向量集值优化问题全局真有效解的最优性条件_万莉娟.pdf

第 43 卷 第 3 期 高 师 理 科 学 刊 Vol.43 No.3 2023 年 3 月 Journal of Science of Teachers College and University Mar.2023 文章编号：1007-9831（2023）03-0001-04 向量集值优化问题全局真有效解的最优性条件 万莉娟，马静微，李泽（1.齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006；2.齐齐哈尔市第三十四中学校，黑龙江 齐齐哈尔 161005；3.佳木斯大学 校长办公室，黑龙江 佳木斯 154007）摘要：利用分离定理并借助于集值映射的余切上图导数、Y-上图导数和 Clarke 正切上图导数，给出了向量集值优化问题取得全局真有效解的 3 个最优性条件.关键词：向量集值优化；有效解；上图导数；最优性条件 中图分类号：O152 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2023.03.001 Optimality conditions for globally proper efficient solution of vector set-valued optimization problem WAN Lijuan1，MA Jingwei2，LI Ze3（1.School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China；2.No.34 Middle School of Qiqihar，Qiqihar 161005，China；3.Headmasters Office，Jiamusi University，Jiamusi 154007，China）AbstractAbstract：By using separation theorem and the contingent epiderivative，Y-epiderivative and Clarke tangent epiderivative of set-valued map，three optimality conditions of globally proper efficient solution of vector set-valued optimization problem was given Key wordsKey words：vector set-valued optimization；efficient solution；epiderivative；optimality condition 1 引言及预备知识 文献1给出了一个集值映射的余切上图导数、Y-上图导数和 Clarke 正切上图导数的概念，并应用它们进行了灵敏度分析 文献2借助余切上图导数给出了集值优化问题 Benson 真有效解的一个最优性必要条件文献3借助径向上图导数给出了非凸集值优化问题取得局部弱 Pareto 极小解的充要条件本文在此基础上，利用分离定理并借助集值映射的余切上图导数、Y-上图导数和 Clarke 正切上图导数给出了向量集值优化问题取得全局真有效解的个最优性条件 考虑向量集值优化问题（SVOP）()()()mins.t.F xxSG xD-（1）式中：S为F的定义域；G为一个实赋范空间X到实线性赋范空间Z的集值映射；D为Z中的一个非空的尖闭凸锥 收稿日期：2022-08-10 基金项目：黑龙江省教育厅基本业务专项（135309474）作者简介：万莉娟（1975-），女，黑龙江克山人，副教授，从事非线性分析研究E-mail：W 2 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷 记():()AxS G xD=-，()():F AF xxA=设2YFX：是一个集值映射（这里Y是实赋范空间），F的定义域、图和上图分别定义为()dom:,()FxXF x=，()()graph:,:FxyXY=dom(),()xFyF x，()()epi:,:dom(),()FxyXY xFyF xC=+（C是Y中的尖闭凸锥）定义 1221 若()()()()()domdom,xFGyF xzG xD-，则称(),xyzSYZ为一个可行的三元组 定义 24 设()()00,graphxyF，若存在Y中的尖凸锥H，满足C 0intH，使得()()0()F AyH-=0，则称()00,xy为向量集值优化问题（1）的一个全局真有效解 定义 332 设A是X的一个非空子集，0 xA，称()0C AxhX=，对每一个A中的序列 nx和每一个收敛于 0 的正实数序列 nt，有一个X中的序列 nv，limnnvh=，使得对于任意nN，都有nn nxt vA+为A在0 x的 Clarke 正切锥 定义 41378 设()()00,graphxyF，若集值映射()00,:CF xyXY，满足()()00graph,CF xy=()()00epi(),CFxy，则称()00,CF xy为F在()00 xy，的 Clarke 正切上图导数 定义 51380 设()()00,graphxyF，若集值映射()00YF xyXY，：满足:()()00yYF xyx，存在一个序列(),epi()nnxyF和一个正实数序列 nt，使得0limnnyy=，()()00lim,nnnntxxyyxy-=，则称()00,:YF xyXY为F在()00,xy的Y-上图导数 定义 65 设2YFX：是一个集值映射，C是Y中的一个尖闭凸锥，若对于任意的12,xxX 0,1，都有()()()()()121211F xF xFxxC+-+-+，则称F在X上是C-凸的 定义1377 设A是X的一个非空子集，0 xA，称()0T AxhX=，存在序列 nxA和一个正实数序列 nt，使得0limnnxx=且()0limnnntxxh-=为A在0 x的余切锥 定义 81381 设()()00graphxyF，如果一个集值映射()00DF xyXY，：，满足()()00graph,DF xy=()()00epi(),TFxy，则称()00DF xyXY，：为F在()00 xy，的余切上图导数 定义 96 设A是X的一个非空子集，0 xA，称()0R AxhX=，存在序列 nxA和一个正实数序列 nt，使得()0limnnntxxh-=为A在0 x的径向锥 定义 107 设()()00graphxyF，如果一个集值映射()00:RF xyXY，满足()()00graph,RF xy=()()00epi(),RFxy，则称()00:RF xyXY，为F在()00 xy，的径向上图导数 引理 18 设()()00graphxyF，则()()()()()()000000graph,graph,graph,CF xyDF xyYF xy()()00graph,RF xy 引理 29 设()()00graphxyF，若F是C-凸的，则()()()()()()()()00000000graph,graph,graph,graph,CF xyDF xyYF xyRF xy=用,AAFG分别表示F，G在A上的约束；#:CfY*=对于所有的yC 0，有()f y 0，其中Y*是Y的拓扑对偶空间 引理 310 设()()00graphxyF，若存在00()()zG xD-，#fC，*uD，使得对于所有的x()()000dom,AAR FGxyz，()()()()000,AAyzR FGxyzx，都有()00u z=，()()0fyu z+，则()00 xy，是向量集值优化问题（1）的一个全局真有效解 设(),FG是一个从X到YZ的集值映射，记()()()()(),FGxF xG x=2 主要结果及证明 定理 1 设()()00graphxyF，intD，若()00 xy，为向量集值优化问题（1）的一个全局真有效解，第 3 期 万莉娟，等：向量集值优化问题全局真有效解的最优性条件 3 则对于任意的()()00zG xD-，存在Y中的一个尖凸锥H，使得对所有的()()000dom,xY FGxyz，都有()()()()()()0000,()0,intY FGxyzxzHD+-=证明 由于()00 xy，为向量集值优化问题（1）的一个全局真有效解，故由定义 2 可知，存在Y中的尖凸锥H，满足C 0int H，使得()()0()0F AyH-=（2）取HH=，只需证对于任意的()()00zG xD-，式()()()()()0000,(),intY FGxyzxzHD+-=（3）对于所有的()()000dom,xY FGxyz都成立 用反证法，若存在()()000dom,xY FGxyz，使得()()()()()()00000,yzzY FGxyzxz+()()int HD-（这里(),yzYZ），则有()()()()000,yzY FGxyzx且intyH-由定义 5 可知，存在一个序列()(),epi,nnnxyzFG和一个正实数序列 nt，使得()lim,nnnyz=()00,yz，()()000lim,nnnnntxxyyzzx yz-=，又intyH-，故存在1N，当1nN时，有0intnyyH-同理，由于nt0，D是一个锥，0intzzD+-且()0limnnntzzz-=，故存在2N，当2nN时，有()00intnntzzzD-+-（4）则必存在12max,NNN，使得Nt1（否则，有0limnnyy=，()0lim0nnntyyy-=，这与intyH-矛盾）由式（4）可知，()00011intNNNNNtzzztzzDt-+=-，所以011intNNzzDt-，由于Nt1 且0zD-，011NzDt-，故intintNzDDD-=-对于任意的自然数n，由于()(),epi,nnnxyzFG，则有()nnyF x，()nnzG x，使得nnyyC+,nnzzD+，于是00intintNNyyCyHCyH-=-，intintNNzzDDDD-=-，故(),NNNxyz是一个可行的三元组，但0intNyyH-，这与式（2）矛盾，故式（3）成立 证毕 定理 2 设()()00graphxyF，int D，若()00 xy，为向量集值优化问题（1）的一个全局真有效解，则对于任意的()()00zG xD-，存在个不全为 0 的函数f，u，*#*,YfCuD，使得对所有的()()000dom,xC FGxyz，()()()()000,yzC FGxyzx，都有()()()000u zfyu z=+，证明 由于()00 xy，为向量集值优化问题（1）的一个全局真有效解，故由定义 2 可知，存在Y中的尖凸锥H，满足C 0int H，使得()()()00F AyH-=对 于 任 意 的()()00zG xD-，记()()()()0000,xQC FGxyzxz=+，式 中：()()000dom,C FGxyz=证明Q是一个凸集记()100,QQz=-，只需证明1Q是凸集即可 设()()11221,y zyzQ，则存在12,x x，使得()()()()000,(1,2)iiiyzC F Gxyzxi=，故(),iiix y z ()()()000epi,(1,2)CFGxyzi=，但()()()000epi,CFGxyz是一个凸锥，故()111,xyz+()()()()()()2220001,epi,0,1xyzCFGxyz-，则()()()12121,1yyzz+-+-()()()()00012,1C FGxyzxx+-，所以1Q是凸集，从而Q也是凸集 由定理 1 和引理 1 可知，()()intQHD-=，再由分离定理可知，存在个不全为 0 的函数*fY，*uZ和一个实数，使得对所有的(),yzQ，有()()fyu z+（5）4 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷 对于所有的()(),intyzHD-，有()()fyu z+（6）当()(),intyzHD-时，考虑()0,0附近的(),yz，由式（6）及f，u的连续性可知，0，且对于所有的intyH-，都有()fy 因为H是一个锥，且对于所有的intyH-，有()0fy，即对于所有的yH，有()0fy，故*fH同理可得*uD 若*0Yf，则对于所有的()int0yHfy，有，由于C 0int H，则对于所有的cC 0，有()0f c，故#fC，即*#0YfC 注意到()00,zQ，由式（5）可知，()00u z，但0zD-且*uD，故()00u z所以对于任意的()()000dom,xC FGxyz和()()()000(,),y zC FGxyzx，有()00u z=由于()()()()0000,0,C FGxyzxzQ+且()00u z=，故由式（5）可知，()()0f yu z+证毕 给出一个假设()L:对于任意的*uD*0Z，都存在xA，使得()()()intu G x+-R，式中：*Z是Z的拓扑对偶空间；:0rr+=RR 定理 3 设()()00graphxyF，int D，若F是C-凸的，G是D-凸的，且G满足假设()L，则()00 xy，是向量集值优化问题（1）的一个全局真有效解的充要条件是：存在()()00zG xD-，#*,fCuD，使得对所有的()()000dom,xD FGxyz，()()()()000,yzD FGxyzx，有()00u z=，()()0fyu z+（这里f与u不全为 0）证明 必要性若()00 xy，是向量集值优化问题（1）的一个全局真有效解，则()()0G xD-设()()00zG xD-，由定理 2 和引理 2 可知，存在不全为 0 的函数*#*0,YfCuD，使得对所有的()()000dom,xD FGxyz，()()()()000,yzD FGxyzx，都有()00u z=，()()0fyu z+证明#fC，只需证明*0Yf 即可，用反证法 假设*0Yf=，则*uD*0Z，又G满足假设()L，故存在xA，使得()()()intu G x+-R，因而存在()zG x，使得()0u z 由于xA，则存在()yF x，使得()()()()000000,yyzzD FGxyzxx-，因此()00u zz-，即()0u z，与()0u z 矛盾，故*0Yf，则#fC 由引理 3 和引理 2 可知，充分性显然成立 证毕 对于具有约束的向量集值优化问题，每种类型的有效解都可以用相应的正泛函来刻划应用余切上图导数、Y-上图导数和 Clarke 正切上图导数可以得到具有约束的向量集值优化问题其它的最优性条件 参考文献：1 Bednarczuk E，Song WContingent epiderivative and its applications to set-valued optimizationJControl and Cybernetics，1998，27（3）：376-386 2 万莉娟，王焱，马占春集值映射的余切上图导数的应用J高师理科学刊，2010，30（4）：21-23 3 万莉娟，白晓晶集值映射的径向上图导数的性质及应用J高师理科学刊，2021，41（9）：1-3 4 SONG Wen，WAN Lijuan Contingent epidifferentiability of the value map in vector optimizationJ 黑龙江大学自然科学学报，2005，22（2）：198-202 5 Jahn J，Rauh RContingent epiderivatives and set-valued optimizationJMath Meth Oper Res，1997，46（2）：193-211 6 仇秋生，王定畅，张莹集值优化问题近似 Henig 有效解的连通性J应用数学学报，2017，40（1）：78-89 7 刘三阳，盛宝怀非凸向量集值优化 Benson 真有效解的最优性条件与对偶J应用数学学报，2003，26（2）：75-82 8 仇秋生，潘铭敏集值优化问题 E-全局真有效解的非线性标量化定理J浙江师范大学学报（自然科学版），2019，42（11）：379-386 9 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