资源描述
►基础梳理
1．基本初等函数的导数公式．
(1)若f(x)＝c，则f′(x)＝0；
(2)若f(x)＝xn(n∈Q*)，则f′(x)＝nxn－1；
(3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos_x；
(4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin_x；
(5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝axln_a(a＞0且a≠1)；
(6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex；
(7)若f(x)＝logax，则f′(x)＝(a＞0，且a≠1)；
(8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝．
2．导数运算法则．
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝[g(x)≠0]．,►自测自评
1．下列各式中正确的是(C)
A．(sin a)′＝cos a(a为常数)
B．(cos x)′＝sin x
C．(sin x)′＝cos x
D．(x－5)′＝－x－6
2．函数y＝x2的导数是2x．
3．已知函数f(x)＝，则f′(－3)等于－．
解析：∵f′(x)＝－，
∴f′(－3)＝－＝－.
1．已知f(x)＝excos x，则f′的值为(C)
A．eπ B．－eπ
C．－e D．以上均不对
2．曲线y＝在x＝－2处的切线方程为(B)
A．x＋y＋4＝0
B．x－y＋4＝0
C．x－y＝0
D．x－y－4＝0
解析：y′＝′＝＝，
k＝＝1，
y＝＝2，故切点坐标为(－2，2)．
切线方程为x－y＋4＝0，故选B.
3．已知物体的运动方程为s＝t2＋＋1n t－1(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝3时的速度为________．
解析：∵s′(t)＝2t－＋，∴s′(3)＝6.
答案：6
4．已知函数y＝.
(1)求函数的导数；
(2)求函数在x＝π处的切线方程．
解析：(1)y′＝′＝
＝.
(2)y′|x＝π＝＝，
又当x＝π时，y＝＝－，
∴切线方程为y＋＝(x－π)，
即x－π2y－2π＝0.
5．(1)已知函数f(x)＝x2(x－1)，当x＝x0时，有f′(x0)＝f(x0)，求x0；
(2)已知f＝，求f(x)的导数f′(x)．
解析：(1)直接求导后，代入已知，即可得方程，解方程得到x0＝0，或x0＝2±；
(2)先用换元法求出f(x)＝，于是得到，f′(x)＝＝
.
1．函数y＝的导数y′＝(D)
A. B．－
C. D．－
2．曲线y＝x3－2x＋4在点(1，3)处的切线的倾斜角为(B)
A．30° B．45° C．60° D．120°
解析：本题主要考查了导数的几何意义及求导数，y′＝3x2－2，∴k＝1，∴倾斜角为45°.
3．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程是(A)
A．3x－y－11＝0 B．3x－y－17＝0
C．3x＋y－17＝0 D．3x＋y－11＝0
解析：求导得斜率为k＝y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3≥3，所以kmin＝3，相应地，x＝－1，y＝－14.
从而得切线方程是3x－y－11＝0.
4．曲线y＝x3在点(1，1)处切线与x轴及直线x＝1所围成的三角形的面积为(B)
A. B. C. D.
解析：本题主要考查导数的几何意义．
曲线y＝x3在点(1，1)处切线的斜率为：
k＝y′|x＝1＝3.
利用点斜式可求得切线方程为：3x－y－2＝0.
结合图象，可知所求三角形面积为：××1＝.
5．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(A)
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
解析：∵y′＝2x＋a|x＝0＝a，∴a＝1.
(0，b)在切线x－y＋1＝0，∴b＝1.
6．已知点P在曲线y＝x3－x＋上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是(D)
A. B.
C. D.∪
解析：∵y′＝3x2－1≥－1.∴tan α＝3x2－1≥－1，
∴a∈∪.
7．已知函数f(x)＝f′(1)f(0)＝________．
解析：当x＞0时，f′(x)＝，
故f′(1)f(0)＝.
答案：
8．在同一平面直角坐标系中，已知函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，则函数y＝f(x)的解析式为__________；其对应的曲线在点(e，f(e))处的切线方程为________．
解析：依题意知f(x)＝lnx，f′(x)＝，故所求的切线方程为：y＝x.
答案：f(x)＝ln x y＝x
9．已知函数f(x)＝f′sin x＋cos x，则f＝________．
解析：∵f′(x)＝f′cos x－sin x，
∴f′＝f′cos－sin，
即f′＝－1，∴f(x)＝－sin x＋cos x，
∴f＝cos－sin＝0.
答案：0
10．已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn(x)＝f′n－1(x)(n∈N*，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2 011＝________．
解析：f2(x)＝f′1(x)＝cos x－sin x；
f3(x)＝f′2(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x；
f4(x)＝f′3(x)＝(－sin x－cos x)′＝－cos x＋sin x；
f5(x)＝f′4(x)＝(－cos x＋sin x)′＝sin x＋cos x；
依次类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)，
又∵f1＋f2＋f3＋f4＝0，
∴f1＋f2＋…＋f2 011＝f1＋f2＋f3＝f2＝－sin＋cos＝－1.
答案：－1
11．在曲线y＝(x＜0)上求一点P，使P到直线x＋2y－4＝0的距离最小．
分析：把直线x＋2y－4＝0平行移动，当与曲线y＝(x＜0)相切时，切点即为所求．
解析：由题意知，平行于直线x＋2y－4＝0与y＝(x＜0)相切的切点即为所求．
设切点P(x0，y0)，由y′＝－，得
k＝y′|x＝x0＝－，
又x＋2y－4＝0的斜率为－，
∴－＝－，∴x0＝，或x0＝－，
∵x＜0，∴x0＝－，y0＝－＝－，
∴P为所求．
12．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0，1)，在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．
解析：∵f(x)的图象过点P(0，1)，∴e＝1.
又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.
∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴可得切点为(1，－1)．
∴a＋c＋1＝－1.①
∵f′(x)＝4ax3＋2cx，∴f′(1)＝4a＋2c.
∴4a＋2c＝1.②
由①②得a＝，c＝－.
∴f(x)＝x4－x2＋1.
►体验高考
1．(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．
解析：y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.
由题意得解得则a＋b＝－3.
答案：－3
2．(2013·江西卷)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________．
解析：因为y′＝α·xα－1，所以在点(1，2)处的切线斜率k＝α，则切线方程为y－2＝α(x－1)．又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2.
答案：2
3．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b (a，b∈R)．若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，则a＝________，b＝________．
解析：由函数f(x)的图象过原点，得b＝0，
又f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)，
f(x)在原点处的切线斜率是－3，
则－a(a＋2)＝－3，
所以a＝－3，或a＝1.
答案：－3或1 0
4．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝(B)
A．e2 B．e
C. D．ln 2
解析：∵f＝xln x，
∴f′＝ln x＋x·＝ln x＋1.
∴由f′＝2得ln x0＋1＝2，
∴x0＝e，故选B.
5．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1，1)处的切线方程为________________．
解析：∵y＝x(3ln x＋1)，
∴y′＝3ln x＋1＋x·＝3ln x＋4，
∴k＝y′|x＝1＝4，∴所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
答案：y＝4x－3
6．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a>0)．
(1)求f(x)的最小值；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．
解析：(1)f(x)＝ax＋＋b≥2＋b＝b＋2，当且仅当ax＝1，即时，f(x)的最小值为b＋2.
(2)由题意得：f(1)＝⇔a＋＋b＝，①
f′(x)＝a－⇒f′(1)＝a－＝，②
由①②得：a＝2，b＝－1.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
