华南农业大学2014-2015数学分析期末考试试卷.doc

华南农业大学期末考试试卷答案
2014-2015学年第 2 学期　考试科目：　数学分析BII 　　
一、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分）
函数项级数在的每一项都有连续的导数，且在某点收敛，且_在上一致收敛,则有

2.在上平均值为
3. 幂级数的收敛域为
4.已知的一个原函数是，则
=
5. 设函数，则
得分

二、解答题（每题6分，共48分）
(1) (2)
(1)
(2) （2分）

(3)
解:令，则（2分）

（4）
解:令, 则（1分）

(5) 求圆域（其中）绕轴旋转而成的立体的体积.
解：上半圆和下半圆可分别表示为
（1分）
（3分）
体积为（6分）
(6) 求星形线的全长.
解：由弧长的参数方程公式得:

（7）讨论是否收敛？若收敛，则求其值.
解（1）当时，有

=。（1分）
因最后的极限不存在，故当时，不收敛（2分）
当时

故仅当时，收敛，其值为，时发散。（6分）
（8），绕轴所得旋转曲面的面积.

解：
由旋转体侧面积公式，得

1.5CM
三（本题7分）证明不等式
解：设，则，得在上唯一的驻点为，
可验证它是极大值点，而可导函数唯一的极大值必为最大值，
所以为函数在上的最大值。（2分）
又，，
且，
故..为在上的最小值。（4分）
从而，由此得.（6分）
四（本题12分）判断级数的收敛性
（1） （2）
（1） 由于收敛，且单调，有界（4分）。
由于Abel判别法可得级数收敛（6分）。
，
故该级数收敛（6分）
五（本题10分）求下列幂级数的和函数（应同时指出定义域）：

解：因为=，且时，与都是发散级数，所以幂级数的收敛区域为，（4分）
设其和函数为，于是当时，逐项求导数可得
，所以，（）（10分）
六（本题8分）下面两小题请任选一题：
（1） 过轴且与平面的夹角为，求此平面方程.
（2） 设求此函数的幂级数展开式.

解：（1）
因所求平面过轴，故该平面的法向量垂直于轴，在轴上的投影，又平面过原点，所以可设它的方程为，（2分）
由题设可知（因为时，所求平面方程为又，即．这样它与已知平面所夹锐角的余弦为
，（4分）所以），令，则有，由题设得
，
解得或，于是所求平面方程为或
(2)
当时，有

=+
=
=
=（7分）

（当时，右端收敛，所以有）（8分）