小学小升初奥数类型题总复习.doc

小学奥数知识点及典型题第一部分 经典小升初奥数类型题集锦1计算1）特殊数列求和运用相关公式： 1+2+3+4（n-1）+n+（n-1）+4+3+2+1=n数论奇偶性问题奇奇=偶 奇奇=奇奇偶=奇 奇偶=偶偶偶=偶 偶偶=偶位值原则形如：=100a+10b+c2）数的整除特征：数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。我们把学过的一些整除的数字特征列出来：整除数特 征2末尾是0、2、4、6、83各数位上数字的和是3的倍数5末尾是0或59各数位上数字的和是9的倍数11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数4和25末两位数是4（或25）的倍数8和125末三位数是8（或125）的倍数7、11、13末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数例1 在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728，8064。解：能被4整除的数有7756，3728，8064；能被8整除的数有3728，8064；能被9整除的数有234，8865，8064。例2， 从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。,解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。根据三位数能被3整除的特征，数字和270与570都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。例3、五位数能被72整除，问：A与B各代表什么数字？分析与解：已知能被72整除。因为7289，8和9是互质数，所以既能被8整除，又能被9整除。根据能被8整除的数的特征，要求能被8整除，由此可确定B6。再根据能被9整除的数的特征，的各位数字之和为A329BA3f296A20，因为lA9，所以21A2029。在这个范围内只有27能被9整除，所以A7。练习：1、六位数5A634B能被33整除，求A+B。2、七位数3A8629B是88的倍数，求A和B。2植树问题 在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都植树。基本公式：棵树=段数1；棵距（段长）段数=总长在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树。基本公式：棵树=段数1；棵距（段长）段数=总长在封闭曲线上植树： 基本公式：棵树=段数；棵距（段长）段数=总长 关键问题：确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系。基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树基本公式棵数=段数1棵距段数=总长棵数=段数1棵距段数=总长棵数=段数棵距段数=总长关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系【例题1】一条河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，头尾都栽，共栽多少棵 垂柳？解：1362168169（棵）答：一共要栽 69 棵垂柳。例2、马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？分析 张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了；只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度.解：5分钟汽车共走了：9（501-1）=4500（米），汽车每分钟走：45005=900（米），汽车每小时走： 90060=54000（米）=54（千米）列综合式：9（501-1）5601000=54（千米）1、一个圆形花坛，周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？2. 一个圆形池塘周长为 400 米，在岸边每隔 4 米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？3,和差倍问题和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系公式(和差)2=较小数较小数差=较大数和较小数=较大数(和差)2=较大数较大数差=较小数和较大数=较小数和(倍数1)=小数小数倍数=大数和小数=大数差(倍数-1)=小数小数倍数=大数小数差=大数关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数例题1，和倍问题【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。【数量关系】总和 （几倍1）较小的数总和 较小的数 较大的数较小的数 几倍 较大的数【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。【例题】果园里有杏树和桃树共 248 棵，桃树的棵数是杏树的 3 倍，求杏树、桃树各多少棵？解：（1）杏树有多少棵？248（31）62（棵）（2）桃树有多少棵？623186（棵）答：杏树有 62 棵，桃树有 186 棵。1. 东西两个仓库共存粮 480 吨，东库存粮数是西库存粮数的 1.4 倍，求 两库各存粮多少吨？例题2，和差问题【含义】已知两个数量的和与差，求两个数量各是多少，这类应用题叫和 差问题。【数量关系】大数（和差） 2小数（和差） 2【解题思路】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。【例题】甲乙两班共学生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有多少人？ 解：甲班人数（986）252（人）乙班人数（986）246（人）答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。1. 长方形的长和宽之和为 18 厘米，长比宽多 2 厘米，求长方形的面积?16. 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重 32 千克，乙丙两袋共重 30 千克，甲丙两袋共重 22 千克，求三袋化肥各重多少千克。例题3，差倍问题【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。【数量关系】两个数的差（几倍1）较小的数较小的数几倍较大的数【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。【例题】果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍，而且桃树比杏树多 124 棵。求杏树、桃树各多少棵？解：（1）杏树有多少棵？124（31）62（棵）（2）桃树有多少棵？623186（棵）答：果园里杏树是 62 棵，桃树是 186 棵。21. 爸爸比儿子大 27 岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的 4 倍，求父子二人今年各是多少岁？4年龄问题的三个基本特征：两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；两个人的年龄的倍数是发生变化的；【例题】爸爸今年 35 岁，亮亮今年 5 岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？解3557（倍）（35+1）（5+1）6（倍）答：今年爸爸的年龄是亮亮的 7 倍，明年爸爸的年龄是亮亮的 6 倍。28. 母亲今年 37 岁，女儿 7 岁，几年后母亲年龄是女儿的 4 倍？29. 3 年前父子的年龄和是 49 岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍，父 子今年各多少岁？5，平面图形多边形的内角和N边形的内角和=(N-2)180等积变形（位移、割补） 三角形内等底等高的三角形 平行线内等底等高的三角形 公共部分的传递性 极值原理（变与不变）三角形面积与底的正比关系 S1S2 =ab ； S1S2=S4S3 或者S1S3=S2S4相似三角形性质（份数、比例） ; S1S2=a2A2S1S3S2S4= a2b2abab ; S=（a+b）2燕尾定理SABG：SAGCSBGE：SGECBE：EC；SBGA：SBGCSAGF：SGFCAF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB；6，立体图形规则立体图形的表面积和体积公式不规则立体图形的表面积整体观照法体积的等积变形 水中浸放物体：V升水=V物 测啤酒瓶容积：V=V空气+V水三视图与展开图 最短线路与展开图形状问题染色问题 几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。名称图形特征表面积体积长方体8个顶点；6个面；相对的面相等；12条棱；相对的棱相等；S=2(ab+ah+bh)V=abh=Sh正方体8个顶点；6个面；所有面相等；12条棱；所有棱相等；S=6a2V=a3圆柱体上下两底是平行且相等的圆；侧面展开后是长方形；S=S侧+2S底S侧=ChV=Sh圆锥体下底是圆；只有一个顶点；l:母线，顶点到底圆周上任意一点的距离；S=S侧+S底S侧=rlV=Sh球体圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。S=4r2V=r35鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式：把所有鸡假设成兔子：鸡数（兔脚数总头数总脚数）（兔脚数鸡脚数）把所有兔子假设成鸡：兔数（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。例1、鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？解：先假设它们全是鸡。于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看多多少。每多2只脚就说明有一只兔；将所多的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔子。假设全是鸡，则足有：24692(只) 比总足数少的： 1289236 (只) 这些是因为兔子只算了2足，每只兔子还有2足没算，所以：兔子有36218 (只) 鸡有461828(只)例2、鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？分析 这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？假设100只全是鸡，那么脚的总数是2100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有1206=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。【例题】长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？解：假设 35 只全为兔，则鸡数（43594）（42）23（只）兔数352312（只）也可以先假设 35 只全为鸡，则兔数（94235）（42）12（只）鸡数351223（只）答：有鸡 23 只，有兔 12 只。练习. （第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有 100 只，鸡的脚比兔的脚多 80 只，问鸡与兔各多少只？6盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量基本题型：一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数（余数不足数）两次每份数的差当两次都有余数；基本公式：总份数（较大余数一较小余数）两次每份数的差当两次都不足；基本公式：总份数（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。盈亏问题【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈）， 一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类 应用题叫做盈亏问题。【数量关系】一般地说，在两次分配中，1）如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总人数（盈亏）分配差2） 如果两次都盈或都亏，则有： 参加分配总人数（大盈小盈）分配差 3）参加分配总人数（大亏小亏）分配差【解题思路】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。【例题】给幼儿园小朋友分苹果，若每人分 3 个就余 11 个；若每人分 4 个就少 1 个。问有多少小朋友？有多少个苹果？ 解：按照“参加分配的总人数（盈亏）分配差”的数量关系：（1）有小朋友多少人？（111）（43）12（人）（2）有多少个苹果？3121147（个）答：有小朋友 12 人，有 47 个苹果。31. 修一条公路，如果每天修 260 米，修完全长就得延长 8 天；如果每天修 300 米，修完全长仍得延长 4 天。这条路全长多少米？32. 学校组织春游，如果每辆车坐 40 人，就余下 30 人；如果每辆车坐 45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？7牛吃草问题【含义】牛吃草问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。【数量关系】草总量原有草量草每天生长量天数【解题思路】解这类题的关键是求出草每天的生长量。基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量。基本公式：生长量=（较长时间长时间牛头数 - 较短时间短时间牛头数）（长时间-短时间）；总草量= 较长时间长时间牛头数- 较长时间生长量；一、牛吃草问题之基本例1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？分析与解：牧场上原有的草是不变的，草地每天新长出的草的数量相同。设1头牛一天吃的草为1份。10头牛20天吃：200份，15头牛10天吃：150份，20015050（份），201010（天），说明牧场10天长草50份，1天长草5份。原有草：（l05） 20100（份）或（155）10100（份）。当有25头牛时，每天吃了25份，又新长出来5份，所以每天减少20份所以，这片草地可供25头牛吃：100205（天）。【例2】一块草地，10 头牛 20 天可以把草吃完，15 头牛 10 天可以把草 吃完。问多少头牛 5 天可以把草吃完？ 解：草是均匀生长的，所以，草总量原有草量草每天生长量天数。求“多少头牛 5 天可以把草吃完”，就是说 5 天内的草总量要 5 天吃完 的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为 1，按以下步骤解答：（1）求草每天的生长量因为，一方面 20 天内的草总量就是 10 头牛 20 天所吃的草，即（11020）；另一方面，20 天内的草总量又等于原有草量加上 20 天内的生长量，所以 11020原有草量20 天内生长量，同理 11510原有草量10 天内生长量，由此可知（2010）天内草的生长量为110201151050。因此草每天的生长量为 50（2010）5。（2）求原有草量原有草量10 天内总草量10 内生长量11510510100（3）求 5 天内草总量5 天内草总量原有草量5 天内生长量10055125（4）求多少头牛 5 天吃完草因为每头牛每天吃草量为 1，所以每头牛 5 天吃草量为 5。因此 5 天吃完草需要牛的头数：125525（头）答：需要 5 头牛 5 天可以把草吃完。练习. 有一块草场，可供 15 头牛吃 8 天，或可供 8 头牛吃 20 天。如果一群牛 14 天将这块草场的草吃完，那么这群牛有多少头？二、牛吃草问题之检票问题例2 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？分析与解：等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。设1个检票1分钟检票的人数为1份。4个检票30分钟通过：（430）份，5个检票20分钟通过：（520）份，说明在（30-20）分钟内新来旅客（430-520）份，所以每分钟新来旅客（430-520）（30-20）=2（份）。可以求出原有旅客为（4-2）30=60（份）或（5-2）20=60（份）。同时打开7个检票时，每分钟减少7份，增加2份，就是每分钟减少原有的5份，或者理解为，让2个检票专门通过新来的旅客，其余的检票通过原来的旅客，需要60（7-2）=12（分）。三、牛吃草问题之抽水问题例3、 一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？分析与解：先进的水相当于原有的草，后放的水相当于后长的草，出水管排水相当于牛吃草。设出水管每分钟排出水池的水为1份，则2个出水管8分钟所排的水是2816（份），3个出水管5分钟所排的水是3515（份），两者相差1份，相差3分，所以每分钟的进水量是,可以求出先放过水的水量为16813因为每分进，的以用的时间是1340分答：出水管比进水管晚开40分钟。四、牛吃草问题之天牛吃草例4 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？分析与解：与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。设1头牛1天吃的草为1份。20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，相差：100-90 =10（份），相差1天，所以牧场1天减少青草10份，或者说寒冷相当于10头牛吃草。所以牧场原有草：205105150（份）。15010105头。五、牛吃草问题之上楼梯问题例5 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？分析与解：“扶梯的梯级总数”相当于 “总的草量”，“梯级上升”相当于“牛吃掉”，也可以看成牛吃草问题。男孩5分钟走了205 100（级），女孩6分钟走了15690（级），女孩比男孩多走一分钟，电梯也就多转一分钟，多了10（级），说明电梯1分钟上升10级。由男孩5分钟到达楼上，他走了205100级扶梯5分钟本身上升10550级，所以：10050150（级）。练习：1、有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？ 2、经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少亿人？8，逻辑推理逻辑推理的方法主要不是依靠数学概念、法则、公式进行运算，而是 根据条件和结论之间的逻辑关系进行合理的推理，做到正确的判断，最终 找到问题的答案。逻辑推理问题的条件一般说来都具有一定的隐蔽性和迷 惑性，并且没有一定的解题模式。因此，要正确解决这类问题，不仅需要 始终保持灵活的头脑，更需要遵循逻辑思维的基本规律 同一律，矛盾律 和排中律。“矛盾律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想不能自相矛盾。“排中律”指的是在同一思维过程中，一个思想或为真或为假，不能既不真也不假。“同一律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想必须是确定的，在进行判断和推理的过程中，每一概念都必须在同一意义下使用。例1、李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举行混合双打比赛.事先规定.兄妹二人不许搭伴。第一盘，李明和小华对张虎和小红；第二盘，张虎和小林对李明和王宁的妹妹。请你判断，小华、小红和小林各是谁的妹妹。解：因为张虎和小红、小林都搭伴比赛，根据已知条件，兄妹二人不许搭伴，所以张虎的妹妹不是小红和小林，那么只能是小华，剩下就只有两种可能了。第一种可能是：李明的妹妹是小红，王宁的妹妹是小林；第二种可能是：李明的妹妹是小林，王宁的妹妹是小红。对于第一种可能，第二盘比赛是张虎和小林对李明和王宁的妹妹.王宁的妹妹是小林，这样就是张虎、李明和小林三人打混合双打，不符合实际，所以第一种可能是不成立的，只有第二种可能是合理的。所以判断结果是：张虎的妹妹是小华；李明的妹妹是小林；王宁的妹妹是小红。练习：1、甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。赵说：“甲是2号，乙是3号.”钱说：“丙是4号，乙是2号.”孙说：“丁是2号，丙是3号.”李说：“丁是4号，甲是1号.”又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几？9. 浓度问题【含义】在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究 的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例 如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质 的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。【数量关系】溶液溶剂溶质浓度溶质溶液100%【解题思路】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。【例题】爷爷有 16%的糖水 50 克，（1）要把它稀释成 10%的糖水，需加 水多少克？（2）若要把它变成 30%的糖水，需加糖多少克？ 解：（1）需要加水多少克？5016%10%5030（克）（2）需要加糖多少克？50（116%）（130%）5010（克）答：（1）需要加水 30 克，（2）需要加糖 10 克。1. 要把 30%的糖水与 15%的糖水混合，配成 25%的糖水 600 克，需要 30%和 15%的糖水各多少克？10.工程问题【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。 这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工 程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常 用单位“1”表示工作总量。【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工 作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之 几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者的关系列出算式。 工作量工作效率工作时间工作时间工作量工作效率工作时间总工作量（甲工作效率乙工作效率）【解题思路】变通后可以利用上述数量关系的公式。1、一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？2、师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务，师傅先做5天后，因事外出，由徒弟接着做3天，共完成任务的7/10，如果每人单独做这批零件各需几天？3、一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成，甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成，如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？4、蓄水池有一条进水管和一排水管，要灌满一池水，单开进水管需要5小时，排光一池水，单开排水管需3小时。现在池内有半池水，如果按进水、排水、进水、排水的顺序轮流各开1小时，问：多上时间后水池的水刚好排完？（精确到分钟）5、甲乙二人植树，单独植完这批树甲比乙所需要的时间多1/3，如果二人一起干，完成任务时乙比甲多植树36棵，这批树一共多少棵？6、一项工程，甲单独做需要12小时完成，乙单独做需要18小时完成，若甲先做1小时，然后乙接着做1小时，再由甲接着做1小时，两人如此交替工作，问完成任务时，共用了多少小时？7，一项工程，甲队单独做需要 10 天完成，乙队单独做需要 15 天完 成，现在两队合作，需要几天完成？ 解：题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量， 因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需 10 天完成，那么每天 完成这项工程的 1/10；乙队单独做需 15 天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/101/15）。 由此可以列出算式： 1（1/101/15）11/66（天） 答：两队合做需要 6 天完成。练习1，. 一批零件，甲独做 6 小时完成，乙独做 8 小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做 24 个，求这批零件共有多少个？2. 一件工作，甲独做 12 小时完成，乙独做 10 小时完成，丙独做 15 小 时完成。现在甲先做 2 小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才 能完成？11（综合行程问题）基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.基本公式：路程=速度时间；路程时间=速度；路程速度=时间关键问题：确定运动过程中的位置和方向。相遇问题：速度和相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）追及问题：追及时间路程差速度差（写出其他公式）流水问题：顺水行程=（船速+水速）顺水时间逆水行程=（船速-水速）逆水时间顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速静水速度=（顺水速度+逆水速度）2水 速=（顺水速度-逆水速度）2流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。主要方法：画线段图法基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。多次相遇线型路程： 甲乙共行全程数=相遇次数2-1环型路程： 甲乙共行全程数=相遇次数其中甲共行路程=单在单个全程所行路程共行全程数环形跑道行程问题中正反比例关系的应用路程一定，速度和时间成反比。速度一定，路程和时间成正比。时间一定，路程和速度成正比。钟面上的追及问题。 时针和分针成直线；时针和分针成直角。结合分数、工程、和差问题的一些类型。行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。例题1，相遇问题【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应 用题叫做相遇问题。【数量关系】相遇时间总路程（甲速乙速）总路程（甲速乙速）相遇时间【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利 用公式。【例 1】 甲、乙二人分别从相距 30 千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走 6 千米，乙每小时走 4 千米，问：二人几小时后相遇？【解】30（64）3（小时）答：3 小时后两人相遇.【例 2】甲、乙两人分别沿周长为 400 米的操场，同时出发同向而行，甲 每分钟走 60 米，乙每分钟走 40 米，问两人多少分钟后再次相遇？【解】两人相遇的情况是：甲领先乙以后，超过乙 1 圈再度赶上乙。则此题转化为追击问题了。追击路程为 1 个周长。400（60-40）=20（分钟）答：20 分钟后两人再度相遇.巩固练习1.甲乙两地相距 300 千米，一辆客车和货车同时从两地相向而行，5 小时后，在途中相遇，客车每小时行 40 千米，货车每小时行多少千米？2.从北京到沈阳的铁路长 738 千米两列火车从两地同时相对开出，北 京开出的火车，平均每小时行 59 千米；沈阳开出的火车，平均每小 时行 64 千米两车开出后几小时相遇？ 例题2 ，追及问题【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时 出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速 度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前 面的物体。这类应用题就叫做追及问题。【数量关系】追及时间追及路程（快速慢速） 追及路程（快速慢速）追及时间【解题思路和方法】简单的题目直接用公式，复杂的题目变通后利用公式。【例 1】下午放学时，弟弟以每分钟 40 米的速度步行回家.5 分钟后，哥 哥以每分钟 60 米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可 以追上弟弟？（假定学校到家足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）.【解】若经过 5 分钟，弟弟已到了 A 地，此时弟弟已走了 405=200；405（60-40）=10（分钟）答：哥哥 10 分钟可以追上弟弟。【例 2】甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发，如果两人同向而行，甲26 分钟赶上乙；如果两人相向而行，6 分钟可相遇，又已知乙每分钟行 50米，求 A、B 两地的距离。【解】 先画图如下若设甲、乙二人相遇地点为 C，甲追及乙的地点为 D，则由题意可知 甲从 A 到 C 用 6 分钟.而从 A 到 D 则用 26 分钟，因此，甲走 C 到 D 之间的 路程时，所用时间应为：（26-6）=20（分）。同时，由上图可知，C、D 间的路程等于 BC 加 BD.即等于乙在 6 分钟内所走的路程与在 26 分钟内所 走的路程之和，为 50（266）=1600（米）.所以，甲的速度为 16002080（米/分），由此可求 A、B 间的距离。50（26+6）（26-6）=50322080（米/分）（80+50）61306=780（米）答：A、B 间的距离为 780 米。巩固练习233.好马每天走 120 千米，劣马每天走 75 千米，劣马先走 12 天，好马几天能追上劣马？234.一辆客车从甲站开往乙站，每小时行 48 千米；一辆货车同时从乙站 开往甲站，每小时行 40 千米，两车在距两站中点 16 千米处相遇，求 甲乙两站的距离。,例题3， 火车过桥【例 1】一条隧道长 360 米，某列火车从车头入洞到全车进洞用了 8 秒钟， 从车头入洞到全车出洞共用了 20 秒钟。这列火车长多少米？ 分析与解：画出示意图解：火车 8 秒钟行的路程是火车的全长，20 秒钟行的路程是隧道长加火 车长。因此，火车行隧道长（360 米）所用的时间是（20-8）秒钟，即可 求出火车的速度。火车的速度是 360（20-8）=30（米/秒）。火车长 308=240（米）。答：这列火车长 240 米【例 2】铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南 行进，行人速度为 3.6 千米/时，骑车人速度为 10.8 千米/时，这时有一 列火车从他们背后开过来，火车通过行人用 22 秒，通过骑车人用 26 秒， 这列火车的车身总长是多少？解：本题属于追及问题，行人的速度为 3.6 千米/时=1 米/秒，骑车人的速 度为 10.8 千米/时=3 米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路 程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为 x 米/秒， 那么火车的车身长度可表示为（x-1）22 或（x-3）26，由此不难列出 方程。法一：设这列火车的速度是 x 米/秒，依题意列方程，得（x-1）22=（x-3）26。解得 x=14。所以火车的车身长为（14-1）22=286（米）。 法二：直接设火车的车长是 x, 那么等量关系就在于火车的速度上。 可得：x/263x/221这样直接也可以 x=286 米 法三：既然是路程相同我们同样可以利用速度和时间成反比来解决。 两次的追及时间比是：22：2611：13所以可得：（V 车1）：（V 车3）13：11可得 V 车14 米/秒所以火车的车长是（14-1）22=286（米）例题4，流水行船流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。在小 学数学中涉及到的题目，一般是匀速运动的问题。这类问题的主要特点是， 水速在船逆行和顺行中的作用不同。顺水速度=船速+水速（1） 逆水速度=船速-水速（2）这里，顺水速度是指船顺水航行时单位时间里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在静水中单位时间里所行的路程；水速是指水在单位时间里流过的路程。公式（1）表明，船顺水航行时的速度等于它在静水中的速度与水流 速度之和。这是因为顺水时，船一方面按自己在静水中的速度在水面上行