武汉市2007届高中毕业生四月调研测试题数学试卷2007-4-16.doc

武汉市2007届高中毕业生四月调研测试题数学试卷2007-4-16
一、选择题：本大题共 l0 小题，每小题 5 分．共 50 分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．
1.复数z=(1－i)2i等于( )郝进制作
A. －2 B.2 C.2i D. －2i
2.在等差数列{an}中, a1·a3=8, a2=3 , 则公差d=( )
A. 1 B. －1 C. ±1 D. ±2
3.在△ABC中,∠C-=90°, 若AC=3, BC=4, 则cos(A－B)的值为( )
A. B. C. D.
4.一条直线与平面所成的角为θ (0<θ< ), 则此直线与这个平面内任意一条直线所成角中最大角是( ) 郝进制作
A. B. π C. π－θ D. θ
5.在平面直角坐标系中, 不等式组 (a为常数)表示的平面区域面积是9, 那么实数a的值为( )
A. 3＋2 B. －3＋2 C. －5 D.1
6.如果f '(x)是二次函数, 且 f '(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1,－), 那么曲线y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )
A. (0, ] B. [0, )∪[, π) C. [0, ]∪[, π) D. [,]
7.如图, 直线MN与双曲线C: － = 1的左右两支分别交
于M、N两点, 与双曲线C的右准线相交于P点, F为右焦点,
若|FM|=2|FN|, 又= λ (λ∈R), 则实数λ的取值为( )
A. B. 1 C.2 D.
8. 平面上点P与不共线三点A、B、C满足关系式: ＋＋=, 则下列结论正确的是( )
A. P在CA上, 且=2 B. P在AB上, 且=2
C. P在BC上, 且=2 D. P点为△ABC的重心
9.已知函数f(x)=2＋,则函数f(x)的值域为( )
A. [2,4] B.[0,2] C. [4, 2] D. [2, 2]
10. △ABC的AB边在平面α内,C在平面α外, AC和BC分别与面α成30°和45°的角,且面ABC与α成60°的二面角, 那么sin∠ACB的值为( )
A. 1 B. C. D. 1或
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填在题中横线上．
11. 二项式(－)9展开式中的系数为________
12. 数列{xn}的通项xn=(－1)n＋1, 前n项和为Sn, 则=______
13. 不等式 ≥1的解集为_________
14. 一个五位数由数字0,1,1,2,3构成, 这样的五位数的个数为_________
15. 过定点P(1,4)作直线交抛物线C: y=2x2于A、B两点, 过A、B分别作抛物线C的切线交于点M, 则点M的轨迹方程为_________
三、解答题：本大题共 6 小题．共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.(本小题满分12分)
已知函数f(x)= ＋asin2x在x= 时取到最大值.
(1) 求函数f(x)的定义域;
(2)求实数a的值.
17.(本小题满分12分)
如图, 在边长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中, E为AD中点,
(1)求二面角E－A1C1－D1的平面角的余弦值;
(2)求四面体B－A1C1E的体积.

18. (本小题满分12分)
一袋中装有分别标记着1、2、3、4数字的4个球, 从这只袋中每次取出1个球, 取出后放回, 连续取三次, 设三次取出的球中数字最大的数为ξ.
(1) 求ξ=3时 的概率;
(2) 求ξ的概率分布列及数学期望.

19. (本小题满分12分)
已知直线l: y=2x－与椭圆C:＋y2= 1 (a>1)交于P、Q两点, 以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A.
(1) 设PQ中点M(x0,y0), 求证: x0<
(2)求椭圆C的方程.

20. (本小题满分13分)
(1)已知函数m(x)=ax2e－x (a>0), 求证: 函数y=m(x)在区间[2,＋∞)上为减函数.
(2) 已知函数f(x)=ax2＋2ax, g(x)=ex, 若在(0, ＋∞)上至少存在一点x0, 使得f(x0)>g(x0)成立, 求实数a的取值范围.

21. (本小题满分14分)
已知点(an,an－1)在曲线f(x)=上, 且a1=1.
(1)求f(x)的定义域;
(2)求证: (n∈N*)
(3)求证: 数列{an}前n项和 (n≥1, n∈N*)

武汉市2007届高中毕业生四月调研测试题数学参考答案
(括号中的文科)
1.B 2.C 3.C 、4.A、 5.D、 6. B、 7.A 、8.A 9.D、 10.D
11. －252 12. 、 13. (－, ＋ ∞) {x|x≥－且x≠0}
14. 48 15. y=4x－4 、
16. (1) x要满足cos2x≠0, 从而2x≠kπ＋ (k∈Z)
因此f(x)的定义域为{x|x≠kπ＋, (k∈Z)} (4分)
(2)由f(x)= f(x)= ＋asin2x=2sin2x＋(1－cos2x)
∴f(x)= 2sin2x－cos2x＋ ≤ ＋ (8分)
∵x=时, f(x)取到最大值, 则2sin－cos =
∴ 3－ = , 求得a=－4 (12分)
因此所求实数a的值为－4

17. (1)在边长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1, E为AD中点, 在A1D1上取中点F. 连接EF过F作FM⊥A1C1于A1C1上一点M, 连接EM, 则∠EMF为二面角E－A1C1－D1的平面角.在△A1C1D1中, FM=B1D1=, 又EF⊥FM, EF=1 ∴tan∠EMF= =2, 从而cos∠EMF= . ∴二面角E－A1C1－D1的余弦值为郝进制作
(2)在平面ABCD内, 郝进制作延长BA到N点, 使AN=, 故NE∥A1C1, ∴NE∥面BA1C1
∴VB－A1C1E=VE－A1BC1=VN－A1C1E=VC1－A1BN
= ·(··1) ·1=

18. (1)ξ=3表示取出的三个球中数字最大者为3
①三次取球均出现最大数字为3的概率 P1=()3
②三取取球中有2次出现最大数字3的概率P2=C32()2()=
③三次取球中仅有1次出现最大数字3的概率P3=C33··()2=
P(ξ=3)=P1＋P2＋P3=
(2)在ξ=k时, 利用(1)的原理可知: 郝进制作
P(ξ=k)= ()3 ＋C32()2()1＋C33··()2
= , (k=1,2,3,4) ξ的概率分布为:
ξ
1
2
3
4
P

Eξ=1×＋2×＋3×＋4× =
19. 解: (1)设直线l: y=2x－与椭圆C: ＋y2= 1 (a>1)交于P(x1,y1),Q(x2,y2), 右顶点A(a,0), 将y=2x－代入x2＋a2y2－a2=0中整理得(4a2＋1)x2－4a2x＋2a2=0

∵M(x0,y0)为PQ中点 ∴x0= = = － 故x0<
(2)依题意: ·=0, 则(x1－a)(x2－a)＋y1y2=0 又y1=2x1－, y2=2x2－
故 (x1－a)(x2－a)＋(2x1－)(2x2－)=0 由①②代入③ 得: 4a4－4a3－a2＋3=0
∴(a－)(4a2－a－)=0 ∵a>1, 则4a2－a－>0 故a=
故所椭圆方程为 ＋ y2=1
20. (1) m '(x)= axe－x(2－x), 而ax>0, ∴当x>2时, m '(x)<0, 因此m(x)在[2,＋∞)上为减函数. 郝进制作
(2)记m(x)=, 则m'(x)=(－ax2＋2a)e－x,
当x>时, m '(x)<0 当0<x<时, m '(x)>0
故m(x)在x=时取最大值,同时也为最大值. m(x)max=m()=
依题意, 要在(0,＋∞)上存在一点x0, 使f(x0)>g(x0)成立. 即使m(x0)>1只需m()>1
即>1 ∴ , 因此, 所求实数a的取值范围为(, ＋∞)

21. 解:( 1) 由f(x)=知x满足: x2＋ ≥0, ∴ ≥0 , ∴≥0
∴ ≥0, 故x>0, 或x≤－1.
f(x)定义域为: (－∞, －1]∪(0,＋∞)
(2)∵ an＋12=an2＋ , 则an＋12－an2 = 于是有: = an＋12－a12 = an＋12－1
要证明:
只需证明: ( *) 下面使用数学归纳法证明: (n≥1,n∈N*) ①在n=1时, a1=1, <a1<2, 则n=1时 (* )式成立.
②假设n=k时, 成立, 由
要证明: 只需2k＋1≤ 只需(2k＋1)3≤8k(k＋1)2

只需证: , 只需证: 4k2＋11k＋8>0, 而4k2＋11k＋8>0在k≥1时恒成立. 于是: . 因此 得证.
综合①②可知( *)式得证, 从而原不等式成立.
(3)要证明: , 郝 制 作
由(2)可知只需证: (n≥2) (* * )
下面用分析法证明: (**)式成立. 要使(**)成立, 郝进 制作
只需证: (3n－2)>(3n－1)
即只需证: (3n－2)3n>(3n－1)3(n－1), 只需证:2n>1. 而2n>1在n≥1时显然成立,故(**)式得证. 于是由(**)式可知有: ＋ ＋…＋≤
因此有: Sn=a1＋a2＋…＋an≤1＋2(＋ ＋…＋) = 。
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