考点跟踪训练36锐角三角函数和解直角三角形.doc

考点跟踪训练36　锐角三角函数和解直角三角形

一、选择题
1．(2011·黄冈)cos 30°＝(　　)
A. B. C. D.
答案　C
2．(2011·温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sin A的值是(　　)

A. B. C. D.
答案　A
解析　在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝.
3．(2011·达州)如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是(　　)

A.sin 30°<x<sin 60° B．cos 30°<x<cos 45°
C.tan 30°<x<tan 45° D.tan 45°<x<tan 60°
答案　D
解析　因为tan45°＝1，tan60°＝，所 tan45°＝×1＝，而1.5<x<2，故选D.
4．(2011·芜湖)如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为(　　)

A. B. C. D.

答案　C
解析　设⊙A交x轴于点D.连接CD，因为∠COD＝90°，所以CD是直径，且∠OBC＝∠ODC.在Rt△OCD中，OC＝5，CD＝10，则OD＝5 ，所以cos∠OBC＝cos∠ODC＝＝＝.

5．(2011·福州)Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，那么c等于(　　)
A．acos A＋bsin B B．asin A＋bsin B
C.＋ D.＋
答案　B

解析　如图，画CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，sinB＝sin∠ACD＝，所以AD＝bsinB，同理，BD＝a·sinA，故C＝AB＝AD＋BD＝asinA＋bsinB.
二、填空题
6．(2011·武汉) sin 30°的值为________．
答案　

7．(2011·义乌)右图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC＝135°，BC的长约是5 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是________m.

答案　5
解析　过C画CE⊥AB于E，在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，BC＝5 ，则BE＝CE＝5，即h＝5.
8．(2011·茂名)如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC＝________米．

答案　100
解析　如图，AD∥BC，则∠ABC＝∠BAD＝45°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，BC＝AC＝100.

9．(2011·衢州)在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图)，那么，由此可知，B、C两地相距___________m.

答案　200
解析　如图，在△ABC中，∠ABC＝90°＋30°＝120°，∠BAC＝90°－60°＝30°，所以∠C＝30°＝∠BAC，BC＝AB＝200.

10．(2011·潼南)如图，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径，在对应⊙O的切线BD(点D为切点)上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，则直径AD＝________米．(结果精确到1米．参考数据：≈1.414，≈1.732)

答案　260
解析　设AD＝x，在Rt△ABD中，∠B＝30°，
则BD＝AD＝x.
在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，
则CD＝＝＝x.
又∵BD－CD＝BC，∴x－x＝300，
得x＝300，x＝150 ≈260(米)．
三、解答题
11．(2011·金华)生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°(α为梯子与地面所成的角)，能够使人安全攀爬，现在有一长为6m的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC.(结果保留两个有效数字，sin 70°≈0.94，sin 50°≈0.77，cos 70°≈0.34，cos 50°≈0.64)

解　由题意知，当α越大，梯子的顶端达到的最大高度越大．因为当50°≤α≤70°时，能够使人安全攀爬，所以当α＝70°时AC最大．
在Rt△ABC中，AB＝6米，α＝70°，
sin 70°＝，即0.94≈，解得AC ≈5.6.
答：梯子的顶端能达到的最大高度AC约5.6m.

12．(2011·铜仁)如图，在A岛周围25海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继续前行20海里到达B处发现A岛在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？ (参考数据：≈1.414，≈1.732)

解　根据题意，有∠AOC＝30°，∠ABC＝45°，
∠ACB＝90°，∴BC＝AC，
在Rt△AOC中，由tan 30°＝，
得＝，
解得AC＝≈27.32(海里)．
∵27.32(海里)>25(海里)，
∴轮船不会触礁．
13．(2011·威海)一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°， ∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．

解　过点B作BM⊥FD于点M.

在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝AC·tan 60°＝10 ，
∵AB∥CF，∴∠BCM＝30°.
∴BM＝BC·sin 30°＝10 ×＝5 ，
CM＝BC·cos 30°＝10 ×＝15.
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5 .
∴CD＝CM－MD＝15－5 .
即CD的长为15－5 .

14．(2011·常德)青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃．如图所示，一天，灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处的俯角为60°，然后下到城堡的C处，测得B处的俯角为30°.已知AC＝40米，若灰太狼以5m/s的速度从城堡底部D处出发，几秒钟后能抓到懒羊羊？(结果精确到个位)

解　在Rt△BCD中，
∵∠BCD＝90°－30°＝60°，
∴＝tan 60°，则BD＝CD.
在Rt△ABD中，
∵∠ABD＝60°，
∴＝tan 60°，即＝，
∴CD＝20.
∴t＝≈＝7.
故约7秒钟后灰太狼能抓到懒羊羊．
15．(2011·扬州)如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝30°，另一根辅助支架DE＝76厘米，∠CED＝60°.
(1)求垂直支架CD的长度；(结果保留根号)
(2)求水箱半径OD的长度．(结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.41，≈1.73)

解　(1)在Rt△DCE中，∠CED＝60°，DE＝76，
∵sin∠CED＝，
∴CD＝DE·sin∠CED＝38 (厘米)．
答：垂直支架CD的长度为38 厘米．
(2)设水箱半径OD＝x厘米，则OC＝(38 ＋x)厘米，AO＝(150＋x)厘米，
∵Rt△OAC中，∠BAC＝30°，
∴AO＝2×OC，即：150＋x＝2(38 ＋x)．
解得，x＝150－76 ≈18.52≈18.5(厘米)．
答：水箱半径OD的长度为18.5厘米．
四、选做题
16．(2011·南充)如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．
(1)求证：△ABF∽△DFE；
(2)若sin∠DFE＝，求tan∠EBC的值．

解　(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°.
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴∠BFE＝∠C＝90°.
∴∠AFB＋∠DFE＝180°－∠BFE＝90°.
又∵∠AFB＋∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DFE，
∴△ABF∽△DFE.
(2)解：在Rt△DEF中，sin∠DFE＝＝，
∴设DE＝a，EF＝3a，则DF＝＝2 a.
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴CE＝EF＝3a，CD＝DE＋CE＝4a，AB＝4a, ∠EBC＝∠EBF.
又由(1)得，△ABF∽△DFE，
∴＝＝＝，
∴tan∠EBF＝＝，
∴tan∠EBC＝tan∠EBF＝.