中考数学-考点跟踪突破20-锐角三角函数和解直角三角形.doc

锐角三角函数和解直角三角形
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(沈阳模拟)如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA＝(　D　)
A. B. C. D.
,第1题图)　　　　,第2题图)
2．(2015·荆门)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为(　A　)
A. B.－1
C．2－ D.
3．(锦州模拟)在△ABC中，若|cosA－|＋(1－tanB)2＝0，则∠C的度数是(　C　)
A．45° B．60° C．75° D．105°
4．(2014·德州)如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为(　B　)
A．4米 B．6米
C．12米 D．24米
,第4题图)　　　,第5题图)
5．(2015·泰安)如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是(　D　)
A．20海里 B．40海里
C.海里 D.海里
二、填空题(每小题5分，共25分)
6．(2015·柳州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝7，则sinB＝____．
,第6题图)　　　　,第7题图)
7．(朝阳模拟)如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2000米，则他实际上升了__1000__米．
8．(2015·宁波)如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°.若旗杆与教学楼的距离为9 m，则旗杆AB的高度是__(3＋9)__m．(结果保留根号)
,第8题图)　　　　,第9题图)
9．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB＝，EC＝2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是__4.8__．

点拨：设菱形ABCD的边长为x，则AB＝BC＝x，又EC＝2，所以BE＝x－2，因为AE⊥BC于E，所以在Rt△ABE中，cosB＝，又cosB＝，于是＝，解得x＝10，即AB＝10.所以易求BE＝8，AE＝6，当EP⊥AB时，PE取得最小值．故由三角形面积公式有：AB·PE＝BE·AE，求得PE的最小值为4.8　

10．(2014·宁波)为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出__17__个这样的停车位．(≈1.4)

点拨：如图，BC＝2.2×sin45°＝2.2×≈1.54(米)，CE＝5×sin45°＝5×≈3.5(米)，BE＝BC＋CE≈5.04，EF＝2.2÷sin45°＝2.2÷≈3.14(米)，(56－5.04)÷3.14＋1＝50.96÷3.14＋1≈16＋1＝17(个)．故这个路段最多可以划出17个这样的停车位　

三、解答题(共50分)
11．(12分)(盘锦模拟)如图①，将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，已知∠CGD＝42°.
(1)求∠CEF的度数；
(2)将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角板的顶点B，交AC边于点H，如图②，点H，B在直尺上的度数分别为4，13.4，求BC的长．(结果保留两位小数；参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)

　解：(1)∵∠CGD＝42°，∠C＝90°，∴∠CDG＝90°－42°＝48°，∵DG∥EF，∴∠CEF＝∠CDG＝48°　(2)∵点H，B的读数分别为4，13.4，∴HB＝13.4－4＝9.4，∴BC＝HBcos42°≈9.4×0.74≈6.96.答：BC的长为6.96　

12．(14分)(2015·营口)如图，我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53°方向上．
(1)求CD两点的距离；
(2)渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处相会合，求∠ECD的正弦值．
(参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)

　解：(1)过点C，D分别作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分别为G，F，∵在Rt△CGB中，∠CBG＝90°－60°＝30°，∴CG＝BC＝×(30×)＝7.5，∵∠DAG＝90°，∴四边形ADFG是矩形，∴GF＝AD＝1.5，∴CF＝CG－GF＝7.5－1.5＝6，Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∵∠DCF＝53°，∴cos∠DCF＝，∴CD＝＝＝10(海里)，答：CD两点的距离是10海里　(2)设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，由题意知CE＝30t，DE＝1.5×2×t＝3t，∠EDC＝53°，过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHD＝∠CHE＝90°，∴sin∠EDH＝，∴EH＝EDsin53°＝3t×＝t，∴在Rt△EHC中，sin∠ECD＝＝＝，即sin∠ECD＝　

13．(10分)(2014·遵义)如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)

　解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i＝＝＝tan∠ECF，∴∠ECF＝30°，∴EF＝CE＝10米，CF＝10米，∴BH＝EF＝10(米)，HE＝BF＝BC＋CF＝(25＋10)米，在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，∴AH＝HE＝(25＋10)米，∴AB＝AH＋HB＝(35＋10)米．答：楼房AB的高为(35＋10)米　

14．(14分)(2015·上海)如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音(XRS)的影响．
(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？
(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米；参考数据：≈1.7)

　解：(1)连接PA.由题意知，AP＝39米．在直角△APH中，PH＝＝＝36(米)　(2)由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．在Rt△ADH中，DH＝＝15米．在Rt△CDQ中，DQ＝＝＝78(米)，则PQ＝PH＋HQ＝PH＋DQ－DH＝36＋78－15≈114－15×1.7＝88.5≈89(米)．答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米