华南农业大学2014-2015数学分析期末考试试卷.doc

华南农业大学期末考试试卷答案2014-2015学年第 2 学期考试科目：数学分析BII 一、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分）函数项级数在的每一项都有连续的导数，且在某点收敛，且_在上一致收敛,则有 2.在上平均值为3. 幂级数的收敛域为4.已知的一个原函数是，则=5. 设函数，则得分二、解答题（每题6分，共48分） (1) (2) (1) (2) （2分）(3) 解:令，则（2分）（4）解:令, 则（1分）(5) 求圆域（其中）绕轴旋转而成的立体的体积.解：上半圆和下半圆可分别表示为（1分）（3分）体积为（6分）(6) 求星形线的全长.解：由弧长的参数方程公式得:（7）讨论是否收敛？若收敛，则求其值.解（1）当时，有=。（1分）因最后的极限不存在，故当时，不收敛（2分）当时故仅当时，收敛，其值为，时发散。（6分）（8），绕轴所得旋转曲面的面积.解：由旋转体侧面积公式，得1.5CM三（本题7分）证明不等式解：设，则，得在上唯一的驻点为，可验证它是极大值点，而可导函数唯一的极大值必为最大值，所以为函数在上的最大值。（2分）又，且，故.为在上的最小值。（4分）从而，由此得.（6分）四（本题12分）判断级数的收敛性（1） （2）（1） 由于收敛，且单调，有界（4分）。 由于Abel判别法可得级数收敛（6分）。，故该级数收敛（6分）五（本题10分）求下列幂级数的和函数（应同时指出定义域）：解：因为=，且时，与都是发散级数，所以幂级数的收敛区域为，（4分）设其和函数为，于是当时，逐项求导数可得，所以，（）（10分）六（本题8分）下面两小题请任选一题：（1） 过轴且与平面的夹角为，求此平面方程.（2） 设求此函数的幂级数展开式.解：（1）因所求平面过轴，故该平面的法向量垂直于轴，在轴上的投影，又平面过原点，所以可设它的方程为，（2分）由题设可知（因为时，所求平面方程为又，即这样它与已知平面所夹锐角的余弦为，（4分）所以），令，则有，由题设得，解得或，于是所求平面方程为或(2)当时，有 =+ = = =（7分） （当时，右端收敛，所以有）（8分）