【数学】2019年四川省资阳市中考真题(解析版).doc

2019年四川省资阳市中考数学试卷
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.
1．﹣3的倒数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
【答案】A
【解析】∵﹣3×（﹣）＝1，∴﹣3的倒数是﹣．故选：A．
2．如图是正方体的展开图，每个面都标注了字母，如果b在下面，c在左面，那么d在（　　）

A．前面 B．后面 C．上面 D．下面
【答案】C
【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“a”与“f”是相对面，
“b”与“d”是相对面，“d”在上面，
“c”与“e”是相对面，“c”在左面，“e”在右面．故选：C．
3．下列各式中，计算正确的是（　　）
A．a3•a2＝a6 B．a3+a2＝a5 C．a6÷a3＝a2 D．（a3）2＝a6
【答案】D
【解析】A.a3•a2＝a5，错误；B.a3+a2不能合并，错误；
C.a6÷a3＝a3，错误；D.（a3）2＝a6，正确；故选：D．
4．如图，l1∥l2，点O在直线l1上，若∠AOB＝90°，∠1＝35°，则∠2的度数为（　　）

A．65° B．55° C．45° D．35°
【答案】B
【解析】∵l1∥l2，∠1＝35°，∴∠OAB＝∠1＝35°．
∵OA⊥OB，∴∠2＝∠OBA＝90°﹣∠OAB＝55°．故选：B．
5．在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（　　）
A．4个 B．5个
C．不足4个 D．6个或6个以上
【答案】D
【解析】∵袋子中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，
∴红球的个数比白球个数多，
∴红球个数满足6个或6个以上，故选：D．
6．设x＝，则x的取值范围是（　　）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．无法确定
【答案】B
【解析】∵9＜15＜16，∴，故选：B．
7．爷爷在离家900米的公园锻炼后回家，离开公园20分钟后，爷爷停下来与朋友聊天10分钟，接着又走了15分钟回到家中．下面图形中表示爷爷离家的距离y（米）与爷爷离开公园的时间x（分）之间的函数关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，爷爷在公园回家，则当x＝0时，y＝900；
从公园回家一共用了20+10+15＝45分钟，则当x＝45时，y＝0；
结合选项可知答案B．故选：B．
8．如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（　　）

A．5π B．6π C．20π D．24π
【答案】A
【解析】圆所扫过的图形面积＝π+2π×2＝5π，故选：A．
9．4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a、b满足（　　）

A．2a＝5b B．2a＝3b C．a＝3b D．a＝2b
【答案】D
【解析】S1＝b（a+b）×2++（a﹣b）2＝a2+2b2，
S2＝（a+b）2﹣S1＝（a+b）2﹣（a2+2b2）＝2ab﹣b2，
∵S1＝2S2，∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），
整理，得（a﹣2b）2＝0，∴a﹣2b＝0，∴a＝2b．故选：D．
10．如图是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（　　）

A．m≥1 B．m≤0 C．0≤m≤1 D．m≥1或m≤0
【答案】C
【解析】如图1所示，当t等于0时，

∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4），
当x＝0时，y＝﹣3，∴A（0，﹣3），
当x＝4时，y＝5，∴C（4，5），
∴当m＝0时，D（4，﹣5），∴此时最大值为0，最小值为﹣5；
如图2所示，当m＝1时，此时最小值为﹣4，最大值为1．
综上所述：0≤m≤1，故选：C．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．截止今年4月2日，华为官方应用市场“学习强国”APP下载量约为88300000次．将数88300000科学记数法表示为　8.83×107　．
【解析】将88300000用科学记数法表示为：8.83×107．故答案为：8.83×107．
12．一组数据1，2，5，x，3，6的众数为5．则这组数据的中位数为　4　．
【解析】∵数据1，2，5，x，3，6的众数为5，∴x＝5，
则数据为1，2，3，5，5，6，∴这组数据的中位数为＝4，故答案为：4．
13．若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是　720°　．
【解析】该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，
该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°．故答案为：720°．
14．a是方程2x2＝x+4的一个根，则代数式4a2﹣2a的值是　8　．
【解析】∵a是方程2x2＝x+4的一个根，∴2a2﹣a＝4，
∴4a2﹣2a＝2（2a2﹣a）＝2×4＝8．故答案为：8．
15．如图，在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，点D为边AB的中点，连结CD，过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE′的位置．若CE′∥AB，则CE′＝　　．

【解析】如图，作CH⊥AB于H．

由翻折可知：∠AE′C＝∠AEC＝90°，∠ACE＝∠ACE′，
∵CE′∥AB，∴∠ACE′＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，∴DC＝DA，
∵AD＝DB，∴DC＝DA＝DB，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝5，
∵•AB•CH＝•AC•BC，∴CH＝，∴AH＝＝，
∵CE∥AB，∴∠E′CH+∠AHC＝180°，
∵∠AHC＝90°，∴∠E′CH＝90°，∴四边形AHCE′是矩形，
∴CE′＝AH＝，故答案为．
16．给出以下命题：
①平分弦的直径垂直于这条弦；
②已知点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）均在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y2＜y3＜y1；
③若关于x的不等式组无解，则a≥﹣1；
④将点A（1，n）向左平移3个单位到点A1，再将A1绕原点逆时针旋转90°到点A2，则A2的坐标为（﹣n，﹣2）．
其中所有真命题的序号是　②③④　．
【解析】①平分弦的直径垂直于这条弦，应该为：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故错误；
②反比例函数y＝（k＜0）在二、四象限，当x＜0时，y＞0；x＞0时，y＜0，且x增大，y增大，故y1＞y3＞y2，故正确；
③若关于x的不等式组无解，a≥﹣1，正确；
④将点A（1，n）向左平移3个单位到点A1，则A1（﹣2，n），将A1绕原点逆时针旋转90°到点A2，A2的坐标为（﹣n，﹣2），正确．
以上正确的都为真命题，故答案为：②③④．
三、解答题：（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（9分）化简求值：（﹣1）÷，其中x＝2．
解：原式＝[﹣]•x（x+1）＝•x（x+1）＝，
当x＝2时，原式＝＝2．
18．（10分）为了解“哈啰单车”的使用情况，小月对部分用户的骑行时间t（分）进行了随机抽查，将获得的数据分成四组（A：0＜t≤30；B：30＜t≤60；C：60＜t≤120；D：t＞120），并绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．

（1）求D组所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
（2）小月打算在C、D两组中各随机选一名用户进行采访，若这两组中各有两名女士，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．
解：（1）∵被调查的总人数为6÷30%＝20（人），
∴C组人数为20×20%＝4（人），则D组人数为20﹣（6+7+4）＝3（人），
∴D组所在扇形的圆心角的度数为360°×＝54°，
补全图形如下：

（2）树状图如下：

共有12种等可能的情况，其中选中一名男同学和一名女同学的情况有6种，
∴选中一名男同学和一名女同学的概率为＝．
19．（10分）如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°．
（1）求∠BAC的度数；
（2）若PA＝1，求点O到弦AB的距离．

解：（1）∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，∴PA＝PB，∠PAC＝90°，
∵∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，
∴∠BAP＝60°，∴∠BAC＝90°﹣∠BAP＝30°；
（2）作OD⊥AB于D，如图所示：则AD＝BD＝AB，
由（1）得：△APB是等边三角形，
∴AB＝PA＝1，∴AD＝，
∵∠BAC＝30°，∴AD＝OD＝，∴OD＝，
即求点O到弦AB的距离为．

20．（10分）为了参加西部博览会，资阳市计划印制一批宣传册．该宣传册每本共10页，由A、B两种彩页构成．已知A种彩页制版费300元/张，B种彩页制版费200元/张，共计2400元．（注：彩页制版费与印数无关）
（1）每本宣传册A、B两种彩页各有多少张？
（2）据了解，A种彩页印刷费2.5元/张，B种彩页印刷费1.5元/张，这批宣传册的制版费与印刷费的和不超过30900元．如果按到资阳展台处的参观者人手一册发放宣传册，预计最多能发给多少位参观者？
解：（1）设每本宣传册A、B两种彩页各有x，y张，
，解得：，
答：每本宣传册A、B两种彩页各有4和6张；
（2）设最多能发给a位参观者，可得：2.5×4a+1.5×6a+2400≤30900，
解得：a≤1500，
答：最多能发给1500位参观者．
21．（11分）如图，直线y＝x与双曲线y＝（x＞0）相交于点A，且OA＝，将直线向左平移一个单位后与双曲线相交于点B，与x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）求直线BC的解析式及k的值；
（2）连结OB、AB，求△OAB的面积．

解：（1）根据平移的性质，将直线y＝x向左平移一个单位后得到y＝x+1，
∴直线BC的解析式为y＝x+1，
∵直线y＝x与双曲线y＝（x＞0）相交于点A，∴A点的横坐标和纵坐标相等，
∵OA＝，∴A（1，1），k＝1×1＝1；
（2）作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，
解得或∴B（，），
∵S△AOB＝S梯形AEFB+S△BOF﹣S△AOE＝S梯形AEFB，
∴S△AOB＝S梯形AEFB＝（1+）（1﹣）＝2．

22．（11分）如图，南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处．
（1）求渔船B航行的距离；
（2）此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西60°方向，A渔船在点D的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注：结果保留根号）

解：（1）由题意得，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，BC＝20，∴AB＝2BC＝40海里，
答：渔船B航行的距离是40海里；
（2）过B作BE⊥AE于E，过D作DH⊥AE于H，延长CB交DH于G，
则四边形AEBC和四边形BEHG是矩形，
∴BE＝GH＝AC＝20，AE＝BC＝20，
设BG＝EH＝x，∴AH＝x+20，
由题意得，∠BDG＝60°，∠ADH＝45°，∴x，DH＝AH，
∴20+x＝x+20，解得：x＝20，∴BG＝20，AH＝20+20，
∴BD＝＝40，AD＝AH＝20+20，
答：中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里，到外国渔船A的距离是（20+20）海里．

23．（12分）在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A→C的路径运动，运动时间为t（秒）．过点E作EF⊥BC于点F，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH．
（1）如图，当AB＝BC＝8时，
①若点H在△ABC的内部，连结AH、CH，求证：AH＝CH；
②当0＜t≤8时，设正方形EFGH与△ABC的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式；
（2）当AB＝6，BC＝8时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，求t的值．

解：（1）①如图1中，

∵四边形EFGH是正方形，AB＝BC，
∴BE＝BG，AE＝CG，∠BHE＝∠BGH＝90°，∴∠AEH＝∠CGH＝90°，
∵EH＝HG，∴△AEH≌△CGH（SAS），∴AH＝CH．
②如图1中，当0＜t≤4时，重叠部分是正方形EFGH，S＝t2．
如图2中，当4＜t≤8时，重叠部分是五边形EFGMN，
S＝S△ABC﹣S△AEN﹣S△CGM＝×8×8﹣2×（8﹣t）2＝﹣t2+32t﹣32．

综上所述，S＝．
（2）如图3﹣1中，延长AH交BC于M，当BM＝CM＝4时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．

∵EH∥BM，∴＝，∴＝，∴t＝．
如图3﹣2中，延长AH交CD于M交BC的延长线于K，当CM＝DM＝3时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，易证AD＝CK＝8，

∵EH∥BK，∴＝，∴＝，∴t＝．
如图3﹣3中，当点E在线段AC上时，延长AH交CD于M，交BC的延长线于N．当CM＝DM时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，易证AD＝CN＝8．

在Rt△ABC中，AC＝＝10，
∵EF∥AB，∴＝，∴＝，∴EF＝（16﹣t），
∵EH∥CN，∴＝，∴＝，解得t＝．
综上所述，满足条件的t的值为s或s或s．
24．（13分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x+，m＝﹣4+＝﹣，
∴B的坐标为（4，﹣），
将A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，
解得b＝1，c＝，
∴抛物线的解析式y＝；
（2）设D（m，），则E（m，﹣m+），
DE＝（）﹣（﹣m+）＝＝﹣（m﹣2）2+2，
∴当m＝2时，DE有最大值为2，此时D（2，），
作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．

PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此时PD+PA最小，
∵A（3，2），
∴A'（﹣1，2），A'D＝＝，
即PD+PA的最小值为；
（3）作AH⊥y轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，

∵抛物线的解析式y＝，
∴M（1，4），∵A（3，2），
∴AH＝MH＝2，H（1，2）
∵∠AQM＝45°，∠AHM＝90°，
∴∠AQM＝∠AHM，
可知△AQM外接圆的圆心为H，

∴QH＝HA＝HM＝2，
设Q（0，t），则＝2，t＝2+或2﹣，
∴符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2﹣）、Q2（0，2）．