高中数学：求函数值域的方法十三种.doc

高中数学：求函数值域的十三种方法

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一、 观察法（☆ ）
二、 配方法（☆）
三、 分离常数法（☆）
四、 反函数法（☆）
五、 判别式法（☆）
六、 换元法（☆☆☆）
七、 函数有界性
八、 函数单调性法（☆）
九、 图像法（数型结合法）（☆）
十、 基本不等式法
十一、 利用向量不等式 
十二、 一一映射法
十三、 多种方法综合运用

一、观察法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。
【例1】求函数的值域。
【解析】∵，∴， ∴函数的值域为。
【例2】求函数的值域。
【解析】∵ ∴ 显然函数的值域是：
【例3】已知函数，，求函数的值域。
【解析】因为，而，，所以：
注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为，则函数的值域为。
二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。
【例1】 求函数的值域。
【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时， 故函数的值域是：[4，8]
【变式】已知，求函数的最值。
【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。
图2
【例2】 若函数时的最小值为，（1）求函数
（2）当[-3,-2]时，求g(t)的最值。（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法）
【解析】(1)函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。
图1
图2
图3
①如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。
②如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值。
③如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值
综上讨论，g(t)=
(2) 时，为减函数
在上，也为减函数
，
【例3】 已知，当时，求的最大值．
【解析】由已知可求对称轴为．
（1）当时，．
（2）当，即时，．
根据对称性若即时，．
若即时，．
（3）当即时，．
综上，
观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：
当时

当时

【例4】 (1) 求在区间[-1,2]上的最大值。
(2) 求函数在上的最大值。
【解析】(1)二次函数的对称轴方程为，
当即时，；
当即时，。 综上所述：。
(2)函数图象的对称轴方程为，应分，，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为
（1）；由图可知
（2）；由图可知
（3） 时；由图可知

；即
【例5】 已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。
【分析】这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。具体解法为：
（1）令，得
此时抛物线开口向下，对称轴方程为，且，故不合题意；
（2）令，得
此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意；
（3）若，得
此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意。
综上，或
解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。
【变式】 已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。
【解析】
（1）若，不符合题意。
（2）若则
由，得
（3）若时，则
由，得
综上知或
【例6】 已知函数在区间上的最小值是3最大值是3，求，的值。
【解法1】讨论对称轴中1与的位置关系。
①若，则
解得
②若，则，无解
③若，则，无解
④若，则，无解
综上，
【解法2】由，知，则，
又∵在上当增大时也增大所以 解得
评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了，的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。
【例7】 求函数的值域.
【解法1】
显然
故函数的值域是：
【解法2】显然3≤x≤5,,

三、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法（分母少，分子多），通过该方法可将原函数转化为为(常数)的形式此类问题一般也可以利用反函数法。
【例1】 求函数的值域
【解析】利用恒等变形，得到：，容易观察知x≠-1,y≠1，得函数的值域为y ∈(-∞,1)∪(1, +∞)。注意到分数的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。
【例2】 求函数的值域。
【解析】观察分子、分母中均含有项，可利用部分分式法；则有不妨令：从而 注意：在本题中应排除，因为作为分母。所以故
【变式】求下列函数的值域：
(1) (2) .
答案：（１）值域 （２）值域y ∈[-1,1]

四、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
【例1】求函数的值域。
【解析】由解得， ∵，∴，
∴ ∴函数的值域为。
【例2】求函数值域。
【解析】由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：
故所求函数的值域为：
【例3】 求函数的值域。
解答：先证明有反函数，为此，设且，
。
所以为减函数，存在反函数。可以求得其反函数为：。此函数的定义域为，故原函数的值域为。
【例4】 求函数的值域。
【解法1】-1≤x≤1 a-b≤a-bx≤a+b
，
【解法2】（反函数法）：,由-1≤x≤1得：，
五、 判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。（解析式中含有分式和根式。）
 【例1】求函数的值域。
【解析】原函数化为关于x的一元二次方程,由于x取一切实数，故有
（1）当时， 解得：
（2）当y=1时，，而
故函数的值域为
【例2】求函数的值域。
【解析】两边平方整理得：（1）
∵ ∴ 解得：
但此时的函数的定义域由，得
由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵
代入方程（1） 解得：
即当时， 原函数的值域为：
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
 解法二：，令

原函数的值域为：
【例3】 已知函数的值域为[1，3]，求的值。
【解析】
。
由于的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3}

【例4】求函数的值域。
【解法1】先将此函数化成隐函数的形式得：，(1)
这是一个关于的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式，解得：。
故原函数的值域为：。
【解法2】当x≠-1时
由于　　　当x+1<　0时， ，即
当x+1＞　0时，，即
考虑到x=-1时y=0 故原函数的值域为：
【例5】已知函数的最大值为4，最小值为 —1 ，则= ，=
【解析】
………………。
由于的值域为[－1，4]，故不等式的解集为{y|－1≤y≤4}

【例6】求函数的值域。
【解析】
y=0得x=-2,从而y=0是值域中的一个点；

， 由得函数的值域为R.
六、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解。
对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。
【例1】求函数的值域。
【解析】令（），则，
∴∵当，即时，，无最小值。
∴函数的值域为。
【例2】求函数的值域。
【解析】令 则在[2，10]上都是增函数
所以在[2，10]上是增函数
当x=2时，
当x=10时，
故所求函数的值域为：
【例3】求函数的值域。
【解析】原函数可化为：
令，显然在上为无上界的增函数
所以，在上也为无上界的增函数
所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值
显然，故原函数的值域为
【例4】求函数的值域。
【解析】因 即 故可令
∴

∵

故所求函数的值域为
【例5】求函数的值域。
【解析】原函数可变形为：
可令，则有

当时，
当时，
而此时有意义。
故所求函数的值域为
【例6】求函数，的值域。
【解析】

令，则

由 且 可得：
∴当时，，当时，
故所求函数的值域为。
【例7】 求函数的值域。
【解析】由，可得
故可令

∵
当时，
当时，
故所求函数的值域为：
【例8】求函数的值域。
【解析】令，则。
，
当时，，值域为
【例9】求函数的值域。
【解析】令，则，，
当时，
所以值域为。
【例10】．求函数的值域。
【解析】由=，
令，
因为，，
则=，
于是：，，
，所以：。
七、函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
 【例1】 求函数的值域。
【解析】由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得
， ∵，∴（，），
∴，∴， ∴函数的值域为
【例2】求函数的值域。
【解析】由原函数式可得：
∵ ∴ 解得： 故所求函数的值域为
【例3】求函数的值域。
【解析】由原函数式可得：，可化为：
即
∵ ∴ 即 解得：
故函数的值域为

 【例4】
【解法1】，，
解得　　即函数值域为：
【解法2】y看作是两点(4,3)和(2cos x,sin x)连线的斜率．即过点(4,3)且与椭圆有交点的直线，其斜率取值范围就是聚会取值范围．设y=k(x-4)+3 代入椭圆方程
得，由Δ＝0得答案．
【例5】 已知a>0，x1,x2是方程ax2+bx-a2=0的二个实根，并且|x1|+|x2|=2,求 a的取值范围以及b的最大值 。
【解析】由韦达定理知：x1x2=-a<0,故两根必一正一负，
｜x1|+|x2|=2
从而|x1-x2|=2
由韦达定理知：4=|x1-x2|2=(b2+4a3)/a2
从而4a2-4a3=b2≥0
即4a2(1-a) ≥ 0
即a≤1,注意到a>0，从而a的取值范围是0< a≤1

从而　
即b的最大值为，当且仅当a=2/3时“＝”成立。
八、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。
【例1】求函数的值域。
【解析】∵当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，
∴函数在定义域上是增函数。
∴，∴函数的值域为。

【例2】求函数在区间上的值域。
【解析】任取，且，则
，因为，所以：，
当时，，则；
当时，，则；而当时，
于是：函数在区间上的值域为。
构造相关函数，利用函数的单调性求值域。
【例4】求函数的值域。
【解析】因为，而与在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数，易知在定义域内单调增。，，，，
又，所以：，。
【例5】求函数的值域。
【解析】此题可以看作和，的复合函数，显然函数为单调递增函数，易验证亦是单调递增函数，故函数也是单调递增函数。而此函数的定义域为。
当时，取得最小值。当时，取得最大值。
故而原函数的值域为。
九. 图像法（数型结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。
【例1】求函数的值域。
【解析】∵ ，
∴的图像如图所示，
由图像知：函数的值域为
【例2】求函数的值域。

【解析】原函数可化简得：
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。
由上图可知，当点P在线段AB上时，
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
故所求函数的值域为：
【例3】求函数的值域。
【解析】原函数可变形为：

上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，
由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，
故所求函数的值域为

十、 基本不等式法：利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
【例1】求下列函数的值域：(1) (k>0);(2) 。
【解析】(1)若x>0时，则,等号仅当x=k/x，即时成立；
若x<0时，则,等号仅当-x=-k/x，即时成立；
故，
(2) 解法一：=，故
解法二：令,则．即方程　在[1,+∞)上有解．
所以．从而f(x)=0在区间[1,+∞)只能有一根，另一根在(0,1)内，从而f(1)≤0,即y≥2.
【例2】若，求的最小值
【解析】
∵ ∴
从而 ，
当且仅当，即x=-2时”=”成立
即
【例3】求函数的最小值
【解析】
当且仅当即时
【例4】求y=(xÎ)的最小值。
【解析】y>0,y2=(sec x+4csc x)2= sec2 x+16csc2 x+ 8sec xcsc x
=(tan2x+1)+16(cot2x+1)+8
=17+(tan2x+4cot x+4cot x)+ (16cot2 x+ 4tan x+4tan x)

=
当且仅当即（这是两个相同的方程）,
即当x=arctanÎ时，“=”成立（达到最小值）。
【例5】若函数y=f(X)的值域为,则函数的值域是 。
解析：f(x)>0, ,并且当f(x)=1时等号成立。而在tÎ时单调递减, 在tÎ[1，3]时单调递增。从而在区间上的值域为;在区间[1,3]上的值域为[g(1),g(3)]=[2,10/3].综合知F(x)的值域为
【例6】求函数的值域。
【解析】令，则
（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以
（2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为： 注：先换元，后用不等式法
十一、 利用向量不等式 
性质1 若，则

当且仅当时等式成立
性质2 ，当且仅当a，同向平行时右边等式成立，a，反向平行时左边等式成立。
性质3 ，当且仅当方向相同且两两平行时等式成立。
类型（1）型（同号）
【例1】 求函数的最大值。
【解析】构造向量
由性质1，得

当且仅当，即时，
解2：显然1≤x≤10,
(其中)

所以3≤即
类型（2）型
【例2】 求函数的最大值。
【解析】原函数可变为

取且

构造向量
由性质1，得

从而
当且仅当，即时，
类型（3）型（）
【例3】求函数的最小值。
【解析】构造向量
由性质2，得
当且仅当a与b同向平行时等式成立
所以（此时）
类型（4）其它类型
【例4】 设x1（i＝1，2，……，2003）为正实数，且，试求
的最小值。
【解析】构造向量

由性质3，得

即
【例5】 已知，求的最小值。
【解析】构造向量

从而
由性质3，得

当且仅当a=b=c=1/2时“＝”成立。
所以

十二、一一映射法
原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。
【例1】求函数的值域。
【解析】∵定义域为
由得
故或
解得
故函数的值域为
十三、多种方法综合运用
【例1】求函数的值域。
【解析】令，则
（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以
（2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：
注：先换元，后用不等式法
【例2】 求函数的值域。
【解析】
令，则

∴当时，
当时，
此时都存在，故函数的值域为
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。