小尺寸声矢量平面阵三维波束形成方法_李良文.pdf

小尺寸声矢量平面阵三维波束形成方法*李良文1,2,3朴胜春1,2,3郭俊媛1,2,3叶扬1,2,3(1哈尔滨工程大学水声技术全国重点实验室哈尔滨150001)(2工业和信息化部海洋信息获取与安全工信部重点实验室(哈尔滨工程大学)哈尔滨150001)(3哈尔滨工程大学水声工程学院哈尔滨150001)2022 年 4 月 12 日收到2022 年 8 月 21 日定稿摘要提出了一种基于声场多极子展开的小尺寸声矢量平面阵三维波束形成方法。该方法利用了声场的垂直振速信息,并结合球谐波函数与多极子模态之间的联系,可用二维的阵列结构合成指向任意方向的三维波束图,简化了三维波束形成所需的阵列结构。以 33 均匀矩形阵为例的仿真结果表明,在相邻阵元间距小于 0.2 倍信号波长时,所提方法引入的差分近似误差可被忽略,所得阵列波束图接近理论波束图。相比于声压球面阵三维波束形成方法,所提方法在低频段能在获得相同阵增益的同时有着更好的稳健性,为实现小尺寸阵列的三维波束形成提供了一种可靠的方法。关键词小尺寸平面阵,三维波束形成,矢量传感器,多极子展开PACS 数数43.60,43.58,43.30Three-dimensional beamforming for small aperture planaracoustic vector sensor arrayLILiangwen1,2,3PIAOShengchun1,2,3GUOJunyuan1,2,3YEYang1,2,3(1National Key Laboratory of Underwater Acoustic Technology,Harbin Engineering UniversityHarbin150001)(2Key Laboratory of Marine Information Acquisition and Security(Harbin Engineering University),Ministry of Industry and Information TechnologyHarbin150001)(3College of Underwater Acoustic Engineering,Harbin Engineering UniversityHarbin150001)ReceivedApr.12,2022RevisedAug.21,2022Abstract Amethodofthree-dimensionalbeamforming,basedonthemultipoleexpansionsofthesoundfield,isproposedinthispaperandappliedtothesmallapertureacousticvectorplanararray.Thedesiredthree-dimensionalbeampatterncanbesynthesizedwithatwo-dimensionalarraystructurebycombiningtheverticalparticlevelocitycomponentofthesoundfieldandtherelationshipbetweenthesphericalharmonicsandthemultipolemodes.Therefore,therequiredarraystructurecanbesimplifiedforathree-dimensionalbeamforming.Forillustration,a33rectangularvectorsensorarraywasconsidered.Simulationresultsindicatethatthe error introduced by the approximations for multipole modes extraction can be ignored and the obtained beam patternapproximatesthetheoreticalbeampatternwhenthespacingofadjacentvectorsensorsislessthanone-fifthofthesignalwavelength.Comparedtothethree-dimensionalbeamformingbasedonthesphericalharmonicdecompositionofthesoundfield,theproposedmethodachievescomparablearraygainwithbetterrobustnessinthelowfrequencyband.Therefore,areliableapproachforlow-frequencythree-dimensionaltargetdetectionisprovided.KeywordsSmallapertureplanararray,Three-dimensionalbeamforming,Acousticvectorsensor,Multipoleexpansions*国家自然科学基金项目(11904065)资助通讯作者:郭俊媛,第48卷第3期声学学报Vol.48,No.32023年5月ACTAACUSTICAMay,2023DOI:10.15949/ki.0371-0025.2023.03.015引言0 /2随着海洋探索深度的增加,信号掠射角(信号来波方向与水平方向的夹角,取值范围)逐渐增大1,二维波束形成方法逐渐无法满足探测的需求,需研究三维波束形成方法。对于平面阵或体积阵,采用传统的波束形成方法,例如常规波束形成(CBF),即可将波束图指向三维空间内的任意方向。但目前海洋“无源”声探测正在往低频段发展,传统波束形成方法2通常假设阵元间距为接收信号的半波长,其波束响应与频率和阵元间距相关,随着频率的降低,若要保持获得足够的阵增益,则需相应地增大声呐基阵的尺寸。小尺寸阵波束形成方法也叫超指向性波束形成方法,能够以很小的阵列孔径得到近似频率不变的波束图和高空间增益,为解决阵列性能与尺寸的矛盾提供了解决方法。基于声场球谐波函数分解的小尺寸球面阵三维波束形成方法在空气声学中得到广泛应用3-4,为了减小空间混叠误差,球面阵的阵元位置通常满足对球面的等角采样或高斯采样等条件5。为了提高阵列结构的灵活性,Lai 等6提出了一种FIR 滤波器与球谐波函数分解相结合的球面阵三维波束形成方法。除此之外,Abhayapala 等7提出了一种由多个圆环阵平行放置构成的体积阵列,通过调整圆环阵阵元个数和各个圆环阵之间的间距,能够适当调整阵列工作的频率范围。相对于标量声压传感器,单个完整的 1 阶矢量传感器(由 3 个相互正交的质点振速通道和 1 个声压测量通道构成)即可合成指向三维空间内任意方向的波束,获得空间增益,可以说是最简单的超指向性阵列。由于矢量传感器具有良好的指向性,Cray 等8基于多极子展开给出了 2 阶矢量传感器的波束形成方法,并指出单个 2 阶矢量传感器最高可获得 9.5dB增益,相比较 1 阶矢量传感器,2 阶矢量传感器有更好的性能。王旭虎等9分析了 2 阶矢量传感器在各向同性噪声场模型下各个通道间的空间相关性,为高阶矢量传感器的性能分析提供了帮助。孙心毅10利用多个 1 阶矢量传感器构成体积阵,实现 2 阶矢量传感器,并研究了幅相误差、轴向误差等对 2 阶矢量传感器的影响。Schmidlin11则进一步分析了广义高阶矢量传感器的波束形成方法及其性能。上述基于声场球谐波函数分解和基于多极子展开的高阶矢量传感器三维波束形成方法所需的阵列结构均为体积阵,即垂直方向上需有阵元分布,阵列0 结构较为复杂。而许多现有的小尺寸平面阵波束形成方法仅考虑了二维的情况,未考虑俯仰角(信号来波方向与垂直方向的夹角,取值范围)对方法的影响。例如陈景东等12-13提出的基于 Jacobi-Anger展开的麦克风圆环阵波束形成方法;韩欣宇等14提出的同心圆环阵模态波束形成方法;郭俊媛等15-16提出的基于有限差分近似的小尺寸均匀矢量平面阵(URA)波束形成方法;以及汪勇等17提出的利用声压圆环阵噪声协方差矩阵循环特性的特征波束分解与综合波束形成方法,均为二维波束形成方法。Zhao 等18研究了同心圆环阵的三维波束形成方法,但该方法在改变波束图指向的同时,也可能改变波束图的形状,且存在波束图指向不准的情况。为了进一步完善平面阵三维波束形成方法,本文基于声场多极子展开,提出了一种可用平面阵列结构得到全空间指向性的三维波束形成方法。仿真结果表明,在低频段,相比较声压球面阵的声场球谐波函数分解波束形成方法,本文提出的小尺寸平面阵三维波束形成方法能够获得相同阵增益的同时有着更高的稳健性。1 矢量平面阵声场模型d考虑图 1 所示由声压传感器和矢量传感器构成的 33URA,将其置于 xOy 平面,相邻阵元间距均为。其中,位于阵列中心处的 5 号阵元由声压传感器和矢量传感器构成,其余 8 个阵元均为矢量传感器。每个矢量传感器由 3 个相互正交的质点振速传感器构成,且各个振速传感器指向方向与各坐标轴正方向一致。123456789声源ddxyz图133 均匀矩形阵几何示意图(,)p0p0=p(0,0,0)(xh,yh,zh)假设一单位幅度的远场平面波以角频率从方向入射至该阵列,其中表示俯仰角,表示方位角,阵列中心处接收信号可表示为(即),则对于阵元所在空间位置处的声压响应可表示为472声学学报2023年p(xh,yh,zh)=p0expik(xhsincos+yhsinsin+zhcos),(1)hk=2/Dx=sincosDy=sinsinDz=cos(xh,yh,zh)其中,表示阵元编号,表示波数,表示信号 波 长。,和表示信号的方向余弦。根据欧拉方程,处的质点振速响应可表示为v(xh,yh,zh)=VDp(xh,yh,zh),(2)=x,y,zV=1/ccV=1(3M+1)1M=9表示矢量传感器的 3 个质点振速分量,是质点振速分量的幅度常数(表示介质密度,表示声速)。在不失一般性的同时,对振速分量进行灵敏度补偿使得。因此,图 1 所示矢量传感器阵列的导向矢量可以表示为一个向量(本例中):a(,)=1,Dx,Dy,Dza1(,),a2(,),aM(,)T,(3)Dx,Dy,Dzx yzah(,)=expik(xhsincos+yhsinsin+zhcos)(xh,yh,zh)T其中,中的元素分别代表矢量传感器中,方向振速传感器的指向性;表示在空间位置处接收的声压信号相对于阵列中心处声压信号的相位偏移,表示克罗内克积,上标“”表示转置。(xh,yh,zh)Cray 等8指出,通过多极子展开,有限区域内的声 场 可 分 解 为 一 系 列 的 声 模 态。则 空 间 位 置处的声压可表示为p(xh,yh,zh)=p(0,0,0)+s=11s!(xhx+yhy+zhz)sp(x,y,z)(x,y,z)=(0,0,0).(4)(xh,yh,zh)=x,y,zl式(4)意味着在处的声压可由原点处的一系列沿不同方向的声压梯度进行表示。在单频情况下,原点处沿方向的 阶声压梯度可表示为19lpl|(x,y,z)=(0,0,0)=(ikD)lp(0,0,0).(5)将式(5)代入式(4),有p(xh,yh,zh)=s=0(ik)ss!(xhDx+yhDy+zhDz)sp(0,0,0)=s=0+=s(ik)s!(xhDx)(yhDy)(zhDz)p(0,0,0),(6)x yz+=sf(,)+=sf(,)式中,分别代表,方向的空间偏导阶数,表示所有满足条件的项的和。为了表示简便,定义其中不随频率变化的三角函数部分为多极子模态,即,=(Dx)(Dy)(Dz),(7),+(xh,yh,zh)其中,表示第阶多极子模态。同理,在处的质点振速可表示为v(xh,yh,zh)=s=0+=s(ik)s!(xh)(yh)(zh)D,p(0,0,0).(8)s=x+D,=+1,=y,zD,zh 0由式(6)和式(8)可知,声压和质点振速分量的空间偏导中包含有不同阶的多极子模态。由于质点振速可等价为一阶声压梯度,所以在相同梯度阶数的情况下,质点振速分量包含有更高一阶的多极子模态,例如若选择的质点振速分量,则阶的质 点 振 速 梯 度 中 包 含 的 多 极 子 模 态 可 表 示 为,同理可得时的表达式。由于声矢量平面阵中任意阵元,代入式(8)可知,任意振速通道的接收信号可表示为v(xh,yh,0)=s=0+=s(ik)s!(xh)(yh)D,0p(0,0,0),(9)=0 z=1 =z因此矢量平面阵仅包含有()和()的多极子模态。2 小尺寸矢量平面阵三维波束形成方法 2.1多极子模态与球谐波函数(,)B(,)(,)以阵列所在中心为坐标原点构建球坐标系,波束图描述了波束形成器对从方向入射信号的响应13。在球坐标系中任意三维波束图可视为以为变量的函数,因此可将其用完备正交基函数展开成为B(,)=n=0cnn(,),(10)cn=020B(,)n(,)sinddn(,)n(,)Ymn(,)N其中,表示对应的级数展开系数,表示球坐标系下的完备正交基函数。本文选取球谐波函数作为上述的正交基函数,由于在实际情况中无法得到无穷阶的球谐波函数,因此通常需要将其截断至阶,则波束图可表示为B(,)BN(,)=Nn=0nm=ncn,mYmn(,)=cTbY(,),(11)c=c0,0,c1,1,cN,NT(N+1)21bY(,)=Y00(,),Y11(,),YNN(,)TnN|m|nYmn(,)(N+1)21Ymn(,)其中,是由波束图用球谐波函数展开后各阶球谐波函数系数构成的向量,是由且的各阶球谐波函数构成的向量。由式(11)可知任意三维波束图均可展开成球谐波函数的形式。球谐波函数的表达式为203期李良文等:小尺寸声矢量平面阵三维波束形成方法473Ymn(,)=QmnPmn(cos)(cos+isin)m,(12)Qmn=(2n+1)(nm)!/4(n+m)!Ymn(,)Pmn(cos)其中,是的常系数,表示第一类连带勒让德函数。由11m0Ymn(,)式(9)可知,矢量平面阵仅包含有的多极子模态,为了实现平面阵三维波束形成,本文将球谐波函数展开成一系列的多极子模态21,首先考虑条件下的:Ymn(,)=|Qmnmp=0ip(mp)(nm)/2l=0r+s+t=(nm2l)2Gmn,l(1)s+t(r+s+t)!r!s!t!2s+mp,2t+p,0,nm为偶数,Qmnmp=0ip(mp)(nm1)/2l=0r+s+t=(nm2l1)2Gmn,l(1)s+t(r+s+t)!r!s!t!2s+mp,2t+p,1,nm为奇数,(13)其中Gmn,l=(1)m+l(2n12l)!(nm2l)!(2l)!,l=0,1,2,nm2,(mq)=m!q!(mq)!,n!n!=n/21k=0(n2k)=n(n2)(n4)(1)!=(0)!=1 Ymn(,)(+)max=nnmYmn(,)=0nmYmn(,)=1Ymn(,)+n11表示双阶乘,且,和分别表示向下取整和向上取整。由式(13)可知,对于球谐波函数,其所需最高多极子模态的阶数,且当为偶数时,可由的多极子模态表示;当为奇数时,可由的多极子模态表示。即 任 意 阶 的 球 谐 波 函 数均 可 用且的多极子模态表示,这恰好与声矢量平面阵仅包含的多极子模态相吻合,因此,理论上利用声矢量平面阵即可得到合成期望三维波束图所需的所有多极子模态。为了表示简便,可将式(13)中球谐波函数与多极子模态之间的关系表示为矩阵形式:Ymn(,)=(emn)TMD,(14)MD+N1emnMDYmn(,)(N+1)21m 0其中,是所有且的多极子模态组成的向量,本文将在 2.2 节说明如何从声场中获取所需的多极子模态。是用各阶多极子模态表示时,由各阶多极子模态系数构成的向量,其每个元素的具体值可根据式(13)得到。由球谐波函数的特性20可知,对于部分的球谐波函数,有Ymn(,)=(1)|m|Y|m|n(,)=(1)|m|(e|m|n)HMD,(15)|m|mHm 0Ymn(,)emn=(1)|m|(e|m|n)nNYmn(,)其中,表示的绝对值,上标“”表示共轭转置。由式(15)可知,对于部分的,系数向量。将阶数的所有球谐波函数用多极子模态表示,并写成矩阵形式,有bY(,)=EMD,(16)E=e00,e11,e01,e11,e22,.,eNNT其中,是用多极子模态表示各阶球谐波函数时,由多极子模态系数所构成的NE+N1系数矩阵。由式(16)可知,所有阶数小于等于的球谐波函数均可通过矩阵用一系列且的多极子模态进行表示。2.2获取多极子模态与三维波束形成+=0,1,a(,)对于,多极子模态分别包含在第 0 阶声压梯度和第 0 阶振速梯度中,这意味着可通过坐标原点处的 AVS 直接获得。因此可将与 URA 导向矢量之间的联系表示为,=(r,)Ta(,),(17)r,(3M+1)1r,(h+1)(h+M+1)(h+2M+1)hx yzr0,0,0,r1,0,0,r0,1,0,r0,0,1其中,是获得多极子模态时,由阵列各个接收传感器的系数构成的向量。中的第,个元素分别表示第号 AVS 的,方向质点振速分量的系数。即对于,分别仅有第 1,6,15,24 个元素的值为 1,其余皆为 0。+2,=D,+=x=1 =y,z,xy对于,多极子模态,由式(8)可知,其包含在阶的方向质点振速偏导中。若,则,;类似地可以得到时与之间的关系。由于阵列中 AVS 无法直接测量振速梯度获得高阶多极子模态,需引入有限差分法进行空间偏导近似。为便于理解,以方向质点振速分量对方向的 1 阶空间偏导近似为例进行说明:vx(x,y,z)y|(x,y,z)=(0,0,0)vx(x2,y2,z2)vx(x8,y8,z8)2d.当阵元间距很小时,传感器接收信号之间进行有限差分运算可近似得到高阶空间偏导16,任意阶振速梯度的差分近似模型可总结为+v(x,y,z)xyz|(x,y,z)=(0,0,0)(u,)Ta(,),d+p0,(18)474声学学报2023年u,+v(x,y,z)/xyz,+du,z 0其中,是差分近似振速梯度时,由各接收传感器的二项式系数构成的列向量,其各个元素值可参考图 2。是阶差分近似时引入的常系数,可根据沿某一方向差分近似时,该方向上差分阵元间距与的关系确定,后文将详细说明和。必须指出的是,本文所用阵列为平面阵列,无法通过差分近似得到方向的振速偏导,这意味着式(18)中。联合式(5)和式(18),可得多极子模态与阵列导向矢量之间的联系:,=D,0F,0(k)(u,0)Ta(,),0=(r,)Ta(,),(19)r,=F,0(k)u,0/,0+21F,0(k)=1/(ikd)+0kd 1+0其中,是获取且的多极子模态时各个接收通道的系数,是时 第阶 差分幅度补偿因子。从上述多极子模态的推导可以看出,经过补偿一定的幅度因子,即可获得与频率无关的多极子模态。u,+=2,+=3xyzu,为了详细说明和,以图 1 矢量阵可差分近似的所有 2 阶振速偏导(3 阶声压偏导)为例(即),得到差分近似时的各阵元系数如图 2 所示,为了便于理解,选取阵列俯视图进行说明。图中红色、蓝色和绿色分别代表,方向的振速传感器,阵元左上角红色数字表示差分近似时该传感器的二项式系数,也即中元素的值。阵元下方“#”号标识的数字表示该阵元编号。z3p/xyz1,1,1=Dz1,1,01,1,0=4以方向振速传感器差分近似为例,其包含的多极子模态为,此时。如图 2(e)所示,因为用于第 1 阶差分的 1 号与 3 号、2d1,0,0=22d1,1,0=21,0,0=4,0,07 号与 9 号阵元间距为,此时,1 阶差分后可等价为在 2 号和 8 号阵元处各有一个虚拟阵元,此时两者再进行第 2 阶差分,两虚拟阵元间距为,因此;要根据差分近似时选取阵元的具体情况而定,但选用的阵元间距是已知的,因此也可得到。bY(,)a(,)式(16)中由各阶球谐波函数构成的向量与导向矢量之间的联系可表示为bY(,)=ERa(,),(20)R=r0,0,0,r1,0,0,r,T1其中,。综上,本文给出了球谐波函数与的多极子模态之间的联系,并给出了利用声矢量平面阵得到所需多极子模态的方法。为求解波束形成加权向量,将式(20)代入式(11)中,波束图可写为以下形式:BN(,)=w(d,d)Ha(,)=cTERa(,),(21)w(d,d)(d,d)其中,表示波束图指向为的波束形成器加权向量。可得到波束形成器的加权向量为w(d,d)H=cTER.(22)综合上述推导,该波束形成方法步骤可总结为图 3。1首先,利用有限差分法近似高阶声压偏导,获得的多极子模态;其次,根据球谐波函数与多极子模态之间的联系得到各阶球谐波函数;最后,利用各阶球谐波函数合成期望波束图。本文使用的是矢量传感器阵列,相比较利用声压传感器阵列进行差分运算提取相同阶数的多极子模态,利用矢量传感器能够有效降低差分的阶数,降低引入的差分近似误差19,并简化阵列结构。以图 2(e)为例,若采用声压传感器阵列,需要进行 3 阶差分近似且阵列结构为双层,图 2(e)则只需要 2 阶差分且11211211211211211211114#5#6#4#5#6#4#5#6#2#5#8#2#5#8#2#5#8#1#3#7#9#xy(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)yxxxxxxyyyyyxy1#2#3#4#5#6#7#8#9#3p/x33p/x2y3p/x2z3p/x2y3p/xyz3p/y33p/y2z图2平面阵 2 阶振速差分示意图(a);(b);(c);(d);(e);(f);(g);(h)阵列俯视图3期李良文等:小尺寸声矢量平面阵三维波束形成方法475阵列结构为单层。3 性能分析 3.1波束图c=4bY(d,d)/(N+1)2本文所提的三维波束形成方法,理论上利用矢量平面阵可得到任意三维波束有限截断后的波束图,为使声能量集中于导向方向,选取最大指向性因子(DF)条件下的波束图,即为例进行说明20,并以此为基础进行仿真分析,此时波束图可表示为BN(,)=4(N+1)2Nn=0nm=nYmn(d,d)Ymn(,).(23)N BN(,)=(coscosd)(d)+=413,0,1N=3(d,d)=(45,45)(d,d)=(0,0)当 最 高 阶 数时,。以图 1 所示阵列为例,由于本文使用差分近似提取多极子模态,该矢量平面阵无法提取所有且的多极子模态(例如),因此其所能使用的最高球谐波函数阶数为 3 阶。利用所提方法合成阶数,指向方向分别为和的三维波束图,结果如图4(a)和图 4(b)所示。(45,45)(0,0)由图 4(a)和图 4(b)可知,本文所提方法的波束图分别指向了方向和,与期望方向一致。由此可知,所提方法的波束图能指向三维空间内的任意方向,即克服了小尺寸平面阵波束图难以在俯仰方向准确导向的问题。同时,对比图 4(a)和图 4(b)可知,所得三维波束图的分辨能力不随所指方向的变化而变化,对于不同指向,波束图仅表现为绕原点旋转而不改变其整体形状,即其空间滤波性能不随指向方向的变化而改变。(d,d)=(90,0)d=0d=90为了研究波束图随阶数变化的情况,选取波束图指向时,不同阶数下所提方法三维波束图在方位角和俯仰角处的切面图进行讨论,分别如图 5(a)和图 5(b)所示。p0vx1vy1vz1vz9提取多极子模态,得到球谐波函数0Y01Y1YNNc0,0c1,1cN,N期望波束图BN(,)Yn (,)m0,N1,10,0,01,0,0图3所提三维波束形成方法流程图30(a)(b)201001020z20020302520151050302520151050200 x20y30201001020z20020200 x20y(dB)(dB)(45,45)(0,0)图4本文所提方法三维波束图(a)指向方向;(b)指向方向0306090()()12015018000.20.40.60.81.000.20.40.60.81.0N=1N=2N=3N=1N=2N=3(a)18090090180(b)BN(,0)BN(90,)090图5不同阶数下所提方法波束在方位角和俯仰角的切面图(a)方位角切面图;(b)俯仰角切面图476声学学报2023年N由图 5 可知,该波束形成方法所得波束图的主瓣宽度随阶数的增大而减小,但减小程度逐渐下降,即二阶与三阶的主瓣宽度差要小于一阶和二阶的差值,且其旁瓣高度的变化也有相似的规律。d/d/N=3d=0d=90d/本文使用差分近似高阶声压梯度,从而获得多极子模态用于合成期望波束图。随着的增加,引入的差分误差也将增大,这将引起波束图的畸变,因此有必要讨论波束图随的畸变情况。随着差分阶数的增大,波束图受差分误差影响越大15,本文选取阶数为例,说明波束图受差分误差的影响。在方位角和俯仰角的切面上所得波束图随的变化情况如图 6 所示。d/=0.10,0.20d/=0.30d/0.4d/由图 6 可知,时差分近似误差对波束图的影响主要体现在旁瓣幅度和凹点略有升高,抗干扰能力略有下降,但此时波束图畸变不明显,与理论波束基本一致;时,能够明显看到所得波束图的旁瓣幅度升高,主旁瓣比由理论的 12.0dB降到 9.2dB。当时,波束图畸变严重,出现主旁瓣混淆的问题,此时波束形成方法失效,因此本文所提方法更适用于低频段(较小的情况),在中高频段的性能不佳。3.2阵增益与稳健性分析d/1d/d/除上文所讨论的主瓣宽度、旁瓣高度等参数外,阵增益(AG)和白噪声增益(WNG)也是衡量波束形成器性能的重要参数。本文建立的小尺寸平面阵波束形成方法需假设,对于水下低频信号探测而言,该假设已满足,但的变化仍将影响阵列的性能,因此进一步分析对阵增益和白噪声增益的影响。小尺寸矢量阵的阵增益可以定义为基阵输出信噪比与阵列中单个无指向性基元输入信噪比的比值,即AG=|wH(d,d)a(,)|2wH(d,d)w(d,d),(24)其中,是阵列接收传感器之间的归一化噪声协方差矩阵。AG=DI=10lg(DF)对于水下低频环境下的小尺寸基阵,其接收噪声主要可分为两类:基于海洋环境的三维各向同性噪声和白噪声。在各向同性噪声场条件下,阵增益等价于阵列指向性指数(DI),即。根据球谐波函数的正交性和加法理论可得此时最大指向性因子为20DF=4|BN(d,d)|2200|BN(,)|2sindd=(N+1)2.(25)因此,本文所提方法可达到的最大阵增益为AG=20lg(N+1).(26)对于各向同性噪声场,本文采用球面上有限均匀分布的点声源进行逼近,的理论相关系数可由文献 22 给出。当背景噪声是白噪声时,为单位阵,此时的阵增益被称为白噪声增益。白噪声增益越大,波束形成方法抗不相关噪声干扰的能力越强,方法越稳健。白噪声增益的表达式为WNG=1wH(d,d)w(d,d).(27)rsN=3为了对比体积阵三维波束形成与本文所提平面阵三维波束形成(PABF)的性能,本文选取基于声场球谐波函数分解(SHDSF)的声压球面阵(半径为)三维波束形成方法与 PABF 法对比,其中球面阵的阵元位置按照高斯采样布放。图 1 所示的 9 元矢量平面阵中共使用传感器接收通道 28 个,其所能得到的最高球谐波函数阶数为。与 PABF 由多极子模态阶数确定选用的球谐波函数阶数不同,为了减小空间混叠,球面阵所选用的球谐波函数阶数通常与0306090120150理论波束d/=0.10d/=0.20d/=0.30d/=0.40d/=0.5018050403020100(a)(b)5040302010018090090180理论波束d/=0.10d/=0.20d/=0.30d/=0.40d/=0.50B3(,0)(dB)B3(90,)(dB)()()d/090图6波束图随的变化(a)方位角处切面图;(b)俯仰角处切面图3期李良文等:小尺寸声矢量平面阵三维波束形成方法477N2(N+1)2(45,45)d/rs/阵元布放位置和个数有关。在阵元布放满足高斯采样且选用的球谐波函数最高阶数为的情况下,球面阵的阵元个数应为20,考虑与图 1 所示阵列所选用的最高球谐波函数阶数相同,选用 32 个声压传感器构成该球面阵,此时两个阵形的传感器个数相近。选取波束图指向,分别观察 PABF和 SHDSF 方法在不同阶数情况下阵增益和白噪声增益随()的变化情况,结果如图 7 所示。0.01rs/0.50N=1d/N=2N=3d/d/d/由图 7(a)可知,在的范围内,球面阵的 SHDSF 法的阵增益变化较小,这意味着在较宽的频带内,SHDSF 法的波束图畸变较小,即 SHDSF法能够适用于较宽的频带。对于本文所提矢量平面阵,在的情况下,PABF 法只使用了位于阵列中心的阵元,无需使用差分近似振速梯度,所以阵增益和白噪声增益均不随变化;对于和的情况,阵增益随的增大而减小,这是因为随着的增大,波束图畸变使得空间滤波性能下降(如图 6所示),因此本文所提方法仅在较小的频带范围(即低频段)内有着较好的阵增益性能。d/rs/由图 7(b)可知,在()很小时,PABF 法的白噪声增益比相同阶数下的 SHDSF 法的白噪声增益更高,这意味着 PABF 法抗白噪声干扰的能力更强,稳健性更好。因此,从阵增益和白噪声增益的角度综合对比两种波束形成方法的性能可知:对于中高频的信号,球面阵 SHDSF 法的阵增益和白噪声增益均比 PABF 法更高,此时 SHDSF 法更有优势。对于低频信号,则选用 PABF 法比 SHDSF 法更有优势,因为在低频段,两种方法能达到相同的阵增益,但PABF 法有着更高的白噪声增益。白噪声增益体现了波束形成方法抗不相关噪声干扰的能力,除了白噪声外,阵列还受到幅度误差、相位误差、阵元位置误差和矢量通道指向误差的影N=3f=80 Hzd/=rs/=0.05,0.10,0.15响。为了更好地分析对比 SHDSF 和 PABF 方法的稳健性,本文分别仿真分析这些误差对 SHDSF 和 PABF方法的影响。选取阶数,信号频率,仿真分析时,两种波束形成方法的阵增益随误差变化情况,结果如图 8 所示。2A2P2L2Drs/d/图 8(a)图 8(d)所示为 100 次蒙特卡洛实验平均后的阵增益随误差的变化情况。其中,分别表示幅度误差、相位误差、阵元位置误差和矢量通道指向误差的方差。因为球面阵仅有声压通道,不存在矢量通道指向角偏差,图 8(d)中仅分析了指向误差对 PABF 法的影响。图 8 中所代表的曲线(虚线)和所代表的曲线(实线)分别表示球面阵 SHDSF 法和本文 PABF 法所得阵增益随误差变化情况。d/rs/d/=rs/=0.05,0.102A2P2Ld/=rs/=0.152A2P2L0 5104由图 8 可知,随着()的增大,PABF 法和SHDSF 法的抗各种误差能力均有所上升,即稳健性有所提高,这与前文分析的白噪声增益所得结论一致。由图 8(a)图 8(c)可知,当时,随着,的增大 SHDSF 法的阵增益比PABF 法的阵增益下降速度更快,即在低频段 SHDSF法比 PABF 法更易受到各种误差的影响,稳健性更差。当时,在范围内,两种方法的阵增益均不随误差的增大而降低,可认为两种波束形成方法在此误差范围内是稳健的。由图 8(d)可知,矢量通道的指向误差也会影响 PABF 法的稳健性,且其对 PABF 法的影响与相同方差情况下的幅度和相位误差相似,这是矢量传感器阵列的不足之处。本文以 33 的均匀矩形阵列为例说明所提波束形成方法,受限于阵列结构,本文阵列仅能得到最高阶数为 3 的球谐波函数,但根据球谐波函数与多极子模态之间的联系,通过扩展阵列形状,如 4400.10.20.30.40.5051015阵增益上限(dB)N=1N=2N=3N=1N=3(a)604020020WNG(dB)SHDSFPABFSHDSFPABF(b)d/00.10.20.30.40.5d/d/rs/图7不同阶数下 SHDSF 和 PABF 法阵增益上限和白噪声增益随()的变化(a)阵增益;(b)白噪声增益478声学学报2023年均匀矩形阵列,可差分近似更高阶的振速梯度以获得更高阶多极子模态,从而得到更高阶的波束图。3.3深海适用性分析受海洋波导限定,声源发出的谐波会沿多条路径到达接收点,阵元接收信号可视为多个相干源从不同方向入射至接收器。本节分析深海环境对本文所建立的小尺寸声矢量平面阵性能的影响。此时阵列各基元所接收到的声压场为多条路径声信号叠加的形式,即式(1)需改写为p(xh,yh,zh,t)=Jn=1An(tn)p(xh,yh,zh,t),(28)p(xh,yh,zh,t)=p(xh,yh,zh)exp(it)JAnnn式中,表示卷积运算,为计入考虑的总声线数,和分别为第条路径到达声线的幅度衰减量和时延量。f=80 Hz考虑如图 9(a)所示的环境参数,声源深度 100m,信号频率,水平距离 6000m,接收深度4000m 时,接收点处的声线到达结构和时间到达结构分别如图 9(b)和图 9(c)所示。由图 9(b)可知,有多条声线由声源到达接收点,其中直达波(D)与海面一次反射波(S1B0)从阵列上方入射且入射角度相近,海底一次反射波(S0B1)和J=412海面海底各一次反射波(S1B1)从阵列下方入射且入射角度也很接近。由图 9(c)可知,经过海底反射后声线的能量比直达和海面反射要低约 10dB。对于多次海底海面反射的声线,其能量更低,对声场的贡献可忽略不计,即式(28)中。因此,传感器接收的信号可视为从上方入射(俯仰角)和下方入射(俯仰角)信号的相干叠加。rsdrs/=d/0.10 x180.012(57.5,180.0)(134.6,180.0)仿真声压球面阵和矢量平面阵在上述条件下的接收信号,其中两种阵列的中心均位于水平距离6000m,深度 4000m 处,接收点处声速约为 1538m/s,球面阵半径和矢量平面阵相邻阵元间距均为 2m()。矢量传感器的方向振速通道指向与声源和接收点连线的水平投影方向一致,即信号入射水平方位角为。以 Bellhop 计算所得的D 和 S1B0 的入射俯仰角平均值作为的理论值,S0B1 和 S1B1 入射俯仰角平均值作为的理论值,可得信号分别从和入射。对仿真的接收信号分别用 SHDSF 法和 PABF 法处理得到空间谱如图 10(a)和图 10(b)所示。(57,180)(135,180)(57,180)对比图 10(a)和图 10(b)可知,两种方法所得空间谱基本一致,均有两个峰,分别在和处。其中是 D 和 S1B0 的入射01234510405101520AG(dB)(a)(b)(c)(d)A201234510405101520AG(dB)P201234510405101520AG(dB)L201234510405101520AG(dB)D2rs/=0.05rs/=0.10rs/=0.15d/=0.05d/=0.10d/=0.15rs/=0.05rs/=0.10rs/=0.15d/=0.05d/=0.10d/=0.15rs/=0.05rs/=0.10rs/=0.15d/=0.05d/=0.10d/=0.15d/=0.05d/=0.10d/=0.15图8误差对 SHDSF 法和 PABF 法阵增益的影响(a)幅度误差;(b)相位误差;(c)位置误差;(d)指向误差3期李良文等:小尺寸声矢量平面阵三维波束形成方法479(135,180)方向,是 S0B1 和 S1B1 的入射方向,与前文分析的理论值相近。这说明本文所提方法使用平面阵的阵列结构即可完成深海低频测向。4 结论本文提出了一种小尺寸声矢量平面阵的三维波束形成(PABF)方法,该方法能够以小于信号波长的阵列尺寸合成指向