高中数学必修一必修二好题(附答案).doc

一．选择题（共8小题）
1．设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则所作四面体的体积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设a＝，b＝，c＝，则（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
3．函数y＝的单调增区是（　　）
A．[1，2] B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）
4．已知﹣1＜a＜0，则三个数3a，a，a3由小到大的顺序是（　　）
A． B．
C． D．
5．设a＝log30.4，b＝log23，则（　　）
A．ab＞0且a+b＞0 B．ab＜0且a+b＞0
C．ab＞0且a+b＜0 D．ab＜0且a+b＜0
6．若a＝log23，b＝log48，c＝log58，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
7．若幂函数y＝f（x）的图象过点，则f（x）在定义域内（　　）
A．有最小值 B．有最大值 C．为减函数 D．为增函数
8．已知y＝（m2+m﹣5）xm是幂函数，且在第一象限是单调递减的，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3
二．填空题（共2小题）
9．已知函数f（x）＝|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为　 　．
10．已知，则函数f（x）的解析式为　 　．
三．解答题（共6小题）
11．求下列函数的值域
（1）y＝；
（2）若x、y满足3x2+2y2＝6x，求z＝x2+y2的值域；
（3）f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣4|；
（4）y＝x+；
（5）f（x）＝．
12．（1）已知y＝f（x）的定义域为[0，2]，求：①f（x2）；②f（|2x﹣1|）；③f（）的定义域．
（2）已知函数f（x2﹣1）的定义域为[0，1]，求f（x）的定义域；
（3）已知函数f（2x+1）的定义域为（0，1），求f（2x﹣1）的定义域；
（4）已知函数f（x+1）的定义域为[﹣2，3]，求f（+2）的定义域；
（5）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，求g（x）＝f（x+m）+f（x﹣m）（m＞0）的定义域；
（6）已知函数f（x）的定义域为[﹣，]，求F（x）＝f（ax）+f（）（a＞0）的定义域．
13．设f（x）＝3x﹣1，g（x）＝2x+3．一次函数h（x）满足f[h（x）]＝g（x）．求h（x）．
14．（1）已知f（）＝+，求f（x）的解析式．
（2）已知函数f（x）满足f（x）﹣2f（）＝x，求函数f（x）的解析式．
15．设f（x）是R上的函数，且满足f（0）＝1，并且对任意实数x，y，有f（x﹣y）＝f（x）﹣y（2x﹣y+1），求f（x）的解析式．
16．设函数f（x）＝（x∈（﹣∞，1]）
（Ⅰ）求函数y＝f（2x）的定义域．
（Ⅱ）求证：f（x）＝（x∈（﹣∞，1]）在其定义域上为减函数．

参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则所作四面体的体积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：设体积为54的正四面体的棱长为a，如图，
G，H分别是BC，CD的中点，E，F分别是三角形ABC，ACD的重心，BD＝a，
由中位线定理可知：＝a，
又由重心定理可知：，
故所作四面体与原四面体相似，相似比为
它们的体积比为，
则所作四面体的体积为＝2
故选：B．

2．设a＝，b＝，c＝，则（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【解答】解：∵a＝＝ln，
b＝＝ln，
c＝＝ln，
＞＞，
y＝lnx是增函数，
∴a＞b＞c．
故选：A．
3．函数y＝的单调增区是（　　）
A．[1，2] B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）
【解答】解：令t＝﹣x2+4x+5，其对称轴方程为x＝2，
内层函数二次函数在[2，+∞）上为减函数，
而外层函数y＝为减函数，∴函数y＝的单调增区是[2，+∞）．
故选：D．
4．已知﹣1＜a＜0，则三个数3a，a，a3由小到大的顺序是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵已知﹣1＜a＜0，不放取a＝﹣，
则三个数3a＝＝＝，a＝＝﹣，a3＝＝﹣，
故有＜a3＜3a，
故选：C．
5．设a＝log30.4，b＝log23，则（　　）
A．ab＞0且a+b＞0 B．ab＜0且a+b＞0
C．ab＞0且a+b＜0 D．ab＜0且a+b＜0
【解答】解：∵；
∴﹣1＜log30.4＜0；
又log23＞1；
即﹣1＜a＜0，b＞1；
∴ab＜0，a+b＞0．
故选：B．
6．若a＝log23，b＝log48，c＝log58，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
【解答】解：∵，；
∴a＞b；
又，，且log85＞log84＞0；
∴；
∴b＞c；
∴a＞b＞c．
故选：A．
7．若幂函数y＝f（x）的图象过点，则f（x）在定义域内（　　）
A．有最小值 B．有最大值 C．为减函数 D．为增函数
【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝xα，α为实数，其图象过点，
∴2α＝，
∴α＝﹣，
∴f（x）＝，定义域为（0，+∞），且在定义域内无最大、最小值，是减函数．
故选：C．
8．已知y＝（m2+m﹣5）xm是幂函数，且在第一象限是单调递减的，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3
【解答】解：由题意得：，
解得：m＝﹣3，
故选：A．
二．填空题（共2小题）
9．已知函数f（x）＝|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为　（0，1）∪（9，+∞）　．
【解答】解：由y＝f（x）﹣a|x﹣1|＝0得f（x）＝a|x﹣1|，
作出函数y＝f（x），y＝g（x）＝a|x﹣1|的图象，
当a≤0，f（x）≥0，g（x）≤0，两个函数的图象
不可能有4个交点，不满足条件；
则a＞0，此时g（x）＝a|x﹣1|＝，
当﹣3＜x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣3x，g（x）＝﹣a（x﹣1），
当直线和抛物线相切时，有三个零点，
此时﹣x2﹣3x＝﹣a（x﹣1），
即x2+（3﹣a）x+a＝0，
则由△＝（3﹣a）2﹣4a＝0，即a2﹣10a+9＝0，
解得a＝1或a＝9，
当a＝9时，g（x）＝﹣9（x﹣1），g（0）＝9，此时不成立，∴此时a＝1，
要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，
若a＞1，此时g（x）＝﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，
此时只需要当x＞1时，f（x）＝g（x）有两个不同的零点即可，
即x2+3x＝a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a＝0，
则由△＝（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，
综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞）．
故答案为：（0，1）∪（9，+∞）．

10．已知，则函数f（x）的解析式为　f（x）＝x2﹣1，（x≥1）　．
【解答】解：令+1＝t，t≥1，可得＝t﹣1，
代入已知解析式可得f（t）＝（t﹣1）2+2（t﹣1），
化简可得f（t）＝t2﹣1，t≥1
故可得所求函数的解析式为：f（x）＝x2﹣1，（x≥1）
故答案为：f（x）＝x2﹣1，（x≥1）
三．解答题（共6小题）
11．求下列函数的值域
（1）y＝；
（2）若x、y满足3x2+2y2＝6x，求z＝x2+y2的值域；
（3）f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣4|；
（4）y＝x+；
（5）f（x）＝．
【解答】解：（1）y＝＝（x﹣1）+；
∵（x﹣1）+≥4或（x﹣1）+≤﹣4；
∴y＝的值域为（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）；
（2）∵3x2+2y2＝6x得y2＝﹣x2+3x（0≤x≤2），
∴z＝x2+y2＝x2﹣x2+3x＝﹣（x﹣3）2+，
∵0≤x≤2，
∴0≤﹣（x﹣3）2+≤4，
（3）f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣4|＝，
f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣4|的值域为[﹣，+∞）；
（4）∵x≥1，∴y＝x+在[1，+∞）上单调递增，
∴y≥1，∴y＝x+的值域为[1，+∞）；
（5）f（x）＝＝+，
∵y＝x+在[2，+∞）上是增函数，
又∵≥2，
∴f（x）≥f（0）＝2+＝．
则函数f（x）＝的值域为[，+∞）．
12．（1）已知y＝f（x）的定义域为[0，2]，求：①f（x2）；②f（|2x﹣1|）；③f（）的定义域．
（2）已知函数f（x2﹣1）的定义域为[0，1]，求f（x）的定义域；
（3）已知函数f（2x+1）的定义域为（0，1），求f（2x﹣1）的定义域；
（4）已知函数f（x+1）的定义域为[﹣2，3]，求f（+2）的定义域；
（5）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，求g（x）＝f（x+m）+f（x﹣m）（m＞0）的定义域；
（6）已知函数f（x）的定义域为[﹣，]，求F（x）＝f（ax）+f（）（a＞0）的定义域．
【解答】解：（1）已知y＝f（x）的定义域为[0，2]，
则①由0≤x2≤2得0≤x≤或﹣≤x≤0，即函数的定义域为{x|0≤x≤或﹣≤x≤0}．
②由0≤|2x﹣1|≤2得﹣≤x≤，即函数的定义域为{x|﹣≤x≤}．
③由0≤≤2得2≤x≤6，即函数的定义域为{x|2≤x≤6}．
（2）已知函数f（x2﹣1）的定义域为[0，1]，
则0≤x≤1，则0≤x2≤1，﹣1≤x2﹣1≤0，
即f（x）的定义域为[﹣1，0]；
（3）已知函数f（2x+1）的定义域为（0，1），
则0＜x＜1，则1＜2x+1＜3，
即f（x）的定义域为（1，3）；
由1＜2x﹣1＜3，得1＜x＜2，即f（2x﹣1）的定义域为（1，2）；
（4）已知函数f（x+1）的定义域为[﹣2，3]，
则﹣2≤x≤3，则﹣1≤x+1≤4，
由﹣1≤+2≤4，得﹣3≤≤2，
解得x≥或x≤，
即f（+2）的定义域是{x|x≥或x≤}；
（5）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，
则0≤x≤1，
由得，
∵m＞0，
∴当1﹣m＝m时，即m＝时，
此时x＝，
若0，则m≤x≤1﹣m，
若m，则不等式无解．
∴当0时，函数的定义域为[m，1﹣m]，
当m＝时，函数的定义域为{}，
当m时，函数定义域为空集，此时不成立，舍去．
综上：故当0时，函数的定义域为[m，1﹣m]，
当m＝时，函数的定义域为{}．
（6）设μ1＝ax，μ2＝，其中a＞0，
则F（x）＝f（μ1）+f（μ2）且μ1、μ2∈[﹣，]．
∴⇒
①当a≥1时，，故不等式组的解为﹣≤x≤；
②当0＜a＜1时，不等式组的解为﹣≤x≤．
∴当a≥1时，F（x）的定义域为[﹣，]；
当0＜a＜1时，F（x）的定义域为[﹣，]．
13．设f（x）＝3x﹣1，g（x）＝2x+3．一次函数h（x）满足f[h（x）]＝g（x）．求h（x）．
【解答】解：设h（x）＝kx+b
∵f[h（x）]＝g（x），f（x）＝3x﹣1
∴f（kx+b）＝2x+3
即3（kx+b）﹣1＝2x+3
3kx+3b﹣1＝2x+3
∴
∴k＝，b＝，
∴h（x）＝
14．（1）已知f（）＝+，求f（x）的解析式．
（2）已知函数f（x）满足f（x）﹣2f（）＝x，求函数f（x）的解析式．
【解答】解：（1）f（）＝+可化为f（1+）＝1++，
即f（1+）＝（1+）2﹣（1+）+1，
∴f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣x+1；
（2）∵f（x）﹣2f（）＝x，∴f（）﹣2f（x）＝，
联立消去f（）可得f（x）＝﹣﹣，
∴函数f（x）的解析式为f（x）＝﹣﹣．
15．设f（x）是R上的函数，且满足f（0）＝1，并且对任意实数x，y，有f（x﹣y）＝f（x）﹣y（2x﹣y+1），求f（x）的解析式．
【解答】解：由题意，令x＝y得，
f（0）＝f（x）﹣x（2x﹣x+1），
则f（x）＝x（x+1）+1．
16．设函数f（x）＝（x∈（﹣∞，1]）
（Ⅰ）求函数y＝f（2x）的定义域．
（Ⅱ）求证：f（x）＝（x∈（﹣∞，1]）在其定义域上为减函数．
【解答】解：（1）由2x≤1，得，
所以，y＝f（2x）的定义域为．
（2）证明：任取x1，x2∈（﹣∞，1]，且x1＜x2，
则
＝，
，

，即f（x1）＞f（x2），
所以，f（x）在定义域（﹣∞，1]上为减函数．
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