中考数学总复习(北师大版)基础讲练-第21讲圆与圆的位置关系.doc

第21讲　圆与圆的位置关系

考纲要求
备考指津[来源:]
1.了解圆与圆的位置关系，并会判断两圆的位置关系．
2.掌握两圆位置关系的相关性质，并能运用这些性质进行证明与计算.
　　圆与圆位置关系的判定是中考考查的热点，一般借助两圆公共点的个数或利用两圆半径与圆心距的关系来判定，通常出现在选择题、填空题中．

考点　圆与圆的位置关系
1．概念：①两圆外离：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的外部；②两圆外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的外部；③两圆相交：两个圆有两个公共点；④两圆内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部；⑤两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部．
2．圆与圆位置关系的判断：设两圆半径分别为R和r，圆心距为O1O2＝D．两圆外离d＞R＋r；两圆外切d＝R＋r；两圆相交R－r＜d＜R＋r(R≥r)；两圆内切d＝R－r(R＞r)；两圆内含0≤d＜R－r(R＞r)．

1．已知⊙O1与⊙O2外切，它们的半径分别为2和3，则圆心距O1O2的长是(　　)．
A．O1O2＝1 B．O1O2＝5 C．1＜O1O2＜5 D．O1O2＞5
2．如图，分别以A，B为圆心，线段AB的长为半径的两个圆相交于C，D两点，则∠CAD的度数为__________．

一、圆与圆的位置关系
【例1】 若两圆相切，圆心距是7，其中一个圆的半径为10，则另一个圆的半径为__________．
解析：由题意知两圆相内切，则两圆半径、圆心距的关系为d＝R－r，即|10－r|＝7，
∴r＝3或17.
答案：3或17

圆和圆的位置关系按公共点的个数可分为相离、相切和相交；两圆无公共点则相离，有一个公共点则相切；有两个公共点则相交．其中相离包括内含和外离，相切包括外切和内切．
图中圆与圆之间不同的位置关系有(　　)．

A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
二、两圆位置关系的性质
【例2】 王师傅用如下方法测一钢管的内直径，首先将一小段钢管竖直放在平台上，再向内放入两个半径为5 cm的钢球，测得上面的一个钢球顶部高DC＝16 cm(钢管的轴截面如图所示)，求钢管内直径AD的长．

解：如题图，过O1作EF⊥BC，交AD于E，交BC于F.
过O2作O2G⊥AD于G，连接O1O2.
由条件可知，EF＝CD＝16 cm，O1E＝EF－O1F＝16－5＝11(cm)．
作O2H⊥O1E，垂足为H，
则EG＝O2H，O2G＝EH.
所以O1H＝O1E－EH＝11－5＝6(cm)．
又因为O1O2＝10 cm，
所以在Rt△O1O2H中，O2H＝8 cm.
所以EG＝8 cm.
所以AD＝AE＋EG＋GD＝5＋8＋5＝18(cm)．
所以，钢管内直径AD长为18 cm.

两圆相切的实际问题常利用相切两圆的连心线必过切点，圆心距等于两圆的半径和(或差)来求解．

1．(2012四川乐山)⊙O1的半径为3厘米，⊙O2的半径为2厘米，圆心距O1O2＝5厘米，这两圆的位置关系是(　　)．
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切[来源:数理化网]
2．(2011四川达州)如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有(　　)．

A．内切、相交 B．外离、相交 C．外切、外离 D．外离、内切
3．(2011广东湛江)如图，⊙O1，⊙O2的直径分别为2 cm和4 cm，现将⊙O1向⊙O2平移，当O1O2＝__________ cm时，⊙O1与⊙O2相切．

4．(2011福建福州)以数轴上的原点O为圆心，3为半径的扇形中，圆心角∠AOB＝90°，另一个扇形是以点P为圆心，5为半径，圆心角∠CPD＝60°，点P在数轴上表示实数a，如图．如果两个扇形的圆弧部分(和)相交，那么实数a的取值范围是__________．

5．(2011江苏南京)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2 cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s.

(1)当t＝1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
(2)已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．

1．如图，5个圆的圆心在同一条直线上，且互相相切，若大圆的直径是12,4个小圆大小相等，则这5个圆的周长的和为(　　)．

A．48π B．24π C．12π D．5π[来源:]
2．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O1O2的取值范围在数轴上表示正确的是(　　)．

3．如图，在7×4的方格(每个方格的边长为1个单位长)中，⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，将⊙A由图示位置向右平移1个单位长后，⊙A与静止的⊙B的位置关系是(　　)．

A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
4．两圆的圆心坐标分别是(，0)和(0,1)，它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系是(　　)．
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
5．若两圆相外切，圆心距为8，其中一个圆的半径为3，则另一个圆的半径是__________．
6．如图，小圆的圆心的原点，半径为3，大圆的圆心坐标为(a,0)，半径为5.如果两圆内含，那么a的取值范围是__________．

7．如图，施工工地的水平地面上，有三根外直径都是1 m的水泥管，两两相切地堆放在一起，则其最高点到地面的距离是__________．

8．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别为3 cm和5 cm，则AB的长为__________cm.

9．如图所示，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O的弦AC相交于D，DE⊥OC，垂足为E.

(1)求证：AD＝DC；
(2)求证：DE是⊙O1的切线；
(3)如果OE＝EC，请判断四边形O1OED是什么四边形，并证明你的结论．
参考答案
基础自主导学
自主测试
1．B　2.120°
规律方法探究
变式训练　A
知能优化训练
中考回顾
1．D　2.B　3.1或3　4.－4≤a≤－2
5．解：(1)直线AB与⊙P相切．
如图，过P作PD⊥AB，垂足为D.

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵AC＝6 cm，BC＝8 cm，
∴AB＝＝10 cm.
∵P为BC中点，
∴PB＝4 cm.
∵∠PDB＝∠ACB＝90°，∠PBD＝∠ABC，
∴△PBD∽△ABC.
∴＝，即＝.
∴PD＝2.4(cm)．
当t＝1.2时，PQ＝2t＝2.4(cm)．
∴PD＝PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径．∴直线AB与⊙P相切．
(2)∵∠ACB＝90°，
∴AB为△ABC的外接圆的直径．
∴OB＝AB＝5 cm.连接OP，如图．
∵P为BC中点，∴OP＝AC＝3 cm.
∵点P在⊙O内部，∴⊙P与⊙O只能内切．
∴5－2t＝3或2t－5＝3.∴t＝1或4.
∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4.[来源:数理化网]
模拟预测
1．B　2.A　3.D 4．D
5．5　6.－2＜a＜2　7. m
8．8
9．解：(1)证明：如图，连接OD，
[来源:]
∵AO是⊙O1的直径，
∴∠ADO＝90°.∵AC为⊙O的弦，OD⊥AC，∴AD＝DC.
(2)证明：∵D为AC中点，O1为AO中点，∴O1D∥OC.
又∵DE⊥OC，∴DE⊥O1D.∴DE与⊙O1相切．
(3)O1OED为正方形．
证明：∵OE＝EC，且D为AC中点，
∴DE∥O1O.又∵O1D∥OE，
∴四边形O1OED为平行四边形．
又∵∠DEO＝90°，O1O＝O1D，
∴四边形O1OED为正方形．