高中物理动量专题——对心碰撞的速度变化关系.doc

碰撞（动量守恒定律）的速度关系
高中常考的三种对心碰撞：完全弹性碰撞（也可以简称“弹性碰撞”）、非弹性碰撞和完全非弹性碰撞，一般作为考题，动量都守恒。
一、碰撞速度不等式。
设碰撞的两个物体，质量为m1和m2，碰撞前速度为v1和v2（不相等），对心碰撞后速度为v1’和v2’，当v1＞v2时，
（此处指的是代数值，即有正负，尽管矢量正负不代表大小，但此处是按代数值算，正大于负，比如规定向右为正方向，则向右的5m/s记为5m/s，向左的10m/s记为-10m/s，5 m/s＞-10 m/s）
若v1’＞v2’，则还会再次发生碰撞，所以不可能，
所以若v1＞v2，则必有v1’≤v2’。
动量守恒：

变形为：
………………①
动能未必守恒，仅当完全弹性碰撞时才守恒，即初动能≥末动能

变形为
………………②
②÷①得
※推论1：v1+v1’≥v2+v2’（三种动量守恒的碰撞都必然符合）
仅当完全弹性碰撞时，等号才成立。

二、动碰静模型速度范围。
最常考的碰撞是一个动球去碰撞一个静球，这种情况，v2=0。如果是完全弹性碰撞，v1+v1’= v2’。
而对于这种一动一静的题，静球肯定加速，动球肯定减速或者反弹回去，那么
静球（被撞）何时获得速度最大？答：完全弹性碰撞时。此时，动球（主撞）速度减少也最多。
静球（被撞）何时获得速度最小？答：完全非弹性碰撞时。此时，动球（主撞）速度减少也最少。
所以，若弹性碰撞，v1完弹’最小，v1完非’最大，同理v2完弹’最大，v2完非’最小。
推论2：动碰静模型（满足动量守恒）中，末速度满足：
v1完弹’≤v1’≤v1完非’
v2完非’≤v2’≤v2完弹’
又由于v1完非’=v2完非’ =v完非’，
所以也可以直接写成v1完弹’≤v1’≤v完非’≤v2’≤v2完弹’

三、等质量物体弹性碰撞速度关系。
若两个质量完全相等的小球，发生完全弹性碰撞，速度会有什么样的关系？
两个小球A和B，质量均为m，碰撞前速度为v1和v2（不相等），对心碰撞后速度为v1’和v2’。
根据动量守恒定律：
mv1+mv2=mv1’+mv2’
化简：
v1+v2=v1’+v2’………………①
又因为是完全弹性碰撞，动能也守恒，根据上述推论1可知：
v1+v1’=v2+v2’………………②
①②相加，可得：
v2’= v1
①②相减，可得：
v1’= v2
即A的末速是B的初速，B的末速也是A的初速，说简单点，两球交换速度。
推论3：质量相等两物体发生完全弹性碰撞，速度互相交换。

四、动碰静、弹性碰撞末速度公式。
动碰静模型中（v2=0），若发生的是完全弹性碰撞，根据动量守恒和动能守恒两个等式，可以推导出一个计算公式：
※推论4：，（仅限于动碰静、弹性碰撞模型）
（如果记不住，可以用v1+ v1完弹’= v2完弹’或者等质量交换速度案例来验证）

*五、动碰静、弹性碰撞末速度极限。（记住结论即可）
一个动的物体A撞一个静物B，发生完全弹性碰撞，两球的末速度会有什么样的取值范围呢？
想象一下，如果A特别重，B特别轻，A撞了B，B会被撞飞，而A不会受多大影响；
如果A特别轻，B特别重，A撞了B，B几乎不动，而A会弹回来；
可见，两物体的末速度与质量之比有关。
再用推论4的公式推导一下。
设A物体质量m1，B物体质量m2，A的初速度为vA（定义为正），两物体的末速度为vA’和vB’。
，，
1.若A重于B，m1>m2，
看A：，则，且与同号，即A物体继续向前，但速度减小；且A比B越重，A的末速度越快，但总小于A原速。

看B：，，即B物体比A物体的原速快些；且A比B越重，B的末速度越快，但总小于A原速的2倍。
2.若A远远重于B，m1>>m2，则，，即A的速度接近于不变，而B的速度接近于2vA（B末速度的上限）。（无限接近，但达不到）
所以，无论A比B重多少，也不可能让B变得无限快。这个可能有悖于一般人的想象。
3.若AB质量相等，m1=m2，则，
符合推论3。
4.若B重于A，m2>m1，
看A：，则，即A被弹回，但速度的绝对值没有A的原速大；B比A重得越多，A末速度的绝对值越大，即弹回的速度越快。
看B：，则，即B向前，但速度比A的原速小，B比A重得越多，B的末速度越小。
5.若B远远重于A，m2>>m1，则，，即A几乎被原速弹回，B几乎不动。
6.若理想条件下，B是个固定的弹性墙壁（或板，相当于m2=+∞），则B不会动，，，即A原速弹回（A末速度的下限），B不动。（理想条件下，这都是可以达到的）
上述6种情况都是完全弹性碰撞的模型，其实，如果发生的是非弹性甚至完全非弹性碰撞，AB的末速度也在这个范围内，所以这个范围也是全部三种碰撞的范围。
综上，得出：
*推论5：动碰静模型下，由于质量的不确定性，A和B的末速度范围：
-vA≤vA’＜vA
B比A重 A比B重
0≤vB’＜2vA

等号仅当B是个固定板壁（相当于质量无穷大）、发生完全弹性碰撞时可取

道理讲完了，那么问题来了：
挖掘机
例1：质量为1kg的小球以4m/s的速度与质量为2kg的静止小球正碰，碰撞后的速度可能是（　　）
A．m/s，m/s B．-1m/s，2.5m/s
C．1m/s，1.5m/s D．-4m/s，4m/s
解析：没给别的条件，所以动量默认为守恒。
第一步，先判断两个末速度的大小，由于v1＞v2，必须满足v1’≤v2’，发现四个选项都符合。
第二步，用动量守恒定律验证，发现四个选项也都符合。
第三步，如果按常规方法，可以分别算动能的大小。如果用今天学的这两个推论，解题就会快得多。
①用推论1，v1+v1’≥v2+v2’必须成立这一条件来验证，
ABC都符合，D不符合。所以选ABC。
②由于是动碰静模型，可以用推论2，两球完全弹性碰撞时，动量动能都守恒。
依据完全弹性动碰静的结论：
，
（这个结论如果是小题可以用，如果是大题，需要先列动量守恒和动能守恒的两个等式，再变形成这样才可以）
解得v1完弹’=-m/s，v2完弹’=m/s
两球完全非弹性碰撞时，两球最后共速：

解得v完非’=m/s。
所以-m/s≤v1’≤m/s≤v2’≤m/s
验证一下，ABC符合，D不符合。所以选ABC。
③如果用推论5，可以直接判断出D答案是错误的，因为小球原速弹回的唯一条件是撞弹性墙，本题显然达不到。

例2：质量为m、速度为v的A球跟质量为3m的静止B球发生正碰。碰撞可能是弹性的，也可能是非弹性的，因此，碰撞后B球的速度可能有不同的值。碰撞后B球的速度大小可能是（　　）
A．0.6v B．0.4v C．0.2v D．1v
解析：本题用推论2比较简单。

解得0.25v≤v2’≤0.5v，选B。

例3：两球A、B在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，mA=1kg、mB=2kg、vA=6m/s、vB=2m/s．当球A追上球B并发生碰撞后，两球A、B速度的可能值是（取两球碰撞前的运动方向为正）（　　）
A．vA’=5m/s，vB’=2.5m/s B．vA’=2m/s，vB’=4m/s
C．vA’=-4m/s，vB’=7m/s D．vA’=7m/s，vB’=1.5m/s
解析：第一步，由于vA＞vB，必须vA’≤vB’，所以AD排除；
第二步，再用动量守恒验证一下，BC都符合；
第三步，用推论1更简单一些，v1+v1’≥v2+v2’必须成立，B符合，C不符合，所以选B。

例4：（节选）两位同学用如图1所示装置，通过半径相同的A、B两球的碰撞来验证动量守恒定律。
测量所得入射球A的质量为mA，被碰撞小球B的质量为mB，图11中O点是小球抛出点在水平地面上的垂直投影，实验时，先让入射球A从斜轨上的起始位置由静止释放，找到其平均落点的位置P，测得平抛射程为OP；再将入射球A从斜轨上起始位置由静止释放，与小球B相撞，分别找到球A和球B相撞后的平均落点M、N，测得平抛射程分别为OM和ON。当所测物理量满足表达式 时，即说明两球碰撞中动量守恒；如果满足表达式 时，则说明两球的碰撞为完全弹性碰撞。
M
P
N
O
A
B

图1
解析：由于平抛运动可以分解成竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动，竖直高度相同，则运动时间相同，由水平位移之比就等于水平速度之比，而水平速度就是碰撞后的末速度。
OP=vt，OM=vAt，ON=vBt，
动量守恒的表达式是
mAv=mAvA+mBvB
所以第一空的表达式：mA·OP=mA·OM +mB·ON
又由于动量和动能都守恒，所以满足v1+v1’=v2+v2’，
在本题中v1=v，v1’=vA，v2=0，v2’=vB，
所以写成v+vA=vB，
同上题的原理，最后写成OP+OM=ON

例5（2012•西城区二模）如图所示，一半径为R的圆弧形轨道固定在水平地面上，O为最低点，轨道末端A、B两点距离水平地面的高度分别为h和2h，h<<R。分别从A、B两点同时由静止释放甲、乙两个完全相同的小球。不计轨道与球之间的摩擦及空气阻力，不计两球碰撞过程中的机械能损失，则（　　）
A．碰撞后乙球经过2π的时间再次回到点O
B．碰撞后乙球落到水平地面上时的速度大小为
C．碰撞后甲球落到水平地面上时的速度大小为
D．碰撞的瞬间前后相比较，轨道对地面的压力变小
解析：这既是一个单摆模型，又是一个完全弹性碰撞模型，还是一个机械能守恒模型。
由于h<<R，可以把这两个球在圆弧上的运动当成单摆，那么回到最低点的时间都是T，所以两球能够在最低点水平相撞，由于是水平相撞，水平方向无外力，所以动量守恒。又由于无机械能损失，所以是完全弹性碰撞。
根据推论3，完全弹性碰撞，两小球质量又相等，所以两球交换速度。
根据滚下时机械能守恒，可以算得v甲=，v乙=，撞后交换速度，
则v甲’=向左，v乙’=向右，甲的机械能变大，会达到比初始位置高的地方，则会飞出轨道落到地面，落到地面过程中机械能守恒，所以落地的速度还是，C正确。
同理B错误。
乙从相撞，到再次回到最低点O，是T=π,所以A错误。
由于相撞瞬间，动能不变，总的mv2不变，总的mv2，压力与向心力有关，根据向心力公式，mv2不变，R也不变，所以向心力也不变，压力也不变，D错误。
所以选C。
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