2019-2020学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级(上)开学数学试卷.doc

2019-2020学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级（上）
开学数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个数中，负数是（　　）
A．﹣3 B．0 C．0.2 D．3
2．（3分）若2m+3与﹣13互为相反数，则m的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5
3．（3分）南海是我们固有领土，南海资源丰富，其面积约为350万平方千米，相当于我国的渤海、黄海和东海总面积的3倍，其中350万用科学记数法表示为（　　）
A．3.5×106 B．3.5×107 C．0.35×108 D．3.5×109
4．（3分）单项式的系数、次数分别是（　　）
A．﹣1，3 B．﹣，3 C．，3 D．﹣，2
5．（3分）下列判断不正确的是（　　）
A．3是9的平方根 B．6是（﹣6）2的算术平方根
C．﹣5是25的算术平方根 D．19的算术平方根是
6．（3分）使方程3x+5y﹣2+3kx+4k＝0不含x的项，则k的值为（　　）
A．k＝﹣1 B．k＝﹣2 C．k＝3 D．k＝1
7．（3分）为了了解全校七年级300名学生的视力情况，骆老师从中抽查了50名学生的视力情况．针对这个问题，下面说法正确的是（　　）
A．300名学生是总体
B．每名学生是个体
C．50名学生是所抽取的一个样本
D．这个样本容量是50
8．（3分）下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（　　）

A．100° B．110° C．115° D．120°
10．（3分）周长为20，边长为整数的三角形有（　　）个．
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）已知a，b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b＝　 　．
12．（3分）点P（﹣2，1）向上平移2个单位后的点的坐标为　 　．
13．（3分）从A沿北偏东60°的方向行驶到B，再从B沿南偏西20°的方向行驶到C，则∠ABC＝　 　度．
14．（3分）已知一个正多边形的每一个外角都是36°，则其边数是　 　．
15．（3分）如图，AD∥BC，∠D＝100°，CA平分∠BCD，则∠DAC＝　 　度．

16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B、C作过点A的直线的垂线BD、CE，垂足分别为D、E，若BD＝4，CE＝2，则DE＝　 　．

17．（3分）如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，则△ABD的面积是　 　．

18．（3分）已知不等式4x﹣a≤0的正整数解是1，2，则a的取值范围是　 　．
三、解答题（本题共7个小题，19、20、21、22、23、24每题6分，25、26题10分，共56分）
19．（6分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

20．（6分）解方程组：．
21．（6分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有　 　人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为　 　度；
（2）请补全条形统计；
（3）若该中学共有学生1200人，估计该中学学生对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．
22．（6分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝14，BE＝2，求AB的长．

23．（6分）在我市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和一体机，经过市场考察得知，购进1台笔记本电脑和2台一体机需要1.45万元，购进2台笔记本电脑和1台一体机需要1.55万元．
（1）求每台笔记本电脑、一体机各多少万元？
（2）根据学校实际，需购进笔记本电脑和一体机共35台，总费用不超过19万元，但不低于17万元，请你通过计算求出共几种购买方案，并写出费用最低具体方案．
24．（6分）若关于x，y的二元一次方程组的解都是正数．
（1）求a的取值范围；
（2）化简：|a+1|﹣|a﹣1|；
（3）若上述二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和底边的长，且这个等腰三角形的周长为12，求a的值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（﹣2，0），C为y轴负半轴上点，D是第四象限内一动点，且始终有∠BDA＝2∠ACO成立，过C点作CE⊥BD于点E．
（1）求证：∠DAC＝∠DBC；
（2）若点F在AD的延长线上，求证：CD平分∠BDF；
（3）当D点运动时，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．

26．（10分）如图，在直角坐标系中，OC⊥OD，OC＝OD，DC的延长线交y轴正半轴上点B，过点C作CA⊥BD交x轴负半轴于点A．

（1）如图1，求证：OA＝OB
（2）如图1，连AD，作OM∥AC交AD于点M，求证：BC＝2OM
（3）如图2，点E为OC的延长线上一点，连DE，过点D作DF⊥DE且DF＝DE，连CF交DO的延长线于点G．若OG＝4，求CE的长．

2019-2020学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．【解答】解：A、﹣3是负数，故选项正确；
B、0既不是正数，也不是负数，故选项错误；
C、0.2是正数，故选项错误；
D、3是正数，故选项错误．
故选：A．
2．【解答】解：∵2m+3﹣13＝0，
∴2m＝10，
∴m＝5，
故选：D．
3．【解答】解：将350万用科学记数法表示为3.5×106．
故选：A．
4．【解答】解：该单项式的系数为，次数为3，
故选：B．
5．【解答】解：（A）3是9的平方根，故选项A正确；
（B）6是（﹣6）2＝36的算术平方根，故选项B正确；
（C）﹣5是25的平方根，5是25的算术平方根，故选项C错误；
（D）19的算术平方根是，故选项D正确；
故选：C．
6．【解答】解：3x+5y﹣2+3kx+4k＝（3+3k）x+5y﹣2+4k，
∵方程3x+5y﹣2+3kx+4k＝0不含x的项，
∴3+3k＝0，
解得：k＝﹣1，
故选：A．
7．【解答】解：A、300名学生的视力情况是总体，故此选项错误；
B、每个学生的视力情况是个体，故此选项错误；
C、50名学生的视力情况是抽取的一个样本，故此选项错误；
D、这组数据的样本容量是50，故此选项正确．
故选：D．
8．【解答】解：①符合对顶角的性质，故本小题正确；
②两直线平行，内错角相等，故本小题错误；
③符合平行线的判定定理，故本小题正确；
④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故本小题错误．
故选：B．
9．【解答】解：∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，
BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝25°，∠PCB＝40°，
∴∠BPC＝115°．
故选：C．
10．【解答】解：8个，分别是：（9，9，2）（8，8，4）（7，7，6）（6，6，8）（9，6，5）（9，7，4）（9，8，3）（8，7，5）．
故选：C．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．【解答】解：∵9＜11＜16，
∴3＜＜4．
∴a＝3，b＝4．
∴a+b＝3+4＝7．
故答案为：7．
12．【解答】解：平移后点P的横坐标为﹣2；纵坐标为1+2＝3；
∴点P（﹣2，1）向上平移2个单位后的点的坐标为（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
13．【解答】解：如图，A沿北偏东60°的方向行驶到B，则∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
B沿南偏西20°的方向行驶到C，则∠BCO＝90°﹣20°＝70°，
又∵∠ABC＝∠BCO﹣∠BAC，
∴∠ABC＝70°﹣30°＝40°．
故答案是：40．

14．【解答】解：∵一个正多边形的每一个外角都是36°，
∴边数＝360°÷36°＝10．
故答案为：10．
15．【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠BCD＝180°﹣∠D＝80°，
又∵CA平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠BCD＝40°，
∴∠DAC＝∠ACB＝40°．
16．【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵BD⊥DE，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BAD+∠DBA＝90°，
∴∠DBA＝∠CAE，
∵CE⊥DE，
∴∠AEC＝90°，
在△BDA和△AEC中，，
∴△BDA≌△AEC（AAS），
∴AD＝CE＝2，AE＝BD＝4，
∴DE＝AD+AE＝2+4＝6；
故答案为：6．
17．【解答】解：∵AD平分∠BAC，CD⊥AC，
∴D点到AB的距离等于CD长度2．
所以△ABD面积＝×6×2＝6．
故答案为6．
18．【解答】解：不等式4x﹣a≤0的解集是x≤，
因为正整数解是1，2，
而只有当不等式的解集为x≤2，x≤2.1，x≤2.2等时，但x＜3时，其整数解才为1，2，
则2≤＜3，
即a的取值范围是8≤a＜12．
三、解答题（本题共7个小题，19、20、21、22、23、24每题6分，25、26题10分，共56分）
19．【解答】解：解不等式x﹣3（x﹣2）≥4，得：x≤1，
解不等式＜，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

20．【解答】解：原方程组可化为，
∴，
（2）﹣（1），可得37y+74＝0，
∴y＝﹣2，
代入（1）得，8x﹣9×（﹣2）﹣6＝0，
解得，x＝﹣
故原方程组的解为．
21．【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有30÷50%＝60人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为360°×＝90°，
故答案为：60、90．

（2）“了解很少”的人数为60﹣（15+30+5）＝10人，
补全图形如下：

（3）估计该中学学生对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为1200×＝900人．
22．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴BD＝CD，BE＝CF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）∵DE＝DF，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）
∴AE＝AF，
∵AB＝AE﹣BE＝AF﹣BE＝AC﹣CF﹣BE，
∴AB＝14﹣2﹣2＝10．
23．【解答】解：（1）设每台笔记本电脑x万元，一体机y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：每台笔记本电脑0.55万元，一体机0.45万元．
（2）设购进m台笔记本电脑，则购进（35﹣m）台一体机，
依题意，得：，
解得：12.5≤m≤32.5．
∵m为整数，
∴m有20个值，
∵0.55＞0.45，
∴当m＝13时，费用最低．
答：学校共有20种购进方案，费用最低的方案为：购进13台笔记本电脑，22台一体机．
24．【解答】解：（1）解得，
∵若关于x、y的二元一次方程组的解都为正数，
∴，
解得a＞1；
（2）|a+1|﹣|a﹣1|
＝a+1﹣a+1
＝2；
（3）∵二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和一条底边的长，这个等腰三角形的周长为12，
∴2（a﹣1）+a+2＝12，
解得：a＝4，
∴x＝3，y＝6，3，3，6不能组成三角形，
∴2（a+2）+a﹣1＝12，
解得：a＝3，
∴x＝2，y＝5，2，5，5能组成等腰三角形，
∴a的值是3．
25．【解答】（1）证明：设AC交BD于R，
∵A（2，0），B（﹣2，0），
∴OB＝OA，∵OC⊥AB，
∴CB＝CA，
∴∠OCB＝∠OCA，
∵∠BDA＝2∠CAO＝∠ACB，∠ARD＝∠BRC，
∴∠DAC＝∠DBC．

（2）证明：∵∠ARD＝∠BRC，∠ADR＝∠BCR，
∴△ARD∽△BRD，
∴＝，
∴＝，∵∠ARB＝∠DRC，
∴△ARB∽△DRC，
∴∠BAR＝∠CDR，∠ABR＝∠DCR，
∵∠ADC+∠ACD+∠DAC＝180°，
∴∠ADC+∠ABR+∠CBR＝180°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ADC+∠CDF＝180°，
∴∠ABC＝∠CDF，
∵CB＝CA，
∴∠ABC＝∠CAB，
∴∠CDF＝∠CDB，
即CD平分∠BDF．

（3）解：结论：＝2，的值不变．
理由：作CP⊥CF于P．
∵CE⊥BD，
∴∠CPD＝∠CED＝90°，
∵∠CDP＝∠CDE，CD＝CD，
∴△CDP≌△CDE（AAS），
∴CE＝CP，DE＝DP，
∵∠CEB＝∠CPA＝90°，CB＝CA，CE＝CP，
∴Rt△CEB≌Rt△CPA（HL），
∴BE＝PA，
∴BD﹣AD＝BE+DE﹣（PA﹣DP）＝2DE，
∴＝2．

26．【解答】解：（1）∵OC⊥OD，CA⊥BD，
∴∠COD＝∠BCA＝∠AOB＝90°，
则∠AOC＝∠BOD，∠OBD＝∠OAC，
在△AOC和△BOD中，
∵，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴OA＝OB；

（2）如图1，过点A作AN∥OD，交OM延长线于点N，

则∠OAN+∠AOD＝180°，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD+∠BOC＝180°，
∴∠OAN＝∠BOC，
又∵OM∥AC，
∴∠AON＝∠CAO，
由（1）知∠CAO＝∠OBC，
∴∠AON＝∠OBC，
又∵OA＝OB，
∴△BOC≌△OAN（ASA），
∴BC＝ON，AN＝OC＝OD，
∵AN∥OD，
∴∠MAN＝∠MDO，∠MNA＝∠MOD，
∴△AMN≌△DMO（ASA），
∴OM＝MN＝ON，即ON＝2OM，
∴BC＝2OM；

（3）如图2，过点F作FT⊥DG，交DG延长线于点T，

则∠FTD＝∠DOE＝90°，
∴∠ODE+∠OED＝90°，
又∵DE⊥DF，
∴∠ODE+∠FDT＝90°，
∴∠OED＝∠TDF，
∵DE＝DF，
∴△FTD≌△DOE（AAS），
∴FT＝OD，DT＝OE，
∵OD＝OC，
∴FT＝OC，
∵∠FTG＝∠COG＝90°，∠FGT＝∠CGO，
∴△FTG≌△COG（AAS），
∴OT＝2OG＝8，
∵OE＝DT，OC＝OD，
∴CE＝OT＝8．
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