中考数学总复习(北师大版)基础讲练-第8讲平面直角坐标系及函数的概念与图象.doc

第8讲　平面直角坐标系及函数的概念与图象

考纲要求
备考指津
1.会画直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标．
2．掌握坐标平面内点的坐标特征．
3．了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析．
4．能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值.
　　中考题型以选择题、填空题为主，有时也作为函数综合题的一个方面来考查，难度较低．这部分知识常以生活实际为背景，与生活实际应用相联系进行命题，解题时往往要用数形结合、分类讨论等数学方法进行思考．

考点一　平面直角坐标系与点的坐标特征[来源:]
1．平面直角坐标系
如图，在平面内，两条互相竖直的数轴的交点O称为原点，水平的数轴叫x轴(或横轴)，竖直的数轴叫y轴(或纵轴)，整个坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限．

2．各象限内点的坐标特征
点P(x，y)在第一象限x＞0，y＞0；
点P(x，y)在第二象限x＜0，y＞0；
点P(x，y)在第三象限x＜0，y＜0；
点P(x，y)在第四象限x＞0，y＜0.[来源:]
3．坐标轴上的点的坐标的特征
点P(x，y)在x轴上y＝0，x为任意实数；
点P(x，y)在y轴上x＝0，y为任意实数；
点P(x，y)在坐标原点x＝0，y＝0.
考点二　特殊点的坐标特征
1．对称点的坐标特征
点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标为(x，－y)；关于y轴的对称点P2的坐标为(－x，y)；关于原点的对称点P3的坐标为(－x，－y)．
2．与坐标轴平行的直线上点的坐标特征
平行于x轴：横坐标不同，纵坐标相同；
平行于y轴：横坐标相同，纵坐标不同．
3．各象限角平分线上点的坐标特征
第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相同，第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标互为相反数．
考点三　距离与点的坐标的关系
1．点与原点、点与坐标轴的距离
(1)点P(a，b)到x轴的距离等于点P的纵坐标的绝对值，即|b|；点P(a，b)到y轴的距离等于点P的横坐标的绝对值，即|a|.
(2)点P(a，b)到原点的距离等于点P的横、纵坐标的平方和的算术平方根，即.
2．坐标轴上两点间的距离
(1)在x轴上两点P1(x1,0)，P2(x2,0)间的距离|P1P2|＝|x1－x2|.
(2)在y轴上两点Q1(0，y1)，Q2(0，y2)间的距离|Q1Q2|＝|y1－y2|.
(3)在x轴上的点P1(x1,0)与y轴上的点Q1(0，y1)之间的距离|P1Q1|＝.[来源:][来源:]
考点四　函数有关的概念及图象
1．函数的概念
一般地，在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
2．常量和变量
在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量．
3．函数的表示方法
函数主要的表示方法有三种：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．
4．函数图象的画法
(1)列表：在自变量的取值范围内取值，求出相应的函数值；(2)描点：以x的值为横坐标，对应y的值作为纵坐标，在坐标平面内描出相应的点；(3)连线：按自变量从小到大的顺序用光滑曲线连接所描的点．
考点五　函数自变量取值范围的确定
确定自变量取值范围的方法：
1．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数．
2．当自变量以二次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数；以三次方根出现时，它的取值范围为全体实数．
3．当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的实数．
4．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．

1．在平面直角坐标系中，点P(－1,3)位于(　　)．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．点A(2，－3)关于x轴的对称点的坐标为(　　)．
A．(2,3) B．(－2，－3) C．(－2,3) D．(2，－3)
3．点P在第四象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P的坐标为__________．
4．函数y＝的自变量x的取值范围是__________．
5．一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15 km/h，水流速度为5 km/h.轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间内，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t(h)，航行的路程为s(km)，则s与t的函数图象大致是(　　)．

6．甲、乙两人准备在一段长为1 200 m的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4 m/s和6 m/s.起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两人之间的距离y(m)与时间t(s)的函数图象是(　　)．

一、平面直角坐标系内点的坐标特征
【例1】 在平面直角坐标系中，若点(2x＋1，x－2)在第四象限，则x的取值范围是(　　)．
A．x＞－ B．x＜2 C．x＜－或x＞2 D．－＜x＜2
解析：根据平面直角坐标系中点的坐标特征可得解得－＜x＜2.
答案：D

掌握平面直角坐标系中各象限及坐标轴上点的坐标特征，构造不等式(组)是解决此类问题的常用方法．
在平面直角坐标系中，如果mn＞0，那么点(m，|n|)一定在(　　)．
A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限
C．第二象限或第四象限 D．第三象限或第四象限
二、距离与点坐标的关系
【例2】 如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，A点坐标为(2，－1)，则△ABC的面积为__________平方单位．

解析：利用数轴得出B点坐标为(4,3)，C点坐标为(1,2)，然后利用割补法，结合点的坐标与距离的关系求出△ABC的面积．
答案：5

图形的割补法是解决有关图形面积的常用方法，需要同学们在解题时合理地利用图形进行巧妙分割，此类题型的解法往往不唯一．
三、函数图象的应用
【例3】 如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到O点的距离为s，则s关于t的函数图象大致为(　　)．

解析：本题是典型的数形结合问题，通过对图形的观察，可以看出s与t的函数图象应分为三段：(1)当蚂蚁从点O到点A时，s与t成正比例函数关系；(2)当蚂蚁从点A到点B时，s不变；(3)当蚂蚁从点B回到点O时，s与t成一次函数关系，且回到点O时，s为零．
答案：C

利用函数关系和图象分析解决实际问题，要透过问题情境准确地寻找出问题的自变量和函数，探求变量和函数之间的变化趋势，合理地分析变化过程，准确地结合图象解决实际问题．
四、函数自变量取值范围的确定
【例4】 函数y＝的自变量x的取值范围是(　　)．
A．x≥－2且x≠2 B．x＞－2且x≠2 C．x＝±2 D．全体实数
解析：要使函数有意义，必须同时满足二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不能为零，即解得x≥－2且x≠2.
答案：A

求函数自变量的取值范围，往往通过解不等式或不等式组来确定．因此，掌握一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，是求函数自变量取值范围的基础，同时要学会这种转化的思想方法．

1．(2012四川成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(－3,5)关于y轴的对称点的坐标为(　　)．

A．(－3，－5) B．(3,5) C．(3，－5) D．(5，－3)
2．(2012重庆)2012年“国际攀岩比赛”在重庆举行，小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与比赛现场的距离为s，下面能反映s与t的函数关系的大致图象是(　　)．

3．(2011广东湛江)如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为(4,0)，点B的纵坐标是－1，则顶点A的坐标是(　　)．

A．(2，－1) B．(1，－2) C．(1,2) D．(2,1)
4．(2011内蒙古呼和浩特)函数y＝中，自变量x的取值范围为__________．
5．(2011江苏盐城)有六个学生分成甲、乙两组(每组三个人)，分乘两辆出租车同时从学校出发去距学校60 km的博物馆参观，10分钟后到达距离学校12 km处有一辆汽车出现故障，接着正常行驶的一辆车先把第一批学生送到博物馆再回头接第二批学生，同时第二批学生步行12 km后停下休息10分钟恰好与回头接他们的小汽车相遇，当第二批学生到达博物馆时，恰好已到原计划时间．设汽车载人和空载时的速度分别保持不变，学生步行速度不变，汽车离开学校的路程s(千米)与汽车行驶时间t(分钟)之间的函数关系如图所示，假设学生上下车时间忽略不计．

(1)汽车载人时的速度为__________km/min；第一批学生到达博物馆用了__________分钟．
(2)求汽车在回头接第二批学生途中(即空载时)的速度．
(3)假设学生在步行途中不休息且步行速度每分钟减小0.04 km，汽车载人时和空载时速度不变，问能否经过合理的安排，使得学生从学校出发全部到达目的地的时间比原计划时间早10分钟？如果能，请简要说出方案，并通过计算说明；如果不能，简要说明理由．

1．如图所示，小手盖住的点的坐标可能为(　　)．

A．(5,2) B．(－6,3) C．(－4，－6) D．(3，－4)
2．若点P(a，a－b)在第四象限，则点Q(b，－a)在(　　)．
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
3．如图是中国象棋棋盘的一部分，若在点(1，－1)上，在点(3，－1)上，则的坐标是(　　)．

A．(－1,1) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－2,2)
4．小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步到离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是(　　)．

5．点P(1,2)关于x轴的对称点P1的坐标是__________，点P(1,2)关于原点O的对称点P2的坐标是__________．
6．已知一条直线l平行于x轴，P1(－2,3)，P2(x2，y2)是直线l上的两点，且P1，P2的距离为4，则P2的坐标为__________．
7．如图所示，正方形ABCD的边长为10，点E在CB的延长线上，EB＝10，点P在边CD上运动(C，D两点除外)，EP与AB相交于点F，若CP＝x，四边形FBCP的面积为y，则y关于x的函数关系式是__________．

8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C坐标是(3,4)，求顶点B的坐标．

9．在如图所示的方格纸中，把每个小正方形的顶点称为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”，根据图形，解决下面的问题：

(1)请描述图中的格点△A′B′C′是由格点△ABC通过哪些变换方法得到的？
(2)若以直线a，b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点C的坐标为(－3,1)，请写出格点△DEF各顶点的坐标，并求出△DEF的面积．
参考答案
基础自主导学
自主测试
1．B　2.A　3.(3，－2)　4.x≠2　5.C　6.C
规律方法探究[来源:]
变式训练　A
知能优化训练
中考回顾
1．B　2.B　3.D　4.x＞－3
5．(1)1.2　50　(2)1.8 km/min
(3)解：能够合理安排．
方案：从故障点开始，在第二批学生步行的同时出租车先把第一批学生送到途中放下，让他们步行，再回头接第二批学生，当两批学生同时到达博物馆，时间可提前10分钟．
理由：设从故障点开始第一批学生乘车t1分钟，汽车回头时间为t2分钟，
由题意得：
解得
从出发到达博物馆的总时间为：10＋2×32＋16＝90(分钟)，即时间可提前100－90＝10(分钟)．
模拟预测
1．D　2.A　3.D　4.C 5．(1，－2)　(－1，－2)　6.(2,3)或(－6,3)
7．y＝x(0＜x＜10) 8．(8,4)
9．解：(1)先将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，再向右平移5个单位得到△A′B′C′(或先平移再旋转也可)．
(2)D(0，－2)，E(－4，－4)，F(2，－3)．
S△DEF＝6×2－×4×2－×2×1－×6×1＝4.