高一数学必修5不等式题型总结.doc

含参数的一元二次不等式的解法

解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：
一、按项的系数的符号分类，即;
例1 解不等式：
分析：本题二次项系数含有参数，，故只需对二次项
系数进行分类讨论。
解：∵
解得方程 两根
∴当时,解集为
当时，不等式为,解集为
当时, 解集为
例2 解不等式
分析 因为，，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解
当时，解集为；当时，解集为
二、按判别式的符号分类，即；
例3 解不等式
分析 本题中由于的系数大于0,故只需考虑与根的情况。
解：∵ ∴当即时，解集为；当即Δ＝0时，解集为；
当或即,此时两根分别为，，显然,
∴不等式的解集为
例4 解不等式
解 因，所以当，即时，解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为R。
三、按方程的根的大小来分类，即；
例5 解不等式
分析：此不等式可以分解为：，故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。
解：原不等式可化为：，令，可得：，∴当或时， ，故原不等式的解集为；当或时，,可得其解集为；
当或时, ,解集为。
例6 解不等式，
分析 此不等式，又不等式可分解为，故只需比较两根与的大小.
解 原不等式可化为：，对应方程的两根为
，当时，即，解集为；当时，即，解集为
一元二次不等式 参考例题（2）
1．(1)解不等式 （）

(2)不等式的解集为，求的值. （）

2．解下列关于的不等式：
（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

3．（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.（）

（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.（）

4．（1）已知，
①若，求实数的取值范围.；（）

②若，求实数的取值范围.；（）

③若为仅含有一个元素的集合，求的值.（）

（2）已知，，求实数的取值范围.
（）

(3) 关于的不等式与的解集依次为与，
若，求实数的取值范围. （）

（4）设全集，集合，若，
求实数的取值范围. （）

（5）已知全集，，
若，求实数的取值范围.（ ）
一元二次不等式及其解法
1．二次函数的图象及性质:二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是．
2．二次函数的解析式的三种形式：
（一般式）；
（零点式）；
（顶点式）．
3．一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：

二次函数

（）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

4．解一元二次不等式的步骤：
(1)将二次项系数化为“+”：A=>0(或<0)(a>0)；
(2)计算判别式，分析不等式的解的情况；
(3)写出解集．
5．讨论二次函数在指定区间上的最值问题：
(1)注意对称轴与区间的相对位置．一般分为三种情况讨论，即：①对称轴在区间左边，函数在此区间上具有单调性；②对称轴在区间之内；③对称轴在区间右边．
（2）函数在区间上的单调性．要注意系数的符号对抛物线开口的影响．
6．二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．
三、典型例题选讲
题型1：考查一元二次函数的性质
例1 函数是单调函数的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
解：∵函数的对称轴为，
∴函数）是单调函数，．故选A．
归纳小结：二次函数的单调区间是和，结合开口方向就可得出所需的条件，从而求出的范围．
例2 已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析．
解：∵二次函数的对称轴为，可设所求函数为，∵截轴上的弦长为，
∴过点和，又过点，∴，解之得，
∴．
归纳小结：求二次函数的解析式一般采用待定系数法，但要注意根据已知条件选择恰当的解析式形式：一般式、零点式和顶点式，正确的选择会使解题过程得到简化．
题型2：简单不等式的求解问题
例3 求下列不等式的解集．
（1）；（2）
解法一：因为．所以，原不等式的解集是．
解法二：整理，得．
因为无实数解，所以不等式的解集是．从而，原不等式的解集是．
归纳小结：解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系，按照解一元二次不等式的步骤求解，必要时要画出二次函数的图象进行观察．
例4 不等式的解集为，求与的值．
解法一：设的两根为、，由韦达定理得：
由题意得∴，，此时满足，．
解法二：构造解集为的一元二次不等式：
，即，此不等式与原不等式应为同解不等式，故，．
归纳小结：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为，不等式需满足条件，，的两根为，．在解题时要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的关系．
题型3：含参不等式的求解问题
例5 解关于的不等式．
证：分以下情况讨论
(1)当时，原不等式变为：，∴，即不等式的解集为
(2)当时，原不等式变为：　① ①当时，①式变为，∴不等式的解为或．即不等式的解集为；②当时，①式变为．②，∵，
∴当时，，此时②的解为．即不等式的解集为；当时，，此时②的解为．
当时，，即不等式的解集为．
归纳小结：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：

分类应做到使所给参数的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论时，解一元二次不等式应首选做到将二次项系数变为正数再求解．
题型4：一元二次不等式的应用
例6 （1）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
解：依题意得
所以，选C．
（2）若函数f(x) =的定义域为R，则a的取值范围为_______．
解：函数的定义域为R，对一切都有恒成立，即恒成立，
成立，即，，故选A．
归纳小结：解一元二次不等式往往与分段函数、指数函数和对数函数结合进行综合考查，
一般是借助于函数的性质和图象进行转化，再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式分析相应一元二次函数的性质，体现“三个二次”之间的紧密联系，这也是一元二次不等式的重要考点之一．
例7 已知函数的最大值为，求的值．
解：令，，∴，对称轴为，当，即时，，得或（舍去）．当，即时，函数在上单调递增，由，得；当，即时，函数在上单调递减，由，得（舍去）．
综上可得，的值为或．
归纳小结：令，问题就转化为二次函数的区间最值问题，再由对称轴与区间的三种位置关系的讨论就可求得的值．此题中要注意的条件．
例8 设不等式的解集为，如果，求实数的取值范围？
解：有两种情况：其一是=，此时＜0；其二是M≠，此时=0或＞0，分三种情况计算a的取值范围．设，有==，当＜0时，－1＜＜2，=；当=0时，=－1或2；当=－1时=；当=2时，=
当＞0时，a＜－1或a＞2．设方程的两根，，且＜，那么M=［，］，M1≤x1＜x2≤4，即解得2＜＜，∴M［1，4］时，的取值范围是(－1，)．
一元二次不等式解法应试能力测试
1．不等式的解集是( )
A． B． C． D．
2．设集合M＝{x|0≤x<2}，，则有M∩N＝( )
A．{x|0≤x<1} B．{x|0≤x<2} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤2}
3．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．－1≤a≤0 B．－1≤a<0 C．－1<a≤0 D．－1<a<0
4．不等式的解集为( )
A．{x|－2≤x≤2} B．{x|x≤－2或x≥2} C．{x|－2≤x≤2或x＝6} D．{x|x≥2}
5．已知，，则A∩B的非空真子集个数为( )
A．2 B．3 C．7 D．8
6．已知，，且A∪B＝R，A∩B＝{x|3<x≤4}，则p、q的值为( )
A．p＝－3，q＝－4 B．p＝－3，q＝4 C．p＝3，q＝－4 D．p＝3，q＝4
7．若关于x的二次不等式的解集是{x|－7<x<－1}，则实数m的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．不等式ax<b与同解，则( )
A．a＝0且b≤0 B．b＝0且a>0 C．a＝0且b>0 D．b＝0且a<0

1．不等式的解为_______________．
2．使函数有意义的x的取值范围是_______________．
3．已知，，若，则a的取值范围是_______________；
若，则a的取值范围是_______________．
4．关于x的不等式(a＋b>0)的解集是_______________．

1． 为使周长为20cm的长方形面积大于，不大于，它的短边要取多长？

2． 解不等式．

3．解关于x的不等式(a>0)．

4． k为何值时，关于x的不等式对一切实数x恒成立．

参考答案
一、
1．D 2．B 3．C 4．C
5．A 提示：因为A∩B＝{3，4}
6．A 提示：因B＝{x|x<－1或x>3}，由已知得A＝{x|－1≤x≤4}∴－1，4是的两根，∴p＝－3，q＝－4．
7．C 8．A，提示：因的解为，只有a＝0且b≤0时，ax<b解为
二、
1．x<－5或x>5 提示：原不等式化为，∴|x|>5
2．{x|－3<x≤－1} 3．a>2，1≤a≤2 ，提示：∵A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，∵，∴a>2
4．{x|x<－b或x>a}，提示：原不等式可化为(a－x)(x＋b)<0，即(x－a)(x＋b)>0，∵a＋b>0，∴a>－b，∴x>a或x<－b．
三、
1．设长方形较短边长为x cm，则其邻边长(10－x)cm，显然0<x<5，由已知，∴
∴． 2．当x≤0时，不等式无解，当x>0时，不等式化为，即
解得： 3．原不等式化为(ax－2)(x－2)>0 ，∵a>0，∴，当a＝1时，，∴，∴{x|x∈R且x≠2}，当a≠1时：若a>1，则，∴，若0<a<1，则，∴．
4．∵恒正，∴不等式化为，即恒成立
∴⊿，∴，∴1<k<3．