2.3数学归纳法.doc

2. 3数学归纳法
课前预习学案
一、预习目标：
理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法．能较好地理解“归纳奠基”和“归纳递推”两者缺一不可。
二、预习内容：
提出问题：
问题1：前面学习归纳推理时，我们有一个问题没有彻底解决．即对于数列，已知 ，( n=1,2,3…)，通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想出其通项公式，但却没有进一步的检验和证明．
问题2：大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？(多媒体演示多米诺骨牌游戏)
这是一个码放骨牌游戏，码放时保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…最后，不论有多少块骨牌都能全部倒下．
讨论问题：
问题1、问题2有什么共同的特征？其结论成立的条件的共同特征是什么
结论成立的条件：结论对第一个值成立；结论对前一个值成立，则对紧接着的下一个值也成立．
上面两个条件分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一个？你能举反例说明吗？
在上述两个条件中，第一个条件是归纳递推的前提和基础，没有它，后面的递推将无从谈起；第二个步骤是核心和关键，是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带．
如在前面的问题1中，如果不是1，而是2，那么就不可能得出，因此第一步看似简单，但却是不可缺少的．而第二步显然更加不可缺少．这一点在多米诺骨牌游戏中也可清楚地看出．
解决问题：
由上，证明一个与自然数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)证明当n取第一个值()时命题成立；
(2)假设n=k(k≥,)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
由以上两个步骤，可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立．
这种证明方法叫做数学归纳法，它是证明与正整数n(n取无限多个值)有关、具有内在递推关系的数学命题的重要工具．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容

课内探究学案
一、 学习目标
（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。
（2）初步理解数学归纳法原理。
（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。
（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。
二、学习过程：
例1、证明等差数列通项公式：
解析：（1）让学生理解数学归纳法的严密性和合理性；（2）掌握从到时等式左边的变化情况。
证明：(1) 当n＝1时等式成立；
(2) 假设当n＝k时等式成立, 即, 则=, 即n＝k＋1时等式也成立
由 （1）、（2）可知， 等差数列的通项公式对任何n∈都成立．
点评：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意以下三句话：
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。
变式训练1 .在数列{}中, ＝1, (n∈), 先计算，，的值，再推测通项的公式, 最后证明你的结论．

例2、 用数学归纳法证明
()．
解析：（1）进一步让学生理解数学归纳法的严密性和合理性，从而从感性认识
上升为理性认识；
（2）掌握从到时等式左边的变化情况，合理的进行添项、拆项
合并项等。
证明：（1）时：左边，右边，左边=右边，等式成立。

  ∴当时等式也成立。
  由 （1）、（2）可知，对一切 ，原等式均成立
点评：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意以下三句话：
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。
变式训练2：用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝．

反思总结：
1．归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明；
2．数学归纳法作为一种证明方法，用于证明一些与正整数有关数学命题，它的基本
思想是递推思想，它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；
3．递推归纳时从到，必须用到归纳假设，并进行适当的恒等变换。注意明等式时第一步中时左右两边的形式，第二步中时应增加的式子；第二步中证明命题成立是全局的主体，主要注意两个“凑”：一是“凑”时的形式（这样才好利用归纳假设），二是“凑”目标式。
当堂检测：
1．观察式子：，，，，则可归纳出式子为（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｃ
2．用数学归纳法证明：首项是，公比是q的等比数列的通项公式是
，前n项和公式是
课后练习与提高

一、选择题
1．用数学归纳法证明过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边增加的项为 （ ）
A. B. C. D.
2．凸n边形有f(n)条对角线，凸n+1边形对角线 的条数f(n+1)为 （ ）
A. f(n)+n+1 B. f(n)+n C. f(n)+n-1 D. f(n)+n-2
3．用数学归纳法证明不等式 的过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边 （ ）
A.增加了一项
B.增加了一项
C.增加了“”，又减少了“”
D.增加了“ ”，又减少了“”
二、填空题
4．已知数列，计算得，由此可猜测_______．
5．若f(k)=则= + _______．
三、解答题
6．由下列不等式：，，，，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．

参考答案：1. C 2. C 3. C 4. 5.
6．解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：
．
用数学归纳法证明如下：
（1）当时，，猜想成立；
（2）假设当时，猜想成立，即，
则当时，
，即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立．