x＝2为极值点，
∴当x＝2时，y′＝6×4－2a×2＋36＝0，
解得a＝15，∴y′＝6x2－30x＋36，
令y'＝0，得x＝2，x＝3，
∴y′＞0时，x＜2或x＞3，故选B.
5．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在区间(0，1)内有极小值，则(A)
A．0＜b＜1 B．b＜1
C．b＞0 D．b＜
解析：问题等价于方程f′(x)＝3x2－3b＝0在区间(0，1)内有解，并且其较大的解必须在区间(0，1)内．于是得到0＜＜1，即0＜b＜1.故选A.
6．设函数f(x)＝x3－mx2－nx的图象与x轴切于点(1，0)，则f(x)的极值为(A)
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为
C．极大值为0，极小值为－
D．极大值为－，极小值0
解析：根据导数的几何意义，得到f(1)＝0，且f′(1)＝0，
即解得m＝2，n＝－1，此时f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，再依据求极值的方法，可以得到极大值为f＝，极小值为f(1)＝0.故选A.
7．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________．
解析：本题考查对极值定义的理解．
依题意有f′(x)＝，
f′(1)＝0，解得a＝3.
答案：3
8．已知三次函数f(x)的图象经过原点，并且当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，则函数f(x)的解析式为________________________________________________________________________．
解析：依题意，可设f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)，
则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，于是
解得
∴f(x)＝x3－6x2＋9x.
答案：f(x)＝x3－6x2＋9x
点评：典型的待定系数法解题，本题的条件有多余，所以要注意验根．
9．若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．
解析：f(x)＝x3－2cx2＋c2x
f′(x)＝3x2－4cx＋c2，
∴f′(2)＝c2－8c＋12＝0，c＝2或c＝6.
当c＝2，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，
当＜x＜2，f′(x)＜0，当x＞2，f′(x)＞0，
∴当x＝2时有极小值．
当c＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x－6)，
当2＜x＜6时，f′(x)＜0，当x＜2时，f′(x)＞0，
∴当x＝2时有极大值．
∴c＝6符合题意．
答案：6
10．(2013·惠州三模)已知函数f(x)＝x3－3ax(a∈R)．
(1)当a＝1时，求f(x)的极小值；
(2)若直线x＋y＋m＝0对任意的m∈R都不是曲线y＝f(x)的切线，求a的取值范围．
解析：(1)∵当a＝1时，f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x∈(－1，1)时，f′(x)＜0.
当x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)时，f′(x)＞0.
∴f(x)在(－1，1)上单调递减，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上单调递增．
∴f(x)的极小值是f(1)＝－2.
(2)f′(x)＝3x2－3a，直线x＋y＋m＝0，即y＝－x－m，依题意得，切线斜率k＝f′(x)＝3x2－3a≠－1，即3x2－3a＋1＝0无解．
∴Δ＝0－4×3(－3a＋1)＜0，∴a＜.
11．(2013·惠州一模)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x3＋x2＋mx＋n，直线与函数f(x)、g(x)的图象都相切于点(1，0)．
(1)求直线的方程及g(x)的解析式；
(2)若h(x)＝f(x)－g′(x)[其中g′(x)是g(x)的导函数]，求函数h(x)的极大值．
解析：(1)∵直线是函数f(x)＝ln x在点(1，0)处的切线，∴其斜率k＝f′(1)＝1.
∴直线的方程y＝x－1.
又∵直线与g(x)的图象相切，且切于点(1，0)，
∴g(x)＝x3＋x2＋mx＋n在点(1，0)的导函数值为1.
⇒
∴g(x)＝x3＋x2－x＋.
(2)∵h(x)＝f(x)－g′(x)＝ln x－x2－x＋1(x>0)．
∴h′(x)＝－2x－1＝＝－.
令h′(x)＝0，得x＝或x＝－1(舍去)．
当0<x<时，h′(x)>0，h(x)单调递增；
当x>时，h′(x)<0，h(x)单调递减．
因此，当x＝时，h(x)取得极大值．
∴[h(x)]极大值＝h＝ln＋.
►体验高考
1(2014·新课标全国卷Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p∶f′(x0)＝0；q∶x＝x0是f(x)的极值点，则(C)
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p即不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析：当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，
比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．
由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.
综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．
2．(2014·重庆卷)已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y＝x.
(1)求a得值；
(2)求函数f(x)的单调区间和极值．
解析：(1)对f(x)求导数得f′(x)＝－－，
由f(x)在点(1，f(1))处切线垂直于直线y＝x，
知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－，
则f′(x)＝－－＝，
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
当x∈(0，5)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，5)内为减函数；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数；
由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln 5.
3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
解析：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
4．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x2e－x.
(1)求f(x)的极小值和极大值；
(2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．
解析：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．
f′(x)＝－e－xx(x－2)．①
当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；
当x∈(0，2)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增．
故当x＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e－2.
(2)设切点为(t，f(t))，则l的方程为
y＝f′(t)(x－t)＋f(t)．
所以l在x轴上的截距为
m(t)＝t－＝t＋＝t－2＋＋3.
由已知和①式得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．
令h(x)＝x＋(x≠0)，则当x∈(0，＋∞)时，
h(x)的取值范围为[2，＋∞)；
当x∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．
所以当t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，
m(t)的取值范围是(－∞，0)∪ [2＋3，＋∞)．
综上，l在x轴的截距的取值范围是(－∞，0)∪ [2＋3，＋∞).
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